Mecânica 1. Prova 1 Resumo

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1 Mecânica 1 Prova 1 Resumo

2 Conceitos 1. Vetores 2. Estática 3. Hidrostática 1. Vetores a. Módulo A = (xı + yȷ + zk) = x, + y, + z, b. Produto Vetorial com Incógnita Vetorial x = u v u, + α u, α ε R c. Produto Escalar É a projeção de um vetor sobre outro Vetores perpendiculares tem produto escalar nulo Resulta em um escalar xı + yȷ + zk aı + bȷ + ck = ax + by + cz A B = A B cos θ, sendo θ o ângulo entre A e B. 1

3 d. Produto Vetorial Resulta em um vetor Vetor resultante será perpendicular ao plano formado pelos vetores multiplicados Vetores na mesma direção tem produto vetorial nulo Multiplica-se os módulos, a direção é o versor seguinte e o sinal é dado pela direção positiva Direção positiva: ȷ + kc ı A B = A B sen θ, sendo θ o ângulo entre A e B. Ex: xı + yȷ + zk ck = ycı xcȷ 2

4 2. Estática a. Força e Resultante Força é definida por um vetor F e por um ponto de aplicação A, sendo representada por (F, A). Resultante é um vetor sem ponto de aplicação dado por R = F F. Quando temos um eixo de coordenadas (plano ou espaço), temos a resultante em cada eixo: R G = F GF ; R I = F IF ; R J = F JF A força produz o mesmo efeito se aplicada sobre qualquer ponto de sua linha de ação. b. Momento em relação a um Polo Momento de uma força em relação a um polo O é definido por: M L = P F O F O c. Mudança de Polo Se tivermos o momento em relação a um polo e queremos calcular em relação a outro: M P = M Q + B A R d. Momento em Relação a um Eixo Temos um eixo passando por O e orientado pelo vetor unitário u. O momento em relação a esse eixo é dado por: M R = M S u 3

5 Forças paralelas ou que cruzam o eixo não geram momento Nos exercícios: i. Calcular a resultante; ii. Calcular o momento em relação ao polo com mais forças; iii. Calcular os outros momentos a partir do já calculado. e. Invariante Tendência de giro ao longo da resultante é a mesma. f. Momento Mínimo Paralelo a resultante M P R = M Q R = I M U = β R Eixo mínimo: β = M S R R, g. Binário Momento aplicado Não gera translação (O-E) = R (M S) R, + α R Gerado por duas forças opostas, logo, resultante é nula Momento binário: M = M d 4

6 A FCCCC P CCCC B d θ F Q O binário age sobre todo o corpo, logo, ele entra no cálculo do momento: M L = P F O F O + M h. Sistemas Equivalentes Caso 1: R = 0 e M Y = 0 à Corpo em Repouso. Caso 2: R = 0 e M Y 0 à Redutível a um binário, igual a M Y. Caso 3: R 0 e I = M Y R = 0 à Redutível a uma única força. i. Nesse caso, calculamos E tal que M U = 0, utilizando M U = M Y + O E R. Caso 4: R 0 e I = M Y R 0 à Redutível a uma força e um binário i. Reduz a um binário (M) igual ao momento calculado M = M S e aplica a resultante em O. 5

7 i. Baricentro Centro geométrico da figura Ponto de aplicação da força peso X ] = m F x F ; Y m ] = m F x F ; Z F m ] = m F x F F m F Em que m F é a massa da parte i e seu centro (x F, y F, z F ). j. Diagrama de Corpo Livre Todas as forças e momentos (esforços) aplicados NO corpo e NÃO pelo corpo R = 0 e M Y = 0 k. Vínculos Mecanismos que fixam o sistema; impedem o movimento em certas direções; restringem graus de liberdade. Nos exercícios, dão lugar a esforços. Em 2 dimensões: Apoio Simples Apoio Fixo (Articulação) Engastamento F b F b M d F b F c F c F -Restringe uma translação -Gera uma força - Restringe duas translações -Gera duas forças - Restringe tudo -Gera duas forças e um binário 6

8 Em 3 dimensões: l. Apoio Simples Apoio Fixo (Articulação) y F d y F d F b F c x x -Restringe uma translação -Gera uma força Engastamento -Restringe todas as translações -Gera três forças Anel M d F d y F d F b M b M c x F c F b x -Restringe tudo -Gera três forças e três binários -Restringe 2 translações -Gera duas forças 7

9 m. Fios, Polias e Treliças Fios i. Inextensíveis ii. Sem massa iii. Apenas forças de tração Polias i. Sem atrito ii. Fio está sempre tracionado iii. Muda o sentido e a direção da força Treliças i. Barras articuladas nas extremidades ii. Sem peso iii. Apenas forças na direção da barra n. Método dos Nós Método: i. Acha as reações externas ii. Isola um nó no qual tenha no máximo duas forças desconhecidas iii. Colocar, para cada barra, as forças na direção da mesma (tração ou compressão) iv. Resolve cada nó até encontrar todas as forças o. Método do Corte Método: i. Divida o sistema em 2 cortando, no máximo, 3 barras ii. Resolver utilizando as forças externas Não podem ser três barras que saem do mesmo nó Não podem ser três barras paralelas entre si 8

10 p. Atrito É tangente à superfície Tem sentido contrário à tendência de movimento a F b F at P N x C Enquanto o bloco está parado: F ef = F, até o limite de F ef μ N Limite de escorregamento: F μ P Limite de Tombamento: F P a 2 b 9

11 3. Hidrostática a. Pressão Depende da densidade do líquido (tipo) Depende da profundidade do objeto Direção: Normal à superfície ( esmaga ) P = γ h = ρ g h b. Resultante É o volume da figura gerada pelas pressões Aplicada no baricentro dessa figura gerada P = γ h a b, sendo γ h a pressão e a b a área de aplicação da mesma. 10

12 4. Exercícios 1) (Exercício 1, Prova 1, 2015 Poli) A barra ABCDEHG está sob a ação do sistema de forças F p, A, F,, B, F q, G Considerando F p = F, para i = 1, 2, 3, pede-se: a) Calcular a resultante R e o momento M U E do sistema de forças em relação ao polo E. b) Deseja-se restringir todos os movimentos da barra vinculando-a em um único ponto; pede- se: i. Determinar o tipo de vínculo que deve ser empregado e justificar a escolha; ii. Determinar a posição na qual o vínculo deve ser colocado na barra de modo a minimizar as reações vinculares; iii. Calcular essas reações vinculares. 11

13 2) (Exercício 3, Prova 1, 2015 Poli) A figura mostra uma barragem de concreto (homogênea, de densidade ρ Q e largura L) que represa a água (densidade ρ P ) acumulada junto a uma encosta. Admitindo que não ocorra infiltração de água sob a barragem e que o coeficiente de atrito estático entre a barragem e o terreno seja μ, pede-se: a) Calcular o peso da barragem e a força que a água represada aplica sobre ela; b) Fazer o diagrama de corpo livre da barragem; c) Calcular, em função dos demais parâmetros, a máxima altura h da água que pode ser acumulada sem afetar o equilíbrio estático da barragem. 12

14 3) (Exercício 2, Prova 1, 2015 Poli) A figura mostra um suporte soldado ABF em formato de L vinculado por uma articulação em A e por um apoio simples em B; a barra inclinada está articulada ao suporte em D e ao centro da polia C. A polia tem raio R e seu núcleo pode deslizar sem atrito dentro do rasgo horizontal; o fio ideal está preso em E e sustenta uma carga P. Admitindo que as peças tenham pesos desprezíveis, pede-se: a) Isolar os corpos rígidos e fazer os respectivos diagramas de corpo livre; b) Calcular as reações vinculares em A e B; c) Calcular as forças atuantes na polia; d) Calcular as forças atuantes na barra CD. 13

15 4) (Exercício 3, Prova 1, 2010 Poli) Para a treliça da figura, calcular: a) As reações vinculares; b) As forças nas barras, indicando se são de tração ou compressão. 14

16 5) (Exercício 3, Prova 1, 2016 Poli) A estrutura ilustrada na figura compõe-se de uma barra CD, de peso desprezível, articulada a uma parede vertical e a uma barra horizontal AB, de peso P. A extremidade A da barra AB apoia-se na parede, enquanto em B aplica-se uma força vertical Q. O coeficiente de atrito no contato entre a parede e a barra AB é μ. Pede-se: a) Construir os diagramas de corpo livre das barras AB e CD; b) Determinar o valor máximo de Q compatível com o equilíbrio da estrutura. 15

17 Gabarito: 1) a. R = Fı + Fȷ Fk; M U = F aı + F aȷ + F ak b. R M U = F, a, o sistema é redutível a uma única força. i. Um engastamento em qualquer ponto da barra, pois ele elimina todos os graus de liberdade do sólido. ii. Para λ = 0, tem-se o ponto Q Y = E +,e q ı + k. iii. M zf{ = p Fa ı, ȷ, k. q 2) a. P = q ρ Qb, lg; R = p, ρ Ph, lg b. f c. h ~eg = b min q, ƒ,,p ƒ 16

18 3) a. 4) b. x P = P; x Q = P; y P = P c. x = P; y = P d. F ˆ = P 2; compressão e y Œ = 2P a. x P = 16P; x Œ = 16P; y P = 9P; y Œ = 0 b. Fˆ = 16P compressão ; F P = 15P tração ; F PQ = 4P tração ; F U = 4P compressão ; F Q = 9P compressão ; F QU = 5P tração. 17

19 5) a. b. Q = p, p P 18