Leitura obrigatória Mecânica Vetorial para Engenheiros, 5ª edição revisada, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr.

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1 PUC - Goiás Curso: Engenharia Civil Disciplina: Mecânica Vetorial Corpo Docente: Geisa Pires Turma: Plano de Aula Data: / / Leitura obrigatória Mecânica Vetorial para Engenheiros, 5ª edição revisada, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr. Editora Pearson CAPÍTULO 4 Equilíbrio dos Corpos Rígidos 1. Introdução Vimos no capítulo anterior que as forças externas que agem em um corpo rígido podem ser reduzidas a um sistema força-binário em um ponto arbitrário 0. Quando a força e o binário são ambos nulos, as forças externas constituem um sistema equivalente a zero e diz-se que o corpo rígido está em equilíbrio. F 0 M 0 r F 0 As equações acima traduzem o fato de que as componentes das forças externas se compensam nas direções x, y e z e também que os momentos das forças externas, em relação aos eixos x, y e z, se anulam. O sistema das forças externas, por conseguinte, não comunicará movimento de translação ou rotação ao corpo rígido considerado. Para escrever as equações de equilíbrio de um corpo rígido, é essencial identificar, em primeiro lugar, todas as forças que agem no corpo e desenhar o diagrama de corpo livre correspondente. Além das forças aplicadas à estrutura, consideramos as REAÇÔES aplicadas na estrutura por seus vínculos. Cada tipo de vínculo associa uma reação específica à estrutura.. Diagrama de Corpo Livre Na resolução de um problema referente ao equilíbrio de um corpo rígido, é essencial considerar todas as forças que atuam sobre o corpo. 1 Geralmente começamos a traçar o diagrama de corpo livre escolhendo o corpo a ser estudado e isolando-o do restante do problema. O segundo passo é identificar todas as forças externas que atuam no corpo. O Terceiro e último passo é identificar e escrever todas as forças de reação que atuam sobre o corpo. Isso é possível quando se conhecem os vínculos e as reações a eles associadas. 3. Equilíbrio em Duas Dimensões As reações exercidas sobre uma estrutura bidimensional podem ser dividias em três grupos correspondentes a três tipos de vínculos: 1- Reações Equivalentes a uma Força com Linha de Ação Conhecida: Os vínculos que causam reações desse tipo são os roletes, balancins, superfícies lisas, hastes curtas e cabos, cursores e pinos deslizantes sem atrito. - Reações Equivalentes a uma Força de Direção Desconhecida: Os vínculos que causam esse tipo de reações são os pinos polidos em origícios ajustados, articulações e superfícies rugosas. Eles podem restringir a translação de um corpo livre em todas as direções, mas não restringem a rotação em torno da conexão. 3- Reações Equivalentes a uma Força e um Binário: Essas reações são causadas por apoios fixos que impedem qualquer movimento do corpo livre, imobilizando-o completamente. As reações desse grupo envolvem três incognitas, consistindo geralmente em duas componentes da força e um momento.

2 A tabela abaixo identifica os vínculos e as reações a eles associada. verificar que podemos determinar as reações de dois roletes e um c abo, ou de um engaste, ou de um rolete e uma articulação. Nesta situação temos três incógnitas e três equações de equilíbrio para determiná-las. Em tais casos, diz-se que o corpo rígido está completamente vinculado. Quando tal situação existe, diz-se que as reações são estaticamente determinadas.porém, em algumas estruturas temos mais incógnitas (reações) a determinar do que equações disponíveis. Quando tal situação existe, diz-se que as reações são estaticamente indeterminadas. Ainda, em outras situações o número de incógnitas (reações) a serem determinadas pode ser menor que o número de equações disponíveis (3 para o equilíbrio bidimensional). Quando isso acontece dizemos que a estrutura está com vínculo ineficaz. Do que foi visto acima resulta que, se um corpo rígido está completamente vinculado e se as reações em seus vínculos são estaticamente determinadas, devem existir tantas incógnitas quantas forem as equações de equilíbrio. Os vínculos que envolvem reações estaticamente indeterminadas devem ser usados com cuidado no projeto de estruturas e somente quando houver conhecimento pleno dos problemas que possam causar. Exercícios 4. Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas Dimensões De forma mais geral, podemos escrever as equações de equilíbrio para uma estrutura bidimensional na forma 1 Em um suporte em forma de T é aplicada uma carga de 00 N. Determine as reações em A e C. R: V A =489 N, H C = 100 N e V C = 66 N F F M x y A Onde A é qualquer ponto no plano da estrutura. Vimos anteriormente que as forças desconhecidas são, geralmente, as reações, e que o número de incógnitas correspondentes a uma dada reação depende do tipo de apoio ou conexão que causa essa reação. Com as equações acima podemos

3 Uma treliça pode ser apoiada das três maneiras ilustradas. Determine as reações nos apoios, em cada caso. R: R A =,05 kn (47,0 com eixo x negativo) R B = 5,0 kn (60 com eixo x negativo) R: R A = 4,7 kn (0,6 com eixo x negativo) R B = 4,50 kn ( para cima) 3 Determine as reações em A e B quando α = 30. R: H A = -5,11 N(i) V A = 159,74 N(j) R B = 104,N R: R A = 1,50 kn (para cima) R B = 6,0 kn ( 48,4 com eixo x negativo) 3

4 4 Uma barra leve AD está suspensa por um cabo BE e suporta um bloco de 0 kg preso em C. As extremidades A e D da barra estão em contato, sem atrito, com as paredes verticais. Determine a força de tração no cabo BE e as reações em A e D. R: T BE = 196, R A = 73,6 N (i) R D = -73,6 N (i) 6- Na haste AD estão aplicadas uma força vertical P no extremo A e duas forças horizontais de mesmo módulo e sentido opostos Q, nos pontos B e C. Desprezando o peso da haste, obternha a expressão de em termos de P e Q, no equilíbrio. R: 5 Uma haste leve AD está apoiada, sem atrito, em A, B e C. Uma força vertical de 600 N (α = 0) é aplicada em D. Determine as reações em A, B e C. R: R A = 347N (i) R B = 173 N (60 a sudeste do eixo x positivo) 7 Um poste de 5,40 m que pesa 1600 N sustenta as extremidades de dois fios. Os fios formam com a horizontal os ângulos ilustrados e estão submetidos a forças de tração T 1 = 600 N e T = 375 N. Determine a reação em A. 4

5 8 Um mangote de peso P move-se ao longo de um eixo vertical, sem atrito. A constante da mola é k, e a mola não está esticada quando y = 0. Deduza uma equação envolvendo y, P, a e k que deve ser satisfeita quando o mangote está em equilíbrio. R: y1 a a y P k 10 A peça ACB, em forma de L, está articulada em C e presa a um cabo inextensível em A e em B. O cabo passa por uma roldana lisa em D. Pode-se supor que a força de tração é a mesma nas porções AD e BD do cabo. Sabendo que os módulos das forças aplicadas em A e B são, respectivamente, P = 150 N e Q = 0, determine a força de tração no cabo e a reação em C. R: T = 600 N H C = 600 N e V C = 450 N 9 Uma viga de madeira com 3,60 m de comprimento pesa 400 N. Ela está articulada em A e presa a um cabo em BC no ponto B. Determine a reação em A e a força de tração no cabo. R: T = 500 N e R A = 413 N (14 com eixo x positivo) 5