Mecânica 1. Resumo Geral

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1 Mecânica 1 Resumo Geral

2 Prova 1 Conceitos 1. Vetores 2. Estática 3. Hidrostática 1. Vetores a. Módulo A = (xı + yȷ + zk) = x, + y, + z, b. Produto Vetorial com Incógnita Vetorial x = u v u, + α u, α ε R c. Produto Escalar É a projeção de um vetor sobre outro Vetores perpendiculares tem produto escalar nulo Resulta em um escalar xı + yȷ + zk aı + bȷ + ck = ax + by + cz A B = A B cos θ, sendo θ o ângulo entre A e B. 1

3 d. Produto Vetorial Resulta em um vetor Vetor resultante será perpendicular ao plano formado pelos vetores multiplicados Vetores na mesma direção tem produto vetorial nulo Multiplica-se os módulos, a direção é o versor seguinte e o sinal é dado pela direção positiva Direção positiva: ȷ + kc ı A B = A B sen θ, sendo θ o ângulo entre A e B. Ex: xı + yȷ + zk ck = ycı xcȷ 2

4 2. Estática a. Força e Resultante Força é definida por um vetor F e por um ponto de aplicação A, sendo representada por (F, A). Resultante é um vetor sem ponto de aplicação dado por R = F F. Quando temos um eixo de coordenadas (plano ou espaço), temos a resultante em cada eixo: R G = F GF ; R I = F IF ; R J = F JF A força produz o mesmo efeito se aplicada sobre qualquer ponto de sua linha de ação. b. Momento em relação a um Polo Momento de uma força em relação a um polo O é definido por: M L = P F O F O c. Mudança de Polo Se tivermos o momento em relação a um polo e queremos calcular em relação a outro: M P = M Q + B A R d. Momento em Relação a um Eixo Temos um eixo passando por O e orientado pelo vetor unitário u. O momento em relação a esse eixo é dado por: M R = M S u 3

5 Forças paralelas ou que cruzam o eixo não geram momento Nos exercícios: i. Calcular a resultante; ii. Calcular o momento em relação ao polo com mais forças; iii. Calcular os outros momentos a partir do já calculado. e. Invariante Tendência de giro ao longo da resultante é a mesma. f. Momento Mínimo Paralelo a resultante M P R = M Q R = I M U = β R Eixo mínimo: β = M S R R, g. Binário Momento aplicado Não gera translação (O-E) = R (M S) R, + α R Gerado por duas forças opostas, logo, resultante é nula Momento binário: M = M d 4

6 A FCCCC P CCCC B d θ F Q O binário age sobre todo o corpo, logo, ele entra no cálculo do momento: M L = P F O F O + M h. Sistemas Equivalentes Caso 1: R = 0 e M Y = 0 à Corpo em Repouso. Caso 2: R = 0 e M Y 0 à Redutível a um binário, igual a M Y. Caso 3: R 0 e I = M Y R = 0 à Redutível a uma única força. i. Nesse caso, calculamos E tal que M U = 0, utilizando M U = M Y + O E R. Caso 4: R 0 e I = M Y R 0 à Redutível a uma força e um binário i. Reduz a um binário (M) igual ao momento calculado M = M S e aplica a resultante em O. 5

7 i. Baricentro Centro geométrico da figura Ponto de aplicação da força peso X ] = m F x F ; Y m ] = m F x F ; Z F m ] = m F x F F m F Em que m F é a massa da parte i e seu centro (x F, y F, z F ). j. Diagrama de Corpo Livre Todas as forças e momentos (esforços) aplicados NO corpo e NÃO pelo corpo R = 0 e M Y = 0 k. Vínculos Mecanismos que fixam o sistema; impedem o movimento em certas direções; restringem graus de liberdade. Nos exercícios, dão lugar a esforços. Em 2 dimensões: Apoio Simples Apoio Fixo (Articulação) Engastamento 6

8 F b F b M d F b F c F c F -Restringe uma translação -Gera uma força - Restringe duas translações -Gera duas forças - Restringe tudo -Gera duas forças e um binário Em 3 dimensões: l. Apoio Simples Apoio Fixo (Articulação) y F d y F d F b F c x x -Restringe uma translação -Gera uma força Engastamento -Restringe todas as translações -Gera três forças Anel 7

9 M d F d y F d F b M b M c x F c F b x -Restringe tudo -Gera três forças e três binários -Restringe 2 translações -Gera duas forças m. Fios, Polias e Treliças Fios i. Inextensíveis ii. Sem massa iii. Apenas forças de tração Polias i. Sem atrito ii. Fio está sempre tracionado iii. Muda o sentido e a direção da força 8

10 Treliças i. Barras articuladas nas extremidades ii. Sem peso iii. Apenas forças na direção da barra n. Método dos Nós Método: i. Acha as reações externas ii. Isola um nó no qual tenha no máximo duas forças desconhecidas iii. Colocar, para cada barra, as forças na direção da mesma (tração ou compressão) iv. Resolve cada nó até encontrar todas as forças o. Método do Corte Método: i. Divida o sistema em 2 cortando, no máximo, 3 barras ii. Resolver utilizando as forças externas Não podem ser três barras que saem do mesmo nó Não podem ser três barras paralelas entre si p. Atrito É tangente à superfície 9

11 Tem sentido contrário à tendência de movimento F a b F at P N x C Enquanto o bloco está parado: F ef = F, até o limite de F ef μ N Limite de escorregamento: Limite de Tombamento: F μ P F P a 2 b 10

12 3. Hidrostática a. Pressão Depende da densidade do líquido (tipo) Depende da profundidade do objeto Direção: Normal à superfície ( esmaga ) P = γ h = ρ g h b. Resultante É o volume da figura gerada pelas pressões Aplicada no baricentro dessa figura gerada P = γ h a b, sendo γ h a pressão e a b a área de aplicação da mesma. 11

13 4. Exercícios 1) (Exercício 1, Prova 1, 2015 Poli) A barra ABCDEHG está sob a ação do sistema de forças F p, A, F,, B, F q, G Considerando F p = F, para i = 1, 2, 3, pede-se: a) Calcular a resultante R e o momento M U E do sistema de forças em relação ao polo E. b) Deseja-se restringir todos os movimentos da barra vinculando-a em um único ponto; pede- se: i. Determinar o tipo de vínculo que deve ser empregado e justificar a escolha; ii. Determinar a posição na qual o vínculo deve ser colocado na barra de modo a minimizar as reações vinculares; iii. Calcular essas reações vinculares. 12

14 2) (Exercício 3, Prova 1, 2015 Poli) A figura mostra uma barragem de concreto (homogênea, de densidade ρ Q e largura L) que represa a água (densidade ρ P ) acumulada junto a uma encosta. Admitindo que não ocorra infiltração de água sob a barragem e que o coeficiente de atrito estático entre a barragem e o terreno seja μ, pede-se: a) Calcular o peso da barragem e a força que a água represada aplica sobre ela; b) Fazer o diagrama de corpo livre da barragem; c) Calcular, em função dos demais parâmetros, a máxima altura h da água que pode ser acumulada sem afetar o equilíbrio estático da barragem. 13

15 3) (Exercício 2, Prova 1, 2015 Poli) A figura mostra um suporte soldado ABF em formato de L vinculado por uma articulação em A e por um apoio simples em B; a barra inclinada está articulada ao suporte em D e ao centro da polia C. A polia tem raio R e seu núcleo pode deslizar sem atrito dentro do rasgo horizontal; o fio ideal está preso em E e sustenta uma carga P. Admitindo que as peças tenham pesos desprezíveis, pede-se: a) Isolar os corpos rígidos e fazer os respectivos diagramas de corpo livre; b) Calcular as reações vinculares em A e B; c) Calcular as forças atuantes na polia; d) Calcular as forças atuantes na barra CD. 14

16 4) (Exercício 3, Prova 1, 2010 Poli) Para a treliça da figura, calcular: a) As reações vinculares; b) As forças nas barras, indicando se são de tração ou compressão. 15

17 5) (Exercício 3, Prova 1, 2016 Poli) A estrutura ilustrada na figura compõe-se de uma barra CD, de peso desprezível, articulada a uma parede vertical e a uma barra horizontal AB, de peso P. A extremidade A da barra AB apoia-se na parede, enquanto em B aplica-se uma força vertical Q. O coeficiente de atrito no contato entre a parede e a barra AB é μ. Pede-se: a) construir os diagramas de corpo livre das barras AB e CD; b) determinar o valor máximo de Q compatível com o equilíbrio da estrutura. 16

18 Gabarito: 1) a. R = Fı + Fȷ Fk; M U = F aı + F aȷ + F ak b. R M U = F, a, o sistema é redutível a uma única força. i. Um engastamento em qualquer ponto da barra, pois ele elimina todos os graus de liberdade do sólido. ii. Para λ = 0, tem-se o ponto Q Y = E +,e q ı + k. iii. M zf{ = p Fa ı, ȷ, k. q 2) a. P = q ρ Qb, lg; R = p, ρ Ph, lg b. f c. h ~eg = b min q, ƒ,,p ƒ 17

19 3) a. 4) b. x P = P; x Q = P; y P = P c. x = P; y = P d. F ˆ = P 2; compressão e y Œ = 2P a. x P = 16P; x Œ = 16P; y P = 9P; y Œ = 0 b. Fˆ = 16P compressão ; F P = 15P tração ; F PQ = 4P tração ; F U = 4P compressão ; F Q = 9P compressão ; F QU = 5P tração. 18

20 5) a. b. Q = p, p P 19

21 Prova 2 Conceitos 1. Cinemática do Ponto Material 2. Cinemática dos Sólidos 1. Cinemática do Ponto Material a. Curvas Definição algébrica: A curva parametriza uma função de duas ou mais variáveis em uma região com menos variáveis. γ = x t, y t Onde x = x t e y = y(t) Respeitando: y = f(x) Parametrização: Trocar variáveis por um parâmetro comum, mantendo a relação entre elas. Exemplo comum: Parametrizando, temos: y = x x = t y = t γ = t, t 20

22 t R Parametrização por Coordenadas Polares: Provocar o aparecimento de sin t e cos t, quando variáveis tiverem grau 2. Exemplo comum: Parametrizando: x, + y, = 1 x = cos t y = sin t γ = cos t, sin t 0 t < 2π Curva por Interseção de Superfícies: Isolar uma variável e substituir na outra equação, parametrizando com duas variáveis em vez de três. Exemplo: Parametrizando: S p x + y + z = 1 S, x + y z = 0 z = x + y Em S p : 2x + 2y = 1 x = t y = 1 2t 2 z =

23 γ = t, 1 2t 2, 1 2 b. Abscissa Curvilínea Escalar Comprimento sobre a curva ds, = dx, + dy, + dz, ds dt = dx dt, + dy dt, + dz dt, c. Versor Tangente t = Ÿ = Ÿ = Direção da tangente Unitário, sendo ΔP o módulo do vetor posição d. Curvatura κ = dθ ds e. Raio de Curvatura ρ = 1 κ 22

24 f. Vetor de Versor Normal Vetor Normal Versor Normal N = d t ds n = N N g. Versor Binormal h. Triedro de Frenet b = t n 23

25 i. Fórmulas de Frenet j. Velocidade Ÿ dt ds = N = κ n = n ρ = γ n (torção da curva) dn ds = γb κt v = ds dt v = dr dt 24

26 k. Aceleração a = dv dt = d dt ds dt = d, S dt, a = dv dt t + v, n ρ 2. Cinética dos Sólidos a. Teorema do Corpo Rígido Não se deformam Dimensões não desprezíveis A B = constante V P A B = V Q (A B) i. Condição necessária, porém, não suficiente 25

27 b. Tipos de Movimentos Translação Rotação -Reta que liga A e B deve manter a mesma direção -Velocidade e aceleração iguais para todos os pontos -Não precisa ser uma trajetória retilínea Roto Translação -Todos os pontos do corpo formam uma trajetória circular -Os pontos sobre o eixo de rotação tem velocidade e aceleração zero Movimento Plano -Direção do eixo de rotação é mantida -Condição particular do Roto Translatório -Eixo de rotação é perpendicular ao plano do papel 26

28 c. Vetor Rotação ω = dθ dt ω = ωk d. Fórmulas de Poisson V = V Y + ω (P 0) a = a Y + ω P 0 + ω ω (P 0) i. Não pode sempre derivar a velocidade para achar a aceleração. Isso só vale se V não muda de direção. 27

29 e. Bases Girantes No caso dos vetores da base se moverem: ı = ω ı ȷ = ω ȷ k = ω k Onde ω é o vetor rotação do corpo ao qual o eixo é solidário. f. Eixo Helicoidal Instantâneo V P ω = V Q ω A velocidade será mínima se for paralela a ω: V U = miníma = β ω E A = ω V P ω, + α ω V U = β ω = V P ω ω, ω g. Centro Instantâneo de Rotação (CIR) Movimento plano V U ~F{ = 0 CIR O ωk = V S CIR O é perpendicular a V S, para todo ponto O do corpo 28

30 Método para encontrar o CIR de um corpo: i. Determinar a direção da velocidade de dois pontos do corpo ii. Traçar as perpendiculares iii. Achar o ponto de encontro. Ele será o CIR h. Composição de Movimentos Movimento Relativo: Paramos o referencial móvel, subimos nele e medimos o movimento relativo, a partir do referencial móvel Movimento de Arrastamento: Paramos o movimento relativo ( prendemos os corpos) e deixamos o corpo do referencial móvel moverse. Medimos em relação ao referencial fixo. Para resolver, o ideal é colocar o sistema de coordenadas no referencial móvel. 29

31 V,e ² = V, ³ µ + V, e³³ a,e ² = a, ³ µ + a, e³³ + 2 ω V, ³ µ i. No qual o último termo é a Aceleração de Coriolis, sendo ω a velocidade angular do referencial móvel Composição do vetor rotação: Ω e ² = Ω ³ µ + ω Ω e ² = Ω ³ µ + ω + ω Ω ³ µ 30

32 3. Exercícios 1) (Exercício 2, Prova 2, 2014 Poli) No sistema mostrado na figura, a haste AB e o garfo CD constituem um corpo rígido único ACD. A distância entre os pontos D e C é L, o ângulo entre os segmentos de reta DC e AB é θ (fixo) e o disco com centro em D tem raio r. O vetor rotação do eixo AB é Ω = Ωk (constante), enquanto o disco gira com vetor rotação ω = ωk (ω constante), relativamente ao corpo ACD. Usando como base do referencial móvel os versores ı, ȷ, k solidários ao eixo AB, e sabendo que no instante considerado a posição do P é dada por P D = r k, determinar: a) As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P; b) As acelerações relativa, de arrastamento, de Coriolis e absoluta do ponto P; c) O vetor rotação absoluto do disco; d) A aceleração rotacional absoluta do disco. 31

33 2) (Exercício 2, Prova 2, 2009 Poli) A placa RSTW gira em torno do eixo RW com vetor de rotação ω, de módulo constante. Sustentado por mancais solidários à placa em C e D, o eixo CED possui vetor de rotação ω p de módulo constante em relação a placa. A barra EH é soldada ao eixo CED e sustenta, em H, um tubo paralelo ao eixo CED. No interior do tubo o êmbolo F de um cilindro hidráulico desloca-se com velocidade de módulo V, constante em relação ao tubo. Determinar, para o instante mostrado na figura e representando os vetores na base vetorial solidária a placa RSTW: a) O vetor rotação absoluta Ω da peça CDEH; b) O vetor aceleração rotacional absoluta Ω da peça CDEH; c) O vetor velocidade absoluta do ponto F do êmbolo; d) O vetor aceleração absoluta do ponto F do êmbolo; Dado:ME = 5a; EH = 3a; F H = aı 32

34 3) (Exercício 1, Prova 2, 2016 Poli) Conforme ilustrado na figura, um pequeno anel move-se vinculado a um arame curvo descrito pela equação: P O = r u = cos u + cos 2u ı + sin u sin 2u ȷ + 3 sin u k em que u é um parâmetro variável no tempo. O movimento do anel obedece à lei horária u t = f py. Para o instante t = 10π, pede-se: a) O versor tangente ao arame no ponto coincidente com o anel, descrito em coordenadas cartesianas (utilize a base ı, ȷ, k). b) A velocidade do anel descrita em coordenadas intrínsecas; c) A aceleração do anel descrita em coordenadas intrínsecas. 33

35 4) (Exercício 1, Prova 2, 2008 Poli) Os discos de raio R p e R, rolam sem escorregar e estão sempre em contato com a superfície mostrada na figura. A barra CD está articulada ao centro da barra AB, de forma que permanece sempre paralela ao versor ȷ. Sabendo que o vetor de rotação do disco com centro em A (de raio R p ) vale ω p k, constante, determine: a) A velocidade v P do ponto A; b) O centro instantâneo de rotação da barra AB; c) O vetor de rotação ω PQ da barra AB e o vetor de rotação ω, do disco com centro em B; d) A velocidade v do ponto D; 34

36 5) (Exercício 3, Prova 2, 2008 Poli) A barra CP está articulada em C ao disco com centro em O, como indicado na figura. No instante considerado, a barra gira com vetor de rotação constante ω = θı e o disco gira com vetor de rotação constante Ω. A distância entre os pontos O e C vale R. Usando a base ı ȷ k, solidária ao disco, e considerando o disco como referencial móvel, determinar: a) O vetor de rotação absoluto e a aceleração angular da barra CP; b) As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P; c) As acelerações relativa, de arrastamento e absoluta do ponto P. 35

37 Gabarito: 1) 2) a. V ³ µ = ωrȷ; V e³³ = ΩL sin θ ı; V e ² = ΩL sin θ ı ωrȷ. b. a ³ µ = ω, rk; a e³³ = Ω, L sin θ ȷ; a ŒL³ = 2Ωωr ı. a e ² = 2Ωωr ı Ω, L sin θ ȷ ω, rk. c. ω e ² = ωı + Ωȷ. d. ω e ² = Ωωȷ. a. Ω = ω, k + ω p ı. b. Ω = ω, ω p ȷ. c. V ¼ = v 3aω, ı + 6aω, ȷ + 3aω p k. d. a ¼ = 6aω,, ı + 2ω, v 3aω, p 3aω,, ȷ. 3) a. τ =,, ȷ,, k. b. v (t = 10π) = q, py τ. c. a (t = 10π) = q pyy n. 36

38 4) a. v e = ω p R p ı. b. c. ω PQ = À ÁÂ Á Ã Á ÄÅÆ Ç k. d. v = À ÁÂ Á, (ı + cot θ ȷ). 5) a. ω e ² = θı + Ωk. b. ω e ² = Ωθȷ c. V ³ µ = θl sin θ ȷ + cos θ k ; V e³³ = Ω (R + L cos θ) ı; V e ² = Ω (R + L cos θ) ı + θl sin θ ȷ + cos θ k. d. a ³ µ = θ, L cos θ ȷ + sin θ k ; a e³³ = Ω, (R + L cos θ) ȷ; a ŒL³ = 2ΩθL sin θ ı; a e ² = 2ΩθL sin θ ı (Ω, R + L cos θ) + θ, L cos θ ȷ θ, L sin θ k. 37

39 Prova 3 Conceitos 1. Dinâmica do Ponto 2. Dinâmica do Corpo Rígido 1. Dinâmica do Ponto a. Quantidade de Movimento Linear Vetorial Instantânea Q = m v b. Quantidade de Movimento Angular K S = P O Q K S = P O mv c. Segunda Lei de Newton d. Impulso F = Q = m a I = fé Fdt ff I = Q 38

40 e. Trabalho τ = ³É Fdr ³F = mvdv = Fvdt Não há trabalho se a força for ortogonal à trajetória f. Energia Cinética (T) T = m v, 2 τ = Τ g. Trabalho da Força Peso τ = mg (z Y z É ) 39

41 h. Trabalho da Força Elástica τ = K 2 (x Y, x p, ) 2. Dinâmica do Corpo Rígido a. Momento de Inércia Mede a dificuldade de rotacionar um corpo ao redor de um eixo, assim como a massa inercial mede a dificuldade de transladar um corpo Para massas pontuais: I R = r, m 40

42 Momento de Inércia Polar: I cc = (y, + z, )dm I bb = (x, + z, )dm I dd = (x, + y, )dm I cc + I bb + I dd = 2 I Y No caso plano: I dd = I Y I cc + I bb = I Y Para um corpo rígido: I R = r, dm i. Onde r é a distância do eixo ao baricentro do corpo 41

43 Teorema dos Eixos Paralelos: b. Produto de Inércia Dificuldade de rotacionar ao redor de um plano I cb = XY dm I cd = XZ dm I bd = YZ dm 42

44 Quais casos o produto de inércia zera? i. Se um dos planos (XY, XZ ou YZ) é um plano de simetria, então o produto de inércia em relação aos dois outros planos é nulo No caso plano, XY é plano de simetria, logo I cd e I bd serão nulos ii. Se o corpo possui um eixo de simetria, ou seja, todo plano que o contém é plano de simetria, então: I cd = I bd = I cb = 0. Estes, calculados em relação ao baricentro. Teorema dos Eixos Paralelos: 43

45 c. Matriz de Inércia d. Teorema do Movimento do Baricentro R = R Gf Gf M S = M Ś m a ] = R Gf i. m = massa do corpo ii. a Ì = aceleração do baricentro do corpo iii. R ÏÐÑ = somátorio das forças externas aplicadas no corpo e. Teorema da Quantidade de Movimento Angular (TQMA ou TMA) Para o caso plano: i. ω = ωk, ou seja, só gira ao redor do eixo Z ii. I cd = I bd = 0 44

46 K Y = m G O V S + I dd ωk Derivando... K Y = m V ] V S + m G O a S + I dd ωk Gf K Y = m V ] V S + M Ś Logo: M Gf Ś = m G O a S + I dd ωk i. Apenas para o caso plano f. Teorema da Energia Cinética Para corpos rígidos: Τ = T ¼ T F = τ Gf T = 1 2 m v Y, + m v Y ω G O ω f pgq I S qgq ω qgp i. O resultado é o mesmo para qualquer ponto, logo, vamos escolher pontos que facilitem as contas Casos especiais: i. O é um ponto fixo, ou seja, v Y = 0 T = 1 2 ω f pgq I S qgq ω qgp 45

47 ii. O = G T = 1 2 m v Y, ω f pgq I S qgq ω qgp iii. Translação pura (ω = 0) T = 1 2 m v Y, iv. Caso plano T = 1 2 m v Y, + m v Y ωk G O ω, I dd g. Cálculo do Trabalho Só realizam trabalho forças na direção do deslocamento: τ = F d cos θ Força Normal: τ Õ = 0 i. Pois é ortogonal à trajetória Força de Atrito: i. Sem escorregamento à τ ¼ef = 0 ii. Com escorregamento à τ ¼ef < 0 46

48 Trabalho do Momento: τ = M θ 47

49 3. Exercícios 1) (Exercício 1, Prova 3, 2015 Poli) Duas barras esbeltas e homogêneas AB e BO, cada uma com massa m e comprimento L, estão soldadas fazendo uma peça em forma de L, conforme mostrado na figura. Pedem-se: a) Calcule o momento de inércia Jz e o produto de inércia Jzy dessa peça; b) Calcule o momento de inércia Jz dessa peça, em relação ao eixo z paralelo a z e que passa pelo ponto D. 48

50 2) (Exercício 2, Prova 3, 2015 Poli) Duas barras uniformes, cada uma de massa m e comprimento L, estão articuladas em B como mostra a figura. Este sistema está num plano vertical, o ponto D da barra BD pode escorregar sem atrito no plano horizontal, e o ponto A da barra AB está preso por uma articulação externa. Desloca-se levemente o ponto D para a esquerda, soltando-o em seguida, fazendo com que o sistema entre em movimento. Para o instante em que o ponto D estiver exatamente abaixo de A, pedem-se, em função dos dados: a) Construa os diagramas de corpo livre das barras AB e BD; b) Obtenha a relação entre os vetores rotação ω PQ e ω Q ; c) Obtenha a expressão da velocidade v do ponto D. 49

51 3) (Exercício 3, Prova 3, 2006 Poli) Um disco de massa m, raio R e centro G rola sem escorregar em um plano inclinado, como indicado na figura. O disco é tracionado por um fio inextensível, de massa desprezível, que está conectado a um corpo B de massa m. No instante inicial, o sistema está em repouso e h = 0. Sabendo que a polia com centro C tem massa desprezível, pedem-se: a) A energia cinética do sistema; b) A velocidade v Q e a aceleração a Q do bloco em função de h; c) A tração T no fio e as componentes normal e tangencial da força de contato no disco. 50

52 4) (Exercício 1, Prova 3, 2016 Poli) Um bloco de massa m Q escorrega sobre o plano horizontal com coeficiente de atrito μ. O bloco está ligado a um cabo ideal cuja extremidade está presa na polia de massa m e raio R, cujo centro C é vinculado ao solo por meio de articulação sem atrito. No instante inicial, quando o sistema está em repouso, é aplicado um momento de binário M (constante) na polia de centro C, suficiente para acelerar o bloco. Sabe-se que a origem de x é tal que x = 0 para θ = 0. a) Determine a energia cinética do sistema em função da velocidade angular ω = θ da polia de centro C; b) Determine velocidade angular ω da polia de centro C em função de θ. 51

53 5) (Exercício 1, Prova 3, 2013 Poli) O sólido é composto por três barras homogêneas de mesma massa m, mesmo comprimento a e diâmetro desprezível, soldadas entre si no formato mostrado na figura. A barra AB é paralela ao eixo Oy. Usando o sistema de coordenadas Oxyz, determine: a) O momento de inércia J Sd do sólido; b) O produto de inércia J Scb do sólido. 52

54 Gabarito: 1) 2) a. J d =,~ÃØ ; J q db = ~ Ã., b. J dù = m,ãø q + 2a, al. a. b. ω PQ = ω Q = ω = ωk. 3) c. v = ÚÛÃ Ü ı. a. E ŒF{ = Ý mv Q,. b. v, Q = ÛÞ (1 sin α); a Ý Q =,Û (1 sin α) Ý c. T = ~Û (3 + 2 sin α);f Ý ef = ~Û (1 sin α); N = mg cos α. Ý 53

55 4) 5) a. E = ÂØ À Ø (m + 2m Q ). b. ω = (z ~ ÛÂ) Â Ø (~ ß,~ ) θ. a. I Sd = Ý~eØ q. b. I Scb = ~eø,. 54