Lista de Exercícios de Cálculo 3 Terceira Semana

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1 Lista de Exercícios de Cálculo 3 Terceira Semana Parte A 1. Reparametrize as curvas pelo parâmetro comprimento de arco medido a partir do ponto t = 0 na direção crescente de t. (a) r(t) = ti + (1 3t)j + (5 + 4t)k (b) r(t) = e t cos ti + j + e t sin tk. Encontre os vetores tangente unitário e normal unitário T(t) e N(t) para as seguintes curvas. (a) r(t) = ( sin t, 5t, cos t) (b) r(t) = (t, sin t t cos t, cos t + t sin t), t > 0 (c) r(t) = ( t, e t, e t ) (d) r(t) = (t, t /, t ) 3. Encontre a curvatura das curvas abaixo. (a) r(t) = t i + tk (b) r(t) = ti + tj + (1 + t )k 4. Para a curva e o ponto P dados, ache a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura e esboce o gráfico da curva e o círculo de curvatura em P. (a) y = sen(x); P (π/, 1) (b) xy = 1; P (1, 1) (c) y = sec(x); P (0, 1) (d) 9x + 4y = 36; P (, 0) (e) y = 1 x ; P ( ) 1, 1 5. Determine as equações dos planos normal e osculador para as curvas abaixo nos pontos dados. (a) r(t) = sin 3ti + tj + cos 3t; (0, π, ) (b) r(t) = ti + t j + t 3 k; (1, 1, 1) 6. Prove que, se um ponto percorre uma curva C com velocidade constante, então a aceleração é sempre normal a C. 7. Se um ponto P se move ao longo de uma curva C com velocidade constante, mostre que o módulo da aceleração é diretamente proporcional à curvatura da curva. 1

2 Parte B 1. Reparametrize a curva r(t) = ( ) t i + t t + 1 j com respeito ao comprimento de arco medido a partir de t = 1 na direção crescente de t. Coloque a reparametrização na forma mais simples possível. O que é possível concluir sobre a curva?. A hélice geral é uma curva cujo vetor tangente faz ângulo constante com um vetor unitário u. Mostre que a curva parametrizada por x = 3t t 3, y = 3t e z = 3t + t 3 ; t R é uma hélice geral, determinando um vetor apropriado u. 3. Prove que a curvatura máxima de uma parábola ocorre no vértice. 4. Uma hélice elíptica tem equações paramétricas x = a cos t, y = b sin t, z = ct com a, b, c > 0 e a b. Determine a curvatura no ponto (x, y, z). 5. Encontre os vetores T, N e B no ponto dado. (a) r(t) = (t, t 3 /3, t), (1, /3, 1) (b) r(t) = (cos t, sin t, ln cos t), (1, 0, 0) 6. Mostre que se um ponto se move ao longo do gráfico de y = f(x) para a x b, então o componente normal da aceleração é 0 em um ponto de inflexão. 7. Em qual ponto da curva r(t) = t 3 i + 3tj + t 4 k o plano normal é paralelo ao plano 6x + 6y 8z = 1? 8. Encontre para as trajetórias espaciais o vetor binormal e a torção. Parte C (a) r(t) = coshti senhtj + tk (b) r(t) = cos 3 ti + sen 3 tj 1. Uma partícula realiza um movimento helicoidal dado por x = cos(πt) y = sin(πt) z = t/ (a) Determine a direção tangente à esta trajetória no instante t = 3/4. (b) Determine o plano ortogonal à trajetória da partícula em t = 3/4. (c) Determine a projeção da aceleração desta partícula no plano normal.. Suponha que uma curva C seja gráfico de uma equação polar r = f(θ). Se r = dr/dθ e r = d r/dθ, mostre que a curvatura K em P (r, θ) é K = (r ) rr + r [(r ) + r ] 3/. 3. A Força G, F G, que pode ser observada nas transmissões de modalidades esportivas como a Fórmula 1 e a Red Bull Air Race, representa, na verdade, o módulo da aceleração centrípeta agindo sobre o piloto em uma determinada parte do percurso, seja curva ou reta. Essa aceleração é contabilizada como um múltiplo do módulo da aceleração da gravidade g. A figura abaixo representa um mapa do Autódromo de Interlagos e nele estão destacados dois pontos de baixa velocidade do circuito, o S do Senna e a Descida do Lago. Considere que na Descida do Lago, no ponto destacado, se tenha F G = 4.5g e v = 43m/s 154km/h. Além disso, suponha que a curva possa ser aproximada por uma circunferência r(t) = a cos ti + a sin tj.

3 Figura 1: Circuito de Interlagos (a) Mostre que a fórmula da curvatura da circunferência é constante e dada por κ = 1 a. (b) Ache o raio da circunferência em função da aceleração da gravidade g. 4. A curvatura também presta o seu papel na Física. A magnitude da força necessária para mover um objeto a uma velocidade constante ao longo de uma trajetória, de acordo com a segunda lei de Newton, é proporcional a curvatura da trajetória. Explique matematicamente porque essa sentença é verdadeira. (Obs: Esta citação foi tirada de um artigo publicado no The American Mathematical Montlhy entitulado "Curvature in the Eighties" de Robert Osserman, outubro de 1990, página 731. ) 3

4 Resumo do Conteúdo Parâmetro comprimento de arco: existem, obviamente, muitas parametrizações para uma curva, tendo em vista que uma partícula pode viajar sobre da curva a qualquer velocidade. Uma forma de criar uma parametrização padrão é construí-la de forma que a velocidade da partícula sobre essa curva seja sempre unitária e o parâmetro que faz isso é o comprimento de arco. ˆ t Fórmula: s(t) = r (τ) dτ; a Propriedade: dr ds = 1; Vetor Tangente: é o vetor velocidade unitário. No parâmetro comprimento de arco: T(s) = dr ds ; No parâmetro tempo: T(t) = 1 dr r dt ; Vetor Normal: como T = 1, então T T = 0, ou seja, o vetor tangente T é perpendicular ao vetor T. O vetor normal, então, é definido como sendo o vetor direção de T. No parâmetro comprimento de arco: N(s) = 1 dt T ds ; No parâmetro tempo: N(t) = 1 dt T dt = r (t) (r (t) r (t)) r (t) r (t) r (t) ; Vetor Binormal: como os vetores tangente e normal são unitários e perpendiculares, defini-se o vetor binormal como sendo B = T N, independente do parâmetro. No parâmetro tempo: B(t) = r (t) r (t) r (t) r (t) ; Curvatura: a curvatura é definida como sendo a velocidade que o vetor tangente T(s) varia, considerando o parâmetro comprimento de arco. Quando o vetor tangente varia muito rápido temos uma curva mais "fechada" quando varia mais lentamente temos uma curva mais "aberta". No parâmetro comprimento de arco: κ(s) = dt ds ; No parâmetro tempo: κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3 ; Curva plana: κ(t) = x y y x [(x ) + (y ) ] 3/ ; Para y = f(x): κ(x) = y [1 + (y ) ] 3/ ; Torção: é a taxa a que o plano osculador (formado pelos vetores T e N) gira sobre o vetor tangente T enquanto o ponto P se move ao longo da curva. É a medida de como a curva se torce. Fórmula no parâmetro comprimento de arco: τ = db ds N; Fórmula no parâmetro tempo: τ = (r r ) r 1 r r = r r x y z x y z x y z ; 4

5 Plano Normal: plano formado pelos vetores N e B. Plano possui vetor normal dado por T. Plano Osculador: plano formado pelos vetores T e N. Plano possui vetor normal dado por B. Plano Retificante: plano formado pelos vetores T e B. Plano possui vetor normal dado por N. Componentes Tangencial e Normal da Aceleração: a aceleração de uma partícula pode ser escrita em termos dos vetores tangente e normal seguindo a relação a(t) = d dt r (t) T(t) + κ(t) r (t) N(t). 5

6 Gabarito Parte A 1. Respostas (a) r(s) = (b) r(s) =. Respostas s ( i + 1 3s ) ( j s ) k ( 1 + s ) [ ( cos ln 1 + s )] ( i + j s ) [ ( sin ln 1 + s )] k (a) T(t) = 1 ( cos t, 5, sin t), N(t) = ( sin t, 0, cos t) 3 (b) T(t) = 1 (, sin t, cos t), N(t) = (0, cos t, sin t) 5 ( ) t 1 (c) T(t) = 1 + 8t cosh t t, et, e t 1 (d) T(t) = (1, t, t) 1 + 5t 3. Respostas (a) κ(t) = (1 + 4t ) 3/ 1 (b) κ(t) = (3 + 4t + t ) 3/ 4. Respostas (a) κ = 1, ρ = 1 e c = (π/, 0) (b) κ = /, ρ = e c = (1, 1 + ) (c) κ = 1, ρ = 1 e c = (0, ) (d) κ = /9, ρ = 9/ e c = ( 5/, 0) (e) κ = 1/, ρ = e c = ( 1, 5/) 5. Respostas (a) Normal: 6x + (y π) = 0; Osculador: x + 6(y π) = 0 (b) Normal: (x 1) + (y 1) + 3(z 1) = 0; Osculador: 3(x 1) 3(y 1) + (z 1) = 0 6. A aceleração da partícula pode ser escrita como a = a T T + a N N, em que a T = d dt v e a N = κ v. Se a velocidade é constante, i.e. v = c, então a T = 0. Portanto, a = κc N. 7. Usando o resultado da questão anterior, tem-se que a = κc. Parte B 1. Temos que s(t) = arctan t, desta forma t = tan(s/). Substituindo na curva, temos Isto é, a curva em questão é um círculo de raio 1. r(s) = cos si + sin(s)j. 6

7 . u =( 1, 1, 1) f (x) 3. A curvatura de uma função f(x) é dada por κ = [1 + f (x) ]. Assim, considerando f(x) = 3/ ax +bx+c, temse que a curvatura é dada por κ = a [1 + (ax + b) ]. Derivando a curvatura, a 3/ κ = 6a(ax + b) [1 + (ax + b) ], 5/ verifica-se que seu único ponto crítico é x = b. Como κ 0 quando x ± e κ > 0 temos que o vértice a da parábola, x = b, é um ponto de máximo. a a b + a c + (b c a b ) sin t 4. κ(t) = [a + (b a ) sin. t] 3/ 5. Respostas (a) T = ( 3, 3, 1 3 (b) T = (0, 1, 0), N = ) (, N = 1 3, ) ( 3, e B = 3 3, 1 3, ) 3 ( 1, 0, 1 ) ( e B = 1, 0, ) 1 ( ) ds 6. A componente normal da aceleração é dada por a N = κ = κ v. Sendo u(x) = xi + f(x)j, a dt f (x) parametrização de uma função f(x), escreve-se a N = [1 + f (x) ] (1 + f (x) f (x) ) =. Como 3/ [1 + f (x) ] 1/ a N = 0 se, e somente se, f (x) = 0, conclui-se que a componente normal é nula apenas em um ponto de inflexão. 7. t = 1 8. Respostas Parte C (a) B = ( 1 tanh t (b) B = k e τ = 0 ) i + 1 ( ) 1 j + secht k e τ = 1 cosh t 1. (b) O plano ortogonal a trajetória da partícula é aquele que tem o vetor T como vetor normal;. Dica: A curva em coordenadas polares r = f(θ) define uma função em coordenadas cartesianas y = g(x). g (x) A curvatura dessa curva em coordenadas cartesianas é dada por κ =. Levando em conta (1 + g (x) ) 3/ que x = r(θ) cos θ e y = r(θ) sin θ podemos derivar a expressão y = g(x) com relação a variável θ. Assim, dy dθ = dg dx dx dθ e d y dθ = d g dx dx dθ + dg d x dx dθ. Substituindo os valores encontrados para dg/dx e d g/dx na fórmula da curvatura, obtemos o resultado. 3. a) Temos que r (t) = a sin ti + a cos tj. Logo, v(t) = a. Como κ(t) = vetorial v a. Assim, v a = = a k. i j k a sin t a cos t 0 a cos t a sin t 0 v a v 3 precisamos calcular o produto 7

8 Portanto, κ(t) = a a 3 = 1 a. b) Como a aceleração centrípeta é a componente normal da aceleração do carro, temos que a N = κ v = 1 a 43 = 4.5g. Ou seja, a = g m. 8

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