MOVIMENTO 3D: REFERENCIAL EM TRANSLAÇÃO

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1 MOVIMENTO 3D: REFERENCIAL EM TRANSLAÇÃO INTRODUÇÃO ESTUDO DE CASO À medida que o caminhão da figura ao lado se retira da obra, o trabalhador na plataforma no topo do braço gira o braço para baixo e em 180 para a frente do caminhão. Se a aceleração for elevada, o trabalhador pode cair da plataforma. QUESTÃO Quando o braço está perpendicular à trajetória do caminhão, quais são a velocidade e a aceleração do trabalhador em relação ao chão?

2 DADOS Os dados do caso, relativos ao instante em que o braço está perpendicular à trajetória do caminhão, são os seguintes: O caminhão se move em linha reta à velocidade constante de 10,7 m/s; O braço tem 12,2 m e está 30 acima da horizontal; O braço gira em torno do eixo vertical, para a frente do caminhão, à velocidade angular de 0,2 rad/s, velocidade essa que cresce a 0,8 rad/s 2 ; O braço gira em torno do eixo horizontal paralelo à trajetória do caminhão, à velocidade angular constante de 0,1 rad/s.

3 ABORDAGEM Considerar um sistema de coordenadas (referencial) móvel em translação, localizado na base do braço, e um sistema de coordenadas fixo no chão; Usar as equações de movimento geral em três dimensões para determinar o movimento da plataforma no topo do braço, em relação ao sistema fixo; Considerar apenas o instante em que o braço está perpendicular à trajetória do caminhão.

4 TEORIA Até agora, só foi considerado o movimento plano (bidimensional) de corpos rígidos. Em várias aplicações, como no dinâmica de um aeroplano, o movimento em três dimensões precisa ser considerado e analisado. ROTAÇÕES FINITAS Embora rotações angulares finitas tenham magnitude e direção, elas não obedecem às regras de adição vetorial e, portanto, não são podem ser consideradas vetores. Pode-se constatar, por exemplo, no deslocamento de um ponto P na superfície de uma esfera sob giros finitos, que x y y x

5 ROTAÇÕES INFINITESIMAIS Contudo, rotações de pequena magnitude (menores do que 1 ou 2 graus) obedecem às regras de adição vetorial e, assim, constituem vetores. Sejam, por exemplo, pequenas rotações de uma esfera em torno de seu ponto fixo central O. Se a esfera sofre duas pequenas rotações sucessivas, o deslocamento infinitesimal dr de um ponto P na superfície da esfera é independente da ordem das rotações, de modo que dr = dr 1 + dr 2 = dr 2 + dr 1 dr = dθ 1 x r + dθ 2 x r = dθ 2 x r + dθ 1 x r dr = ( dθ 1 + dθ 2 ) x r = ( dθ 2 + dθ 1 ) x r Tem-se, assim, que dθ 1 + dθ 2 = dθ 2 + dθ 1.

6 MOVIMENTO EM TORNO DE UM PONTO FIXO VELOCIDADE Para um corpo rígido sujeito a uma rotação angular dθ, a velocidade angular é definida pela derivada temporal ω = dθ / dt (1) A reta que especifica a direção de ω é o eixo instantâneo de rotação. Para um corpo sujeito a dois componentes de movimento angular, ω 1 e ω 2, a velocidade angular resultante é ω = ω 1 + ω 2 (2) Uma vez especificada ω, a velocidade de qualquer ponto, de posição r, girando em torno de um ponto fixo é v = ω x r (3)

7 CONE ESPACIAL E CONE DE CORPO À medida que a direção de ω varia, seu eixo traça um cone espacial fixo. Se a variação na direção desse eixo é vista a partir de um referencial inserido no corpo em rotação, o eixo traça um cone de corpo. O cone espacial é ilustrado na figura abaixo.

8 MOVIMENTO EM TORNO DE UM PONTO FIXO ACELERAÇÃO A aceleração angular de um corpo rígido que gira em torno de um ponto fixo é a derivada temporal da velocidade angular, ou seja, α = dω / dt (4) Se ω e α são conhecidas, a aceleração de qualquer ponto, de posição r, em rotação em torno de um ponto fixo, pode ser obtida pela derivação de sua velocidade com o tempo, de modo que a = d(v)/dt = d(ω x r)/dt a = α x r + ω x v a = α x r + ω x (ω x r ) (5)

9 DERIVADA DE UM VETOR NUM SISTEMA EM TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO EM RELAÇÃO A UM SISTEMA FIXO Se um corpo rígido exibe movimento geral em três dimensões, há que se conhecer a relação entre a derivada de um vetor em relação a um sistema de coordenadas (referencial) móvel, estabelecido no corpo rígido, e a sua derivada em relação a um sistema de coordenadas (referencial) fixo. Seja, então, o vetor A um vetor arbitrário num referencial móvel xyz, tal que A = A x i + A y j + A z k Mostra-se que a derivada temporal de A em relação a um referencial fixo XYZ é da dt da Ω A (6) dt xyz

10 DERIVADA DE UM VETOR NUM SISTEMA EM TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO EM RELAÇÃO A UM SISTEMA FIXO (cont.) Na equação acima, qual seja, da dt da Ω A, dt xyz (da/dt) xyz é a derivada temporal de A em relação ao referencial móvel xyz e Ω é a velocidade angular do referencial móvel xyz, considerada a partir do referencial fixo XYZ. A derivada (da/dt) xyz, também denotada por (da/dt) rel, é dada por da da da da i j k dt dt dt dt xyz x y z

11 MOVIMENTO GERAL Por vezes, usa-se um sistema de coordenadas em translação xyz, para descrever o movimento de um corpo rígido, em relação a um sistema de coordenadas fixo XYZ. Em geral, o corpo está transladando e girando em relação a XYZ, com velocidade angular ω e aceleração angular α. A origem do sistema xyz é colocada no ponto A, que é, via de regra, um ponto de movimento conhecido. Vetores de posição r A e r B especificam a localização dos pontos A e B, ambos fixos no corpo rígido. A posição de B em relação a A é dada por r B/A. Como a magnitude de r B/A não se altera (corpo rígido), o movimento de B no sistema xyz é um movimento em torno de um ponto fixo.

12 MOVIMENTO GERAL (cont.) Salienta-se que o sistema xyz, cuja origem está A, translada junto com o corpo rígido, mas não gira ( ou seja, Ω = 0 ). A velocidade e a aceleração do ponto B em relação ao sistema fixo XYZ são v B = v A + ω x r B/A (7) a B = a A + α x r B/A + ω x (ω x r B/A ) (8) Acima, v A e a A são, respectivamente, a velocidade e a aceleração do ponto A em relação ao sistema de coordenadas (referencial) fixo XYZ. Essas duas equações são as mesmas já usadas para descrever o movimento plano geral. Contudo, α agora mede tanto a variação de magnitude quanto a variação de direção de ω.

13 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO Inicialmente, desenha-se o diagrama cinemático no instante em que o braço está perpendicular à trajetória do caminhão, como ilustrado abaixo. Coloca-se a origem (ponto A) do sistema de coordenadas em translação xyz na base do braço, com o eixo positivo x paralelo à trajetória do caminhão. Os eixos XYZ estão fixos no chão. Usando a regra da mão direita, pode-se expressar a velocidade e a aceleração angulares em torno do eixo vertical z por ω z = - 0,2k rad/s e α z = - 0,8k rad/s 2.

14 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO (cont.) Analogamente, a velocidade angular em torno do eixo horizontal x pode ser expressa como ω x = - 0,1i rad/s. A posição da plataforma onde está o trabalhador, no topo do braço (ponto B), é dada, no sistema de coordenadas em translação, por r B/A = 12,2cos30 j + 12,2sen30 k m.

15 SOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO (cont.) Assim, face à Eq. (7), a velocidade do ponto B é dada por i j k v B = v A + ω x r B/A = 10,7i 0,1 0 0,2 0 12,2cos30 12,2sen 30 = 12,8i + 0,61j 1,06k m/s Já a aceleração do ponto B, face à Eq. (8), é determinada por a B = a A + α x r B/A + ω x (ω x r B/A ) i j k i j k ,8 0,1 0 0, , 2cos30 12, 2sen 30 2,1 0,61 1,06 = 8,57i 0,53j 0,06k m/s 2

16 Fonte: ecourses Dynamics Multimedia Engineering Dynamics, K. Grammoll, acessado em 21/11/2016.