onde: F : força exercida pelo cavalo. P: peso, força exercida pela terra. N: força exercida pelo plano inclinado (normal ao plano inclinado).

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1 Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um cavalo pua uma carroça para cima num plano inclinado, com velocidade constante. A força de atrito entre a carroça e o plano inclinado é desprezível. a) Isole a carroça e indique com vetores as forças que atuam sobre ela, eplicitando quem as aplica. b) Determine a força resultante sobre a carroça. a) onde: F : força eercida pelo cavalo. P: peso, força eercida pela terra. N: força eercida pelo plano inclinado (normal ao plano inclinado). b) A força resultante é nula, pois a aceleração da carroça é igual a zero e a força resultante é proporcional a ela ( F = ma ). R

2 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um projétil é disparado de um morro com altura h em relação à planície, a velocidade inicial é v 0 e forma um ângulo com a horizontal (veja a figura abaio). O módulo da aceleração da gravidade é g. a) Determine o módulo da velocidade imediatamente antes da colisão do projétil com o solo, na planície. b) Calcule o ângulo que o vetor velocidade forma com a horizontal no mesmo instante indicado no item (a). a) Pela conservação da energia mecânica, temos: 1 1, mgh mv = mv 0 o que leva a: v = v + gh. 0 b) A componente horizontal da velocidade do projétil é constante. Chamemos de ângulo formado pelo vetor velocidade com a horizontal imediatamente antes da chegada do projétil ao solo, como ilustrado na figura abaio: Assim, temos que: v o que leva a: v cos =, cos cos =. gh 1+ v

3 3 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Dois blocos superpostos de massas iguais m 1 = m = kg são colocados sobre uma superfície horizontal, como mostra a figura abaio. O atrito entre a superfície e o bloco 1 é desprezível. Uma força horizontal F=16 N é aplicada ao bloco. Adote g=10 m/s. a) Qual deve ser o valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre os blocos para que eles se movam em conjunto, sem deslizamento entre eles? b) Determine a aceleração do conjunto, caso a condição de não deslizamento esteja satisfeita. a) Se não há deslizamento entre os blocos, ambos se movem com a mesma aceleração. Isolando os blocos, vamos indicar as forças que neles atuam. Os símbolos denotam os módulos dos vetores correspondentes. Chamando de a o módulo da aceleração, que aponta horizontalmente para a direita, podemos escrever a equação de movimento para cada bloco: F F 1 = ma, (1) F 1 = ma. () Pela terceira lei de Newton e impondo que a componente vertical da força sobre o bloco 1 se anule, teremos F = F e N = N = mg. Somando as equações (1) e (), resulta: F ma. Como a força de atrito máima entre os blocos é F =μn = μn = μmg, teremos ma 1 1 F = ma = F/ μmg, ou seja, 1 F 16 μ = 0,4. mg 4 10 b) F 16 a = = = 4m / s m 4

4 4 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Dois corpos, de massas m 1 = kg e m =3 kg, movem-se sobre uma mesma reta horizontal, com atrito desprezível. Suas velocidades são v 1,a = 3 m/s e v,a =4 m/s. Depois da colisão, a velocidade do corpo 1 é v 1,d = 0,5 m/s. a) Determine a velocidade do corpo após a colisão. b) Calcule a energia dissipada na colisão. a) Igualando os momentos lineares do sistema antes e depois da colisão, vem: m v +m v = m v +m v. Substituindo os valores conhecidos, teremos: 1 1a a 1 1d d = 0,5 + 3v. Daí, obtemos: v d= 5 m/s 1,7 m/ s. d 3 b) A variação de energia é: ΔE = E E = m v + m v d a 1 1d d m v + m v, 1 1a a substituindo os valores numéricos, obtemos: ΔE = 1 0, J. 3, vemos que a energia dissipada é aproimadamente igual a 8 J.

5 5 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um disco de massa m e raio R está fiado a um eio vertical e gira com atrito desprezível com uma velocidade angular constante. O momento de inércia do eio é desprezível. Solta-se outro disco de mesmo raio e massa m/3, inicialmente em repouso, sobre o disco girante, de maneira que os discos se superponham. Há atrito entre os discos, e, depois de algum deslizamento, eles passam a girar com a mesma velocidade angular f. O momento de inércia de um disco é I = mr /. a) Determine a velocidade angular final f em termos da velocidade angular inicial. b) Calcule as energias cinéticas de rotação inicial e final, eprimindo seus resultados em termos de m, R e. a) Aplicando a conservação do momento angular ao processo, teremos que: mr mr m / 3 ω = + R ω f. Dessa epressão, obtemos : 3 ω = ω. f 4 b) A energia cinética inicial é: 1 1 E = Iω = mr ω. i 4 Já no final, teremos a energia cinética: 1 1 mr mr 9 3mR E = I ω = + ω = ω. f f f

6 6 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Calcule 1 lim 0 1 Multiplicando numerador e denominador por, que é diferente de zero, resulta 1 lim( 1) 1 1 lim( 1) lim lim 1 0 0

7 7 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Encontre a derivada da função f ( ) e Cálculo e resposta: Pelas regras da cadeia e da derivada de um produto, temos f '() e (e )' e (e ) ( 1)e

8 8 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Esboce o gráfico da função f()= +, > 0 e determine o seu valor mínimo. Cálculo e resposta: A função f()= +, > 0 é positiva e cresce indefinidamente tanto para 0 quanto para. Vejamos para que valores de a derivada de f é nula: 3 f()= + = 0 = 1 = 1 Portanto, o valor mínimo de f() é alcançado em = 1 e f min = f(1) = 3. Consequentemente, o gráfico de f tem a seguinte forma:

9 9 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Calcule Cálculo e resposta: / sen cos d. 0 Como d(sen ) = cos d, podemos escrever 0 0 sen 1 sen cos d sen d(sen ), 0 pois sen / = 1 e sen 0 = 0.

10 10 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Dada a função contínua f, prove que f(sen ) d f (sen ) d 0 0 Sugestão: faça a mudança de varável u =. Cálculo e resposta: Seja I I f 0 (sen ) d. Fazendo a mudança de variável u =, obtemos f (sen ) d ( u) f (sen( u))( du) ( u) f (sen( u)) du. Como sen( u) = sen u, segue-se que I ( u) f (senu)du f (senu) du u f (senu) du Como o valor de uma integral definida não depende do nome usado para a variável de integração, temos I f (senu)du I I f (sen u) du, I f (sen ) d Portanto, f(sen )d f (sen ) d. 0 0