NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 70

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1 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA CINETICA DO CORPO HUMANO a. Sistemas de massa A seção anterior considerou cinemática de corpo humano e definiu as equações pertinentes. Recorde que estas equações descreveram o movimento com respeito a seu deslocamento, velocidade, e aceleração independente da causa daquele movimento. Nesta seção revisaremos a cinética de corpo humano: equações pertinentes, que apesar de baseadas nas equações da cinemática, também incorporam parâmetros de força e impulso, que de fato causam o movimento. A cinética de corpo humano pode ser dividida

2 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 71 em linear (translacional) e angular (rotacional). Movimento de translação acontece como conseqüência da força aplicada ao corpo, e movimento de rotacional ocorre quando um momento age sobre o corpo. O campo de cinética pode ser subdividido em cinética de partícula e cinética de corpo rígido. Nosso propósito aqui será obter visão geral do movimento de um corpo sem especificar as propriedades geométricas daquele corpo. Por conseguinte, podemos tratar o corpo como uma partícula localizada no seu centro de massa. Esta partícula terá uma massa igual à massa total do corpo. Recorde que, no Capítulo 3, a estática de

3 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 72 corpo rígido foi usada: similarmente, cinética de corpo rígido é importante quando o corpo ou corpos está sofrendo um movimento rotacional. Os componentes cartesianos para vetores de força e de aceleração são expressos como: F x = ma x (35) F y = ma y (36) Movimento uniaxial (translacional) acontece ao longo de uma linha direta. Para estes sistemas, uma única coordenada (x) é usada, cujo eixo está ao longo da linha de reta nas equações de movimento naquela direção. Quatro casos especiais de movimento transla-

4 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 73 cional são de particular interesse: a força é constante, a força é uma função do tempo, a força é uma função de velocidade, ou a força é função do deslocamento. De acordo com a segunda lei de Newton, quando a força aplicada a um corpo é de magnitude constante e aplicada em uma direção constante, o corpo se moverá a uma aceleração constante na direção de aplicação de força: a x = (t) FX m = constante (37) Uma força pode ser aplicada em uma direção constante, porém, a magnitude da força pode variar com o tempo. A aceleração resultante do corpo será:

5 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 74 a x (t) = (t) Fx m (38) Também pode ser aplicada força como uma função de velocidade. Considerando que aceleração é a taxa de mudança de velocidade, a segunda lei de Newton pode ser reescrita para este caso especial como: dυ x M. dt = F x (υ x ) (39) A equação (39) pode ser tratada matematicamente por separação de variáveis: dυx m F ( υ ) x x = dt (40) Em alguns casos, pode ser conveniente expressar força como uma função de

6 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 75 deslocamento. Até certo ponto será análoga a equação (39). A segunda lei de Newton pode ser reescrita como: dυ x m dt = F x (x) (41) Usando a regra de cadeia, a taxa de mudança de velocidade é: dυ dt x = dυ dx x dx dt = dυ x dx υ x (42) Substituindo a equação (42) em (41) resulta na equação de movimento na direção x: dυ mυ x dx = F x (x) (43) Usando separação de variáveis:

7 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 76 mυ x dυ x = F x (x) dx (44) Figura 4.5.a Puxando um engradado num cimento áspero 4.5.b Puxando um engradado sobre rodas. Aplicação de HFE. Um HFE analisará uma tarefa na qual o humano está interagindo como parte de um sistema de trabalho. Inicialmente, analisa a tarefa que o humano está executando, e redefine técnicas para que a tarefa possa ser

8 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 77 executada mais fácil e eficazmente. EXEMPLO 4.6 a. Considere uma pessoa que puxa um engradado (com uma massa M de 60 kg) ao longo de uma superfície horizontal de cimento áspero (coeficiente de atrito µ = 0.3) como mostrado em Figura 4.5.a. Se a pessoa faz uma força constante (T=250 N) a um ângulo θ=30º, ache a aceleração do engradado (assumindo que o fundo do engradado permanece em contato com o chão). b. A tarefa do Exemplo 4.6(a) foi modificada colocando o engradado sobre rodas, como mostrado em Figura 4.5.b.

9 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 78 Isto eleva a carga e reduz o ângulo θ da corda usada para puxar para 15º. Se o coeficiente de atrito diminui (µ = 0,1), ache a nova força (T) que deve ser aplicada à corda para alcançar a mesma aceleração horizontal do Exemplo 4.6(a). SOLUÇÃO 4.6(a) Dados: m = 60 kg θ = 30 0 T = 250N µ = 0.3 Ache a:

10 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 79 Desenhe o diagrama de corpo rígido, FBD 1, da Figura 4.5.a: Para equilíbrio dinâmico (de uma partícula): O FBD 1 se reduz a FBD 2:

11 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 80 Neste problema, é justificável tratar um bloco obviamente rígido (FBD 1) como uma partícula (FBD 2) que representa a massa inteira localizada no centro de massa do bloco. Desde que o bloco inteiro esteja em contato com o chão, não esteja sujeito a movimento de rotacional, e logo todo o movimento seja completamente translacional, as equações são:

12 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 81 F y = ma y (i) F y = ma x (ii) Desde que o chão seja perfeitamente horizontal, não haja componente vertical de deslocamento, velocidade, ou aceleração, a equação (1) se reduz a: Fy = 0 R W + F y = 0 R mg + T. senθ = 0 R = mg T. senθ (iii) (iv) Resolvendo Fx = ma x F T F f = ma x T cosθ - µr = ma x (v)

13 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 82 Dividindo por m, e substituindo a equação (iv) na equação (v): a x = T.cos m θ m µ (mg T senθ) Rearranjando: a x = m T (cosθ + µ senθ) µg (vi) Substituindo: 250 a x = 60 ( [.3][.5] (.3)(9.81) a x = 4,23 2,94 = 1,29 m/sec² SOLUÇÃO 4.6(b) Dados: M = 60kg θ = 15 º

14 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 83 a x = 1.29 m/sec² µ = 0.1 Rearranjando equação 4.4(a) (vi) e substituindo: T T = = (60)[ (.1)(9.8)] [ (.1)(.259)] (60)(2.27) (.992) = 137 N A força mostrada foi reduzida através de uma plataforma sobre rodas. Note que dois fatores contribuíram. A fricção foi reduzida e a carga elevada (diminuiu o ângulo, θ).

15 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 84 Quando uma força horizontal F constante é aplicada em um corpo, movendo-o de1 para 2 distante de s, o trabalho feito no corpo é: W 12 = F. s (45) Lembre-se que a energia potencial gravitacional de um corpo, PE g, em 1 vertical relativa a posição 2 é W h = mg PE g = W. h = mgh. (46) Desde que W seja o peso do corpo, e h a distância vertical entre posição 1 e 2, a energia potencial da gravidade representa o trabalho que um corpo realiza ao mover-se de uma distância vertical h. Enquanto energia potencial é associada com a posição (deslocamento), energia cinética é

16 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 85 associada com velocidade. Para um objeto com massa (m) que está se movendo com uma velocidade (v), a equação para energia cinética é: 1 KE = 2 m. v² (47) Para sistemas de partículas, há uma relação entre a energia cinética e o trabalho feito. O trabalho feito em um corpo (tanto faz se as forças são internas ou externas) para deslocar este corpo de posição 1 para a 2 quando somado à energia cinética na posição 1 dará a energia cinética da posição 2. Esta relação é conhecida como o teorema de trabalhoenergia e pode ser expressa como:

17 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 86 KE 1 + W 12 = KE 2 (48) O princípio de conservação de energia mecânica pode ser declarado como segue: KE 1 + PE 1 = KE 2 + PE 2 (49) Esta equação diz que, quando um sistema conservativo de partículas é movido pela ação de forças, a soma da energia cinética e a energia potencial se mantêm constante. A soma KE + PE é a energia mecânica total do sistema (chamada de E). Deve-se notar que, com respeito à equação (49), quando as partículas do movimento do sistema estão sob a ação de forças internas, a energia potencial do sistema deve incluir a energia potencial dessas forças internas.

18 NOTAS DE AULA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA 87 É importante notar que, quando um sistema mecânico envolver atrito, a energia mecânica total não permanece constante, mas diminuirá devido ao movimento da posição 1 para posição 2. Porém, o princípio de conservação de energia requer que a energia mecânica do sistema não seja perdida, portanto esta é transformada em calor. Então, no caso de atrito, a soma da energia mecânica e da energia térmica do sistema é constante.