Física I para Engenharia IFUSP P3-18/07/2014

Transcrição

1 Física I para Engenharia IFUSP P3-18/0/014 A prova tem duração de 10 minutos. Resolva cada questão na folha correspondente. Use o verso se necessário. Escreva de forma legível, a lápis ou tinta. Seja ético: a prova é individual e sem consulta a anotações ou qualquer outro material. Nome Assinatura Nº. USP Turma 1) Uma placa metálica fina de massa m tem forma retangular com lados a e b. Calcule a) (1,0) o momento de inércia em relação ao seu centro de massa; b) (1,0) o momento de inércia em relação a um dos seus vértices c) (0,5) Suponha agora que foram empilhadas várias dessas placas metálicas formando um conjunto de altura h e de massa total M. Qual é o novo momento de inércia em relação ao centro de massa conforme figura abaixo? SOLUÇÃO: a) Vamos usar o teorema dos eixos paralelos e calcular o momento de inércia de uma barra delgada com o eixo de rotação passando a uma distância x do seu centro. Assim sendo podemos escrever que: di di CM + x dm onde di CM é o elemento infinitesinal do momento de inércia da barra de comprimento b em relação ao seu centro de massa. Podemos então escrever que: I cm σ b3 1 di b 1 dm + x dm b 1 σbdx + x σbdx ˆa/ a/ σa b3 1 + σb 3 b) Pelo teorema dos eixos paralelos dx + σb ( a 8 onde d é a distância do eixo ao centro de massa ˆa/ a/ x dx 3 a ) 3 + σab 8 1 b + σab 1 a m ( a + b ) 1 I I cm + md d ( a ) + ( b ) 1 4 ( a + b ) 1

2 Então I m ( a + b ) + m 1 4 m ( a + b ) 3 ( a + b ) c) A expressao para o momento de inércia não se altera ao se empilhar verticalmente várias placas, sendo apenas necessário usar o novo valor da massa: I cm M 1 ( a + b )

3 ) Um corpo esférico sólido de raio igual a R e massa de M, parte do repouso e rola, sem deslizar, uma distância de L, descendo o telhado de uma casa, cuja inclinação é igual a θ. Dado Icm esfera 5 MR, a) (1,0) Qual a aceleração linear do corpo durante o rolamento? b) (0.5) Qual é a força de atrito f? c) (0,5) Qual e a velocidade do centro de massa da esfera quando ele sai do telhado? d) (0,5) Supondo agora que não existe força de atrito, o que acontecerá com a velocidade do centro de massa da esfera quando ela abandona o telhado (aumente, ou diminui e porque?). SOLUÇÃO: a) Do diagrama de forças temos Fx Mg sin θ f Ma cm (1) Fy n Mg cos θ 0 Como I cm 5 MR e α a cm /R, obtemos τ cm fr I cm α Substituindo na equação 1: f I cmα R 5 MR a cm R R 5 Ma cm a cm 5 g sin θ b) 3

4 c) É possível resolver pela equação de Torricelli f 5 Ma cm ( ) 5 5 M g sin θ Mg sin θ ou por conservação de energia v f v0 + a cm s 10 gl sin θ Mg (L sin θ) 1 mv + 1 [ 1 g (L sin θ) + 1 ] v 5 v 10 gl sin θ ( ) ( v ) 5 MR R 4

5 3) Uma bala de massa m é disparada com velocidade v contra um disco homogêneo de massa M e raio R, inicialmente parado, que se encontra deitado sobre uma superfície horizontal lisa sem atrito. Suponha que a bala atinja o disco como indicado na figura e fique retida na superfície do disco. Considere que o centro de massa do sistema (disco + bala) após a colisão coincide com o centro do disco. Dado: Icm disco 1 MR a) (0,5) Qual é a velocidade do centro de massa do disco após a colisão? b) (1,0) Qual é a velocidade angular do sistema (disco + bala) após a colisão? c) (1,0) Qual é a variação de energia do sistema devido à colisão? - Solução: a) Trata-se de uma colisão inelástica, portanto são conservados apenas a quantidade de momento linear e angular: mv (m + M) v cm R sin θmv Iω 1 (M + m) R ω b) v cm m m + M v ω R sin θm 1 v (M + m) R m sin θ (M + m) R v Note que era possível assumir ainda que, como m M, então I disco+m 1 MR + mr 1 MR. c) E 1 [ 1 mv [ m 1 [( m 1 m 1 (m + M) v cm + 1 Iω ( m (m + M) m + M m + M [( m m + M ) + m sin θ (M + m) ) + m sin θ (M + m) ] ) ( ) ]} m sin θ (M + m) R (M + m) R ]} 1 v ]} 1 mv v 5

6 4) Uma esfera de massa m 1 e um bloco de massa m estão conectados por uma corda de massa depressível que passa por uma polia como mostrado na figura abaixo. O raio da polia é R e o momento de inércia em relação a seu eixo de rotação é I. O bloco m desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito. a) (1,0) Determinar aceleração linear sofrida pelos objetos b) (0,5) Determinar as acelerações angular αsofrida pela polia d) (1,0) Calcule a velocidade angular da polia quando a esfera, que parte do repouso, estiver descido uma altura h. - Solução: a)a figura acima mostra as forças que atuam no sistema. Portanto podemos escrever que: m 1 g T 1 m 1 a + T m a Torque. Então m 1 g + (T T 1 ) a (m 1 + m ) τ R (T 1 T ) Iα (T 1 T ) Iα R Ia R a m 1 g m 1 + m + I/R b) A relação entre a aceleração angular e a linear é dada por b) α d θ dt a R m 1 g R (m 1 + m ) + I/R α d θ dt a R m 1 g R (m 1 + m ) + I/R Note que apenas torques externos contribuem para a alteração do momento angular do sistema. Assim, a força que a corda exerce sobre os objetos são internas em relação ao sistema que estamos considerando e portanto elas não exercem torque líquido sobre o eixo. c) 6

7 ω v R Então v hm 1 g ah m 1 + m + I/R hm 1 g ω R (m 1 + m ) + I