Física 1 Mecânica. Instituto de Física - UFRJ

Transcrição

1 Física 1 Mecânica Sandra Amato Instituto de Física - UFRJ Produto Vetorial Torque e momento Angular de Uma Partícula 1/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 1/32

2 Outline 1 Produto Vetorial 2 Momento Linear 3 Torque e Momento Angular 4 Torque 5 Momento Angular 2/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 2/32

3 . Produto Vetorial Dados dois vetores A e B, oproduto vetorial entre eles é definido como o vetor C A B seu módulo é C A B sen sua direção é perpendicular ao plano formado por A e B seu sentido é dado pela regra da mão direita. : (Rotação de uma partícula) Física 1 3/32 3/ 32

4 Propriedades do Produto Vetorial seu módulo A B sen representa a área do paralelogramo definido por A e B A B B A não é comutativo. Se A e B são paralelos ( 0 ou 180 ) A B 0 consequentemente A A 0 Obedece a propriedade distributiva: A B C A B A C tomando o cuidado de preservar a ordem entre A e B: d dt A B A db dt da dt B 4/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 4/32

5 ^ ^. Propriedades do Produto Vetorial k k 0 k k k : ^ k Se temos as componentes dos vetores A A x A y A z k e B B x B y B z k k - n ^ ^ A B A y B z A z B y A x B z A z B x A x B y A y B x k (Rotação de uma partícula) Física 1 5/32 5/ 32

6 Exercícios Calcule o produto vetorial a b entre os vetores a e b onde 1 a 3 k e b k; 2 a é o vetor que liga os pontos O e B, e b é o vetor que liga os pontos A e B do cubo de aresta 1 m da figura. A C ath Rika Bad O B (Rotação de uma partícula) Física 1 6/32 6/ 32

7 7/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 7/32

8 Exercícios 1 Mostre que o módulo do produto triplo a b c é o volume do paralelepípedo cujos lados são definidos pelos vetores a, b e c. 2 Calcule a área da superfície deste paralelepípedo. 3 Considere a, b e c 2 k. Calcule a área da superfície e o volume do paralelepípedo definido por estes vetores. Considere as unidades dadas no S.I. 8/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 8/32

9 Momento Linear O Momento Linear (p) de uma partícula é definido por: p m v Podemos expressar a Segunda Lei de Newton para uma partícula em termos de p: F m a m dv dt d mv dt dp dt 9/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 9/32

10 Momento Linear Segunda Lei de Newton F dp dt com p m v A Resultante das Forças que atuam sobre uma partícula é igual à taxa de variação do momento linear grandeza cinemática na translação Momento Linear grandeza dinâmica na translação Força E na rotação? 10/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 10 / 32

11 Partindo da Segunda Lei de Newton: notando que: F dp dt r F r dp dt d r dt p r dp dt dr dt p v mv 0 r F d r dt p o dl o dt onde o r F éotorque de uma força e l o r p éomomento angular de uma partícula ambos em relação a o dependem do ponto o 11/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 11 / 32

12 Torque Torque ou Momento da Força O r F rfsen - Direção y a r e F Sentido regra da mão direita Unidade no S.I. é N.m (é a mesma unidade de trabalho, mas NÃO é Joule) rear * HE tastes sh sfgqgz sodas O é o torque da força em relação ao ponto O. Ele muda se o ponto O mudar. 12/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 12 / 32

13 Torque O Torque pode ser visto de duas formas: Fsen r F r : Somente a componente de F perpendicular à r causa rotação. A componente só causará uma tensão ou compressão Fr : r é chamado de braço de alavanca da força. Quanto maior o braço, mais eficaz é a força para produzir rotação (maçaneta da porta). 13/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 13 / 32

14 Vetor Torque r F O torque é um vetor com direção perpendicular ao plano de rotação (ou paralela ao eixo de rotação) e sentido dado pela regra da mão direita. 14/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 14 / 32

15 Torque Resultante Se mais de uma força produzir torque sobre um objeto, o torque resultante será a soma vetorial de cada um deles: O F 1 d 1 F 2 d 2 15/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 15 / 32

16 Exemplo Calcule o Torque resultante sobre o cilindro, supondo F 1 5 N,R 1 1 m, F 2 15 N, R m. Em que sentido o cilindro gira? 16/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 16 / 32

17 Forças Centrais Um caso particular importante é o de forças centrais. Se considerarmos o Torque das forças em relação ao ponto O, teremos sempre F r Otorquedeforçascentraisemrelaçãoaocentroénulo 9 Mas relação a O não será. 17/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 17 / 32

18 Ex: Pêndulo Uma bola de massa m 0 75 kg está presa a uma das extremidades de um fio leve de comprimento L 1 25 m. A outra extremidade do fio está presa a um eixo formando um pêndulo. Determine o módulo do torque sobre o eixo quando o fio faz um ângulo de 30 com a vertical. 18/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 18 / 32

19 Momento Angular de uma partícula l o r p m r v l o é um vetor de módulo: rpsen que pode ser visto como: rp ou r p direção: a r e v sentido: regra da mão direita Note que não é necessário que haja rotação para definirmos l o 19/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 19 / 32

20 Conservação do Momento Angular dl o o dt O torque resultante que age sobre uma partícula é a taxa de variação com o tempo do momento angular Atenção: Os dois devem ser definidos em relação à mesma origem. Consequência: Se o 0 l o se conserva!!!! Como é vetor, significa que se conserva em módulo, direção e sentido. 20/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 20 / 32

21 Exemplo: Forças Centrais Vimos que se a resultante das Forças que atuam sobre um objeto é central, o Torque em relação ao centro é nulo, pois r F e r F : Consequência: O momento Angular em relação ao centro se conserva Omovimentoéplano. 21/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 21 / 32

22 Exemplos Qual o momento angular desses dois objetos em relação ao ponto O? 22/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 22 / 32

23 23/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 23 / 32

24 Exemplos Uma partícula de massa m 2 kg, tem vetor posição de módulo 3m e velocidade de módulo v 4 m/s. Sobre ele atua uma força F de módulo 2N. Quais são, em relação ao ponto O: a) o momento angular da partícula b) o torque exercido sobre ela 24/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 24 / 32

25 I E 15>1 = 3m IT 1=4 wls 1 El = IN m = 2kg > = T E = 3 2 sent = Nm 3 ^ 25/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 25 / 32

26 Exercícios O vetor posição de uma partícula de massa 2 kg em relação a um observador inercial fixo num ponto O é dado por r 2 t 2 t t 4 k, onde todas as unidades empregadas estão no S.I. (a) Qual é a força resultante que age sobre esta partícula? (b) Qual é o torque desta força em relação a O? (c) Qual é o momento angular desta partícula em relação a O? (d) Verifique se a segunda lei de Newton para as rotações é válida neste caso. 26/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 26 / 32

27 ' ' Got 8Ej m = 2kg I = 2+2 +tj+t' : T 4ti+ij+4t3k ' = Fi = 4i + r2t2 a) F = mop = 8 a +24 ttk b) 8=5 e) I. ist ti ' F= i M J t Its t 8 O = a j k 24 ts t zt2, =6t' 8 t 2 8 t, ) - 8th = 2gpa+(ptIYJ i d) dµ = 24 Ei - 'j - 8th 27/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 27 / 32

28 Exercícios Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade v i que faz um ângulo com a direção horizontal. Tomando como origem do sistema de coordenadas o ponto de lançamento O, calculeo momento angular do projétil em relação a O como função do tempo. Calcule o torque da força resultante sobre este corpo em relação ao mesmo ponto, e verifique se dl 0 dt 0 28/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 28 / 32

29 - v. ( a) I '. = m I ii ii ( corot ) i + ( v. snot I ' core i ( t.su g t ) = H ) + ztg E) j I I = corot - who Kimmo gt ' ) li - ii = -ms g Eu. mix ww Is f ii sue corot - at g a v. wo ) ti b) E ' = I F ' Z = - 7 e) of = m dt = F v. corot K mg mg v. cow k I 29/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 29 / 32

30 Desafio Um pêndulo cônico é constituído por uma bola de massa m presa à extremidade de um fio de comprimento d, amarradoaum suporte fixo no laboratório. O pêndulo gira com velocidade constante, com o fio fazendo um ângulo constante com a vertical. Qual é o momento angular L 0 da bola em relação ao ponto de sustentação O? Mostre diretamente que a taxa de variação de L 0 em relação ao tempo é medida pelo torque em relação a O das forças que agem sobre a bola. [ = mw Roe cos x I + mw r2 gets ^ z " i 30/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 30 / 32

31 31/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 31 / 32

32 Desafio Um objeto espacial, A, de massa m, aproxima-sedeumaestrela B que permanece fixa. Inicialmente, quando A está muito distante de B (r ), A tem velocidade de módulo v 0 dirigida ao longo da linha mostrada na figura. A distância entre esta linha e B é D. O objeto A desvia-se de sua trajetória inicial devido à presença de B, e move-se segundo a trajetória indicada na figura. A menor distância entre esta trajetória e B é d. Deduza a massa de B em termos das quantidades dadas e da constante G da gravitação. 32/ 32 (Rotação de uma partícula) Física 1 32 / 32