Mecânica 1. Guia de Estudos P2

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1 Mecânica 1 Guia de Estudos P2

2 Conceitos 1. Cinemática do Ponto Material 2. Cinemática dos Sólidos 1. Cinemática do Ponto Material a. Curvas Definição algébrica: A curva parametriza uma função de duas ou mais variáveis em uma região com menos variáveis. γ = x t, y t Onde x = x t e y = y(t) Respeitando: y = f(x) Parametrização: Trocar variáveis por um parâmetro comum, mantendo a relação entre elas. Exemplo comum: Parametrizando, temos: y = x x = t y = t γ = t, t t R 1

3 Parametrização por Coordenadas Polares: Provocar o aparecimento de sin t e cos t, quando variáveis tiverem grau 2. Exemplo comum: Parametrizando: x 2 + y 2 = 1 x = cos t y = sin t γ = cos t, sin t 0 t < 2π Curva por Interseção de Superfícies: Isolar uma variável e substituir na outra equação, parametrizando com duas variáveis em vez de três. Exemplo: Parametrizando: S ; x + y + z = 1 S 2 x + y z = 0 z = x + y Em S ; : 2x + 2y = 1 x = t y = 1 2t 2 z = 1 2 γ = t, 1 2t 2, 1 2 2

4 b. Abscissa Curvilínea Escalar Comprimento sobre a curva ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ds dt = dx dt 2 + dy dt 2 + dz dt 2 c. Versor Tangente t = B C = DB DC = E E Direção da tangente Unitário, sendo ΔP o módulo do vetor posição d. Curvatura κ = dθ ds e. Raio de Curvatura ρ = 1 κ f. Vetor de Versor Normal Vetor Normal N = d t ds 3

5 Versor Normal n = N N g. Versor Binormal h. Triedro de Frenet b = t n 4

6 i. Fórmulas de Frenet j. Velocidade D ] DC dt ds = N = κ n = n ρ = γ n (torção da curva) dn ds = γb κt v = ds dt v = dr dt 5

7 k. Aceleração a = dv dt = d dt ds dt = d2 S dt 2 a = dv dt t + v2 n ρ 2. Cinética dos Sólidos a. Teorema do Corpo Rígido Não se deformam Dimensões não desprezíveis A B = constante V h A B = V i (A B) i. Condição necessária, porém, não suficiente 6

8 b. Tipos de Movimentos Translação Rotação -Reta que liga A e B deve manter a mesma direção -Velocidade e aceleração iguais para todos os pontos -Não precisa ser uma trajetória retilínea Roto Translação -Todos os pontos do corpo formam uma trajetória circular -Os pontos sobre o eixo de rotação tem velocidade e aceleração zero Movimento Plano -Direção do eixo de rotação é mantida -Condição particular do Roto Translatório -Eixo de rotação é perpendicular ao plano do papel 7

9 c. Vetor Rotação ω = dθ dt ω = ωk d. Fórmulas de Poisson V B = V l + ω (P 0) a B = a l + ω P 0 + ω ω (P 0) i. Não pode sempre derivar a velocidade para achar a aceleração. Isso só vale se V B não muda de direção. 8

10 e. Bases Girantes No caso dos vetores da base se moverem: ı = ω ı ȷ = ω ȷ k = ω k Onde ω é o vetor rotação do corpo ao qual o eixo é solidário. f. Eixo Helicoidal Instantâneo V h ω = V i ω A velocidade será mínima se for paralela a ω: V o = miníma = β ω E A = ω V h ω 2 + α ω V o = β ω = V h ω ω 2 ω g. Centro Instantâneo de Rotação (CIR) Movimento plano V o vwx = 0 CIR O ωk = V } CIR O é perpendicular a V }, para todo ponto O do corpo 9

11 Método para encontrar o CIR de um corpo: i. Determinar a direção da velocidade de dois pontos do corpo ii. Traçar as perpendiculares iii. Achar o ponto de encontro. Ele será o CIR h. Composição de Movimentos Movimento Relativo: Paramos o referencial móvel, subimos nele e medimos o movimento relativo, a partir do referencial móvel Movimento de Arrastamento: Paramos o movimento relativo ( prendemos os corpos) e deixamos o corpo do referencial móvel mover-se. Medimos em relação ao referencial fixo. Para resolver, o ideal é colocar o sistema de coordenadas no referencial móvel. V B,~] = V B, + V B, ~ 10

12 a B,~] = a B, + a B, ~ + 2 ω V B, i. No qual o último termo é a Aceleração de Coriolis, sendo ω a velocidade angular do referencial móvel Composição do vetor rotação: Ω ~] = Ω + ω Ω ~] = Ω + ω + ω Ω 11

13 Exercícios 1. (Exercício 2, Prova 2, 2014 Poli) No sistema mostrado na figura, a haste AB e o garfo CD constituem um corpo rígido único ACD. A distância entre os pontos D e C é L, o ângulo entre os segmentos de reta DC e AB é θ (fixo) e o disco com centro em D tem raio r. O vetor rotação do eixo AB é Ω = Ωk (constante), enquanto o disco gira com vetor rotação ω = ωk (ω constante), relativamente ao corpo ACD. Usando como base do referencial móvel os versores ı, ȷ, k solidários ao eixo AB, e sabendo que no instante considerado a posição do P é dada por P D = r k, determinar: a. As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P; b. As acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P; c. O vetor rotação absoluto do disco; d. A aceleração rotacional absoluta do disco. 12

14 2. (Exercício 2, Prova 2, 2009 Poli) A placa RSTW gira em torno do eixo RW com vetor de rotação ω 2 de módulo constante. Sustentado por mancais solidários à placa em C e D, o eixo CED possui vetor de rotação ω ; de módulo constante em relação a placa. A barra EH é soldada ao eixo CED e sustenta, em H, um tubo paralelo ao eixo CED. No interior do tubo o êmbolo F de um cilindro hidráulico desloca-se com velocidade de módulo V, constante em relação ao tubo. Determinar, para o instante mostrado na figura e representando os vetores na base vetorial solidária a placa RSTW: a) O vetor rotação absoluta Ω da peça CDEH; b) O vetor aceleração rotacional absoluta Ω da peça CDEH; c) O vetor velocidade absoluta do ponto F do êmbolo; d) O vetor aceleração absoluta do ponto F do êmbolo; Dado: ME = 5a; EH = 3a; F H = aı 13

15 3. (Exercício 1, Prova 2, 2016 Poli) Conforme ilustrado na figura, um pequeno anel move-se vinculado a um arame curvo descrito pela equação: P O = r u = cos u + cos 2u ı + sin u sin 2u ȷ + 3 sin u k em que u é um parâmetro variável no tempo. O movimento do anel obedece à lei horária u t = Ž ;l. Para o instante t = 10π, pede-se: a. O versor tangente ao arame no ponto coincidente com o anel, descrito em coordenadas cartesianas (utilize a base ı, ȷ, k). b. A velocidade do anel descrita em coordenadas intrínsecas; c. A aceleração do anel descrita em coordenadas intrínsecas. 14

16 4. (Exercício 1, Prova 2, 2008 Poli) Os discos de raio R ; e R 2 rolam sem escorregar e estão sempre em contato com a superfície mostrada na figura. A barra CD está articulada ao centro da barra AB, de forma que permanece sempre paralela ao versor ȷ. Sabendo que o vetor de rotação do disco com centro em A (de raio R ; ) vale ω ; k, constante, determine: a. A velocidade v h do ponto A; b. O centro instantâneo de rotação da barra AB; c. O vetor de rotação ω hi da barra AB e o vetor de rotação ω 2 do disco com centro em B; d. A velocidade v do ponto D; 15

17 5. (Exercício 3, Prova 2, 2008 Poli) A barra CP está articulada em C ao disco com centro em O, como indicado na figura. No instante considerado, a barra gira com vetor de rotação constante ω = θı e o disco gira com vetor de rotação constante Ω. A distância entre os pontos O e C vale R. Usando a base ı ȷ k, solidária ao disco, e considerando o disco como referencial móvel, determinar: a. O vetor de rotação absoluto e a aceleração angular da barra CP; b. As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P; c. As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P. 16

18 Gabarito: a. V B = ωrȷ; V B~ = ΩL sin θ ı; V B~] = ΩL sin θ ı ωrȷ. b. a B = ω 2 rk; a B~ = Ω 2 L sin θ ȷ; a B = 2Ωωr ı. a B~] = 2Ωωr ı Ω 2 L sin θ ȷ ω 2 rk. c. ω ~] = ωı + Ωȷ. d. ω ~] = Ωωȷ. a. Ω = ω 2 k + ω ; ı. b. Ω = ω 2 ω ; ȷ. c. V = v 3aω 2 ı + 6aω 2 ȷ + 3aω ; k. d. a = 6aω 2 2 ı + 2ω 2 v 3aω 2 ; 3aω 2 2 ȷ. 3. a. τ = 2 2 ȷ 2 2 k. b. v (t = 10π) = 2 ;l τ. c. a (t = 10π) = ;ll n. 17

19 4. a. v ~ = ω ; R ; ı. b. c. ω hi = š œ žÿ k. d. v = š œ 2 (ı + cot θ ȷ). 5. a. ω ~] = θı + Ωk. b. ω ~] = Ωθȷ c. V B = θl sin θ ȷ + cos θ k ; V B~ = Ω (R + L cos θ) ı; V B~] = Ω (R + L cos θ) ı + θl sin θ ȷ + cos θ k. d. a B = θ 2 L cos θ ȷ + sin θ k ; a B~ = Ω 2 (R + L cos θ) ȷ; a B = 2ΩθL sin θ ı; a B~] = 2ΩθL sin θ ı (Ω 2 R + L cos θ) + θ 2 L cos θ ȷ θ 2 L sin θ k. 18