Corpos Rígidos MOMENTO ANGULAR. Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA. 5 de março de R.R.Pelá

Transcrição

1 MOMENTO ANGULAR Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 5 de março de 2013

2 Roteiro 1

3 Roteiro 1

4 Quando todas as partículas de um corpo rígido se movem ao longo de trajetórias que são equidistantes de um plano fixo, diz-se que o corpo rígido possui um movimento plano. Há 3 tipos de movimento plano de corpo rígido 1 Translação: quando cada segmento de linha sobre o corpo rígido permanece, durante o movimento, paralelo à sua posição original. 2 Rotação em torno de um eixo fixo: quando todas as partículas do corpo rígido (exceto as que se apoiam sobre o eixo de rotação) se movem em trajetórias circulares. 3 Movimento plano geral: quando há uma combinação dos dois movimentos anteriores.

5

6 Movimento Plano Geral Movimento plano geral = translação + rotação O sistema de eixos xy é fixo e mede a posição absoluta de dois pontos A e B sobre o corpo. A origem do sistema x y está fixada a um ponto A do corpo rígido (um ponto que geralmente tem um movimento conhecido) Os eixos x y não giram com o corpo, eles podem apenas transladar em relação ao sistema fixo

7 Movimento Plano Geral v B = v A + v B/A B está sempre à mesma distância de A Seu movimento (em relação a A) pode ser caracterizado como uma rotação em torno de um eixo fixo que passa por A v B = v A + ω r B/A a B = a A + α r B/A + ω ( ω r B/A )

8 Exemplo A barra AB mostrada na Figura está confinada a mover-se ao longo de planos inclinados em A e B. Se o ponto A tem uma aceleração de 3,00 m/s 2 e uma velocidade de 2,00 m/s ambas direcionadas plano abaixo no instante em que a bara fica na horizontal, determine a aceleração angular da barra neste instante.

9 Solução Uma vez que A e B se movem em trajetórias retilíneas, as velocidades (e acelerações) destes pontos estão dirigidas ao longo destas direções Como o comprimento da barra não varia com o tempo, v A cos 45 = v B cos 45, ou seja, v B = v A = 2,00 m/s. Como v B/A = ωr B/A, temos: (2).(2m/s).( 2/2) = (ω).(10,0 m), ou seja, ω = (0,283 rad/s)ẑ

10 Solução Aceleração angular: a B = a A + α r B/A + ω ( ω r B/A ) (a B cos 45 )ˆx + (a B sin 45 )ŷ = (a A cos 45 )ˆx (a A sin 45 )ŷ + (10,0α)ŷ (0,283) 2.(10,0)ˆx que conduz ao seguinte sistema de equações: { ab cos 45 = a A cos 45 (0,283) 2.(10,0) a B sin 45 = a A sin ,0α Substituindo a A = 3,00 m/s 2, obtemos α = (0,344 rad/s 2 )ẑ

11 Corpo rígido girando em torno de um eixo fixo. Componente do momento angular L (ao longo do eixo de rotação): L = i m i ( r i v i ).ê = i li.ê

12 li.ê = l i cos θ = (m i ωd i )r i cos θ = m i ωd 2 i. L = ( ) m i ωd 2 i = m i d 2 i ω. i i m i d 2 i I : momento de inércia do corpo rígido em i relação ao eixo L = I ω Em algumas condições especiais (e.g. quando é um eixo de simetria), a identidade anterior pode ser reescrita na forma vetorial: L = I ω

13 Momento de Inércia Por analogia com o momento linear P = M v, L = I ω mostra que o momento de inércia mede a resitência de um corpo à rotação (I é como se fosse uma massa para a rotação). O momento de inércia mede como a massa está distribuída em torno de um eixo de rotação: quanto mais massa houver próximo ao eixo de rotação, menor será o momento de inércia. Para um dado corpo rígido, o momento de inércia depende do eixo considerado, já que a massa pode estar melhor distribuída em torno de um eixo que de outros.

14 Momento de Inércia Para distribuições contínuas de massa: I = r 2 i m i, No limite em que m i 0: I = r 2 i dm. Distribuição linear de massa: dm = λdl. Distribuição superficial de massa: dm = σda. Distribuição volumétrica de massa: dm = ρdv.

15 Exemplo Obter o momento de inércia da haste a seguir com relação ao eixo z.

16 Solução Tomando a divisão de massas como na Figura anterior, temos: L I = x 2 λdx = λ L3 3 = ML2 3 0

17 Exemplo Obter o momento de inércia do disco (massa M e raio R) em relação ao eixo de simentria normal ao seu plano

18 Solução Considerando a divisão de massas da Figura anterior: I = (x 2 + y 2 )σda = R 2π 0 0 r 2 σrdθdr = σ R4 MR2 2π = 4 2 Nas tabelas, mostramos o momento de inércia para diversos objetos com distribuição uniforme de massa. rrpela/downloads/ FIS26-MomentoArea-2011.jpeg rrpela/downloads/ FIS26-MomentoInercia-2011.jpeg

19 Teorema Se um corpo rígido pode ser dividido em duas partes A e B, então seu monento de inércia (em relação a um eixo ) é igual à soma dos momentos de inércia de A e B (com relação ao mesmo eixo). Prova: Basta dividir o domínio de integração em A e B: I = r 2 dm = r 2 dm + r 2 dm = I A + I B. S=A+B A B

20 Teorema dos eixos paralelos Teorema dos eixos paralelos ou de Steiner Se o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo CM é I CM, então o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo a este é: I = I CM + Md 2, sendo d a distância dos eixos e M a massa do corpo rígido.

21 Teorema dos eixos paralelos Prova: Considere dois sistemas cartesianos com eixos paralelos, um dos sistemas está localizado no CM Escrevendo a expressão do momento de inércia I = r 2 i m i.

22 Teorema dos eixos paralelos Mas r i = r CM + r i/cm, e portanto, r 2 i = r i r i = r 2 CM + r 2 i/cm + 2 r CM r i/cm, o que implica: I = r 2 CM m i + r 2 i/cm m i + 2 r CM r i/cm m i, = Md 2 + I CM + 2 r CM r i/cm m i. Como m i r CM = r i m i, tem-se 0 = ( m i )( r i r CM ) = ( m i )( r i/cm ), donde segue que: I = I CM + Md 2.

23 Exemplo Determine o momento de inércia da haste da Figura seguinte em relação ao eixo z. Solução: Usando o teorema dos eixos paralelos: ML 2 3 = I z + ML2 4. I z = ML2 12.

24 Raio de giração Ocasionalmente, o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo específico é documentado em manuais através do raio de giração k. Ele é definido como: I I = Mk 2 ou k = M. O raio de giração pode ser interpretado como a distância (em relação ao eixo de rotação) na qual se estivesse concentrada toda a massa M produziria o mesmo momento de inércia.

25 Teorema dos eixos perpendiculares Seja um corpo rígido plano com momentos de inércia I x e I y por dois eixos (perpendiculares entre si) que estão no mesmo plano do corpo. Se o eixo z é perpendicular a x e a y, então: I z = I x + I y. Prova t I x = I z = y 2 dm, I y = x 2 dm. (x 2 + y 2 )dm = I x + I y.

26 Exemplo Calcule o momento de inércia de um disco por um eixo passando por um diâmetro. Solução: Considere o disco ilustrado na Figura. Por simetria, temos I x = I y Usando o teorema dos eixos perpendiculares: Como I z = MR 2 /2: I z = I x + I y = 2I x. I x = MR2 4.

27 : caso geral Componente do momento angular ao longo do eixo de rotação é L = I ω Mas o momento angular é um vetor paralelo ao eixo de rotação (ou então, a ω)? A resposta é: geralmente não. Então, qual a relação entre L e ω? Vejamos. L = i r i ( m i v i ). Para um eixo fixo v i = ω r i L = i ( m i ) r i ( ω r i ).

28 : caso geral Sendo ω = ω xˆx + ω y ŷ + ω z ẑ e r i = x iˆx + y i ŷ + z i ẑ, podemos escrever o duplo produto vetorial como: r i ( ω r i ) = [(y 2 i + z 2 i )ω x x i y i ω y x i z i ω z ]ˆx = [ x i y i ω x + (x 2 i + z 2 i )ω y y i z i ω z ]ŷ = [ x i z i ω x y i z i ω y + (x 2 i + y 2 i )ω z ]ẑ Tomando o limite em que m i 0 e reescrevendo na forma matricial, temos: L = Ĩ ω

29 Tensor de inércia I xx = Ĩ = I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz (y 2 +z 2 )dm I yy = (x 2 +z 2 )dm I zz = I xy = I yx = I xz = I zx = I yz = I zy = xydm xzdm yzdm (x 2 +y 2 )dm

30 Tensor de inércia Ĩ é conhecido como tensor de inércia de um corpo rígido. I xx, I yy e I zz são conhecidos como momentos de inércia em relação aos eixos x, y e z, respectivamente I xy,..., I zy são conhecidos como produtos de inércia. Para definir bem o tensor de inércia Ĩ é necessário especificar uma origem O e os eixos x, y e z.

31 Tensor de inércia Se fixamos o ponto O e fazemos uma rotação (de eixos) dada pela matriz de mudança de base R, então: x y z Logo L = R L e ω = R ω. = R Como R é uma matriz ortogonal: x y z L = ( R T Ĩ R) ω. O tensor de inércia nos novos eixos é: Ĩ = R T Ĩ R

32 Tensor de inércia Como Ĩ é simétrico, sempre é possível encontrar um conjunto de eixos ortogonais, x 0, y 0 e z 0, em relação ao qual o tensor é diagonal (trata-se de um problema de autovalores e autovetores). Neste caso, o tensor de inércia estará diagonalizado e pode ser escrito na forma simplificada: I x0 0 0 Ĩ = 0 I y I z0 I x0, I y0 e I z0 são chamados de momentos principais de inércia do corpo rígido (com relação ao ponto O). Os eixos x 0, y 0 e z 0 são chamados de eixos principais de inércia.

33 Tensor de inércia Quando um corpo rígido gira em torno de um eixo principal de inércia, podemos dizer que: L = I ω. A determinação dos eixos principais de inércia é um problema de autovetores (note que I é um autovalor associado). Existem muitos casos, entretanto, em que os eixos principais de inércia podem ser determinados por inspeção (no caso de um eixo de simetria, por exemplo). Dos três momentos principais de inércia, um será o maior e outro será o menor de todos os momentos de inércia de eixos que passam pelo ponto O (daí a vantagem em se conhecer os eixos principais de inércia).

34 Tensor de inércia Alguns eixos principais de inércia são dados na Figura

35 Exemplo Determine os eixos principais de inércia com relação ao ponto O. O corpo rígido mostrado na Figura?? é formado por 4 massas (duas massas M e duas m) ligadas por hastes de massas desprezíveis. Considere M m.

36 Solução I zz = 4ma 2 + 4Ma 2 = 4a 2 (m + M), I xx = 2ma 2 + 2Ma 2 = 2a 2 (m + M) = I yy, I xy = 2ma 2 + 2Ma 2 = 2a 2 (M m), I yz = I xz = 0. 2a 2 (m + M) 2a 2 (m M) 0 Ĩ = 2a 2 (m M) 2a 2 (m + M) 0, 0 0 4a 2 (m + M) Cujos autovetores são:

37 Solução Os eixos principais de inércia aparecem na Figura.