Resistência dos Materiais. Aula 6 Estudo de Torção, Transmissão de Potência e Torque

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1 Aula 6 Estudo de Torção, Transmissão de Potência e Torque

2 Definição de Torque Torque é o momento que tende a torcer a peça em torno de seu eixo longitudinal. Seu efeito é de interesse principal no projeto de eixos ou eixos de acionamento usados em veículos e maquinaria.

3 Deformação por Torção

4 Equação da Torção Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um torque interno correspondente no interior do eixo. A equação da torção relaciona o torque interno com a distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal de um eixo ou tubo circular. Para material linear-elástico aplica-se a lei de Hooke. τ = G γ onde: G = Módulo de rigidez γ = Deformação por cisalhamento

5 Equação da Torção τ máx = T c J τ = T ρ J onde: τ = Tensão de cisalhamento no eixo T = Torque interno resultante que atua na seção transversal J = Momento de inércia polar da área da seção transversal c = Raio externo do eixo ρ = Raio medido a partir do centro do eixo

6 Dimensionamento de Eixo Sólido J Momento de inércia polar: 2 = da A ρ = c 2 J ρ ( 2 π ρ dρ ) 0 J = c 3 2 π ρ dρ 0 J = 4 2 π ρ 4 c 0 J = π 2 4 c

7 Falha na Torção

8 Dimensionamento de Eixo Tubular Momento de inércia polar: J = π ( ) 4 4 c e c i 2

9 Exercício 4 1) O tubo mostrado na figura tem um diâmetro interno de 80 mm e diâmetro externo de 100 mm. Supondo que sua extremidade seja apertada contra o apoio em A por meio de um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da parte central do tubo quando são aplicadas forças de 80 N ao torquímetro.

10 Transmissão de Potência Eixos e tubos com seção transversal circular são freqüentemente empregados para transmitir a potência gerada por máquinas. Quando usados para essa finalidade, são submetidos a torque que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo.

11 Definição de Potência A potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo: Onde: P T dθ = dt T = Torque aplicado dθ = Ângulo de rotação Sabe-se que a velocidade angular do eixo é dada por: ω = dθ dt Portanto: P = T ω No SI, a potência é expressa em watts 1W = 1Nm/s

12 Relação Potência-Freqüência No caso da análise de máquinas e mecanismos, a freqüência de rotação de um eixo, é geralmente conhecida. Expressa em hertz (1Hz = 1 ciclo/s), ela representa o número de revoluções que o eixo realiza por segundo. Portanto, a equação da potência pode ser escrita do seguinte modo: P = 2 π f T Como 1 ciclo = 2π rad, pode-se escrever que: ω = 2 π f

13 Dimensionamento de Eixos Quando a potência transmitida por um eixo e sua rotação são conhecidas, o torque no eixo pode ser determinado. Conhecendo-se o torque atuante no eixo e a tensão de cisalhamento do material é possível determinar a dimensão do eixo a partir da equação da torção da seguinte forma: J c T = τ adm J Para eixo maciço: J = π c Para eixo tubular: ( c e c = π i 2 4 )

14 Exercícios Propostos 1) O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo.

15 Exercícios Propostos 2) O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm. Determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta nele desenvolvida e traçar o gráfico da distribuição cisalhamento-tensão ao longo de uma reta radial onde o cisalhamento é máximo. Considerar T 1 = 20 Nm.

16 Exercícios Propostos 3) O eixo de aço está submetido à carga de torção mostrada. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B e desenhar o gráfico da tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. O eixo onde A e B estão localizados tem raio externo de 60 mm.

17 Exercícios Propostos 4) O acoplamento é usado para acoplar dois eixos. Supondo que a tensão de cisalhamento nos parafusos seja uniforme, determinar o número de parafusos necessários para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo seja igual à tensão de cisalhamento nos parafusos. Cada parafuso tem diâmetro d.

18 Exercícios Propostos 5) A bomba opera com um motor que tem potência de 85 W. Supondo que o impulsor em B esteja girando a 150 rpm, determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em A, localizada no eixo de transmissão que tem 20 mm de diâmetro.

19 Aula 7 Estudo de Torção, Ângulo de Torção

20 Ângulo de Torção O projeto de um eixo depende de limitações na quantidade de rotação ou torção ocorrida quando o eixo é submetido ao torque, desse modo, o ângulo de torção é importante quando se analisam as reações em eixos estaticamente indeterminados. = L T ( x) dx φ 0 J ( x) G φ = Ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra. T(x) = Torque interno na posição arbitrária x. J(x) = Momento de inércia polar do eixo expresso em função de x. G = Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material.

21 Cálculo para Área e Torque Constantes Normalmente, o material é homogêneo, de modo que G é constante, bem como, a área da seção transversal e o torque aplicado também são constantes, portanto, a equação que determina o ângulo de torção pode ser expressa do seguinte modo: φ = T J Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes, ou a área da seção transversal e o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra, o ângulo de torção pode ser determinado a partir da adição dos ângulos de torção para cada segmento do eixo, assim: φ L G = T J L G

22 Convenção de Sinais A direção e o sentido do torque aplicado é definido a partir da aplicação da regra da mão direita. Torque e ângulo serão positivos se a direção indicada pelo polegar for no sentido de afastar-se do eixo.

23 EIXO SUJEITO A DIVERSOS TORQUES (DIAGRAMA REPRESENTATIVO)

24 Exercício 1 1) As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das extremidades fixa estão sujeitas aos torques mostrados na figura. Supondo que o módulo de elasticidade de cisalhamento seja G = 80 GPa e o eixo tenha diâmetro de 14 mm, determinar o deslocamento do dente P da engrenagem A. O eixo gira livremente no mancal em B.

25 Exercícios Propostos 1) Os dois eixos de aço maciço mostrados na figura estão acoplados por meio de engrenagens. Determinar o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o torque T = 45 Nm. Supor G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar nos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 20 mm.

26 Exercícios Propostos 3) O eixo de aço A-36 está composto pelos tubos AB e CD e por uma parte maciça BC. Apóia-se em mancais lisos que lhe permitem girar livremente. Se as extremidades estão sujeitas a torques de 85 Nm, qual o ângulo de torção da extremidade A em relação à extremidade D? Os tubos tem diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno de 20 mm. A parte maciça tem diâmetro de 40 mm.

27 Exercícios Propostos 4) O eixo maciço de aço A-36 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 50 mm. Requer-se que transmita 35 kw de potência do motor E para o Gerador G. Determinar a menor velocidade angular que o eixo pode ter se a máxima torção admissível é de 1.

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