Mecânica e Ondas FÍSICA. Semana 6 - Aula 6 Rotação. Rolamento (Forças com Rotação); Energia Cinética de Rotação

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1 Mecânica e Ondas LERC Tagus ºSem 009/0 Prof. J. C. Fernandes Mecânica e Ondas Semana 6 - Aula 6 Rotação Rolamento (Forças com Rotação); Energia Cinética de Rotação FÍSICA

2 Mecânica e Ondas LERC Tagus ºSem 009/0 Prof. J. C. Fernandes Formulário Translação posição Distância [ s ] Ângulo [ θ ] Rotação velocidade linear [ v ds/dt] v ωr angular [ ω dθ/dt ] aceleração linear [ a dv/dt] a αr angular [ α dω/dt ] Massa [ m ] Momento de inércia [ I ] momento linear [ p m v] angular [ L Ι ω ] Força [ F ma ] Momento da Força [ τ I α ] Energia cinética ½mv ½I ω Trabalho W F s W τ θ Potência P F v P τ ω Energia cinética de rotação Krot Iω Aceleração angular: Aceleração linear: Momento da força α a α. r a F l I τ α

3 Mecânica e Ondas LERC Tagus ºSem 009/0 Prof. J. C. Fernandes I r dm Momento de Inércia Teorema dos I m i r i Eixos paralelos I I + CM Formulário (momentos de inércia) Md 3

4 Mecânica e Ondas LERC Tagus ºSem 009/0 Prof. J. C. Fernandes I esfera MR R T Exemplo de Rolamento Uma esfera uniforme de massa M e raio R é livre de rodar em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. Enrola-se uma corda à volta da esfera e prende-se na extremidade um objecto de massa m. (a) Determine a aceleração do objecto (b) Determine a tensão na corda. Solução: a P mg ma mg T T m( g a) a a a τ RT Iα I T I R R + Obtém-se: a + (a) g M m T (b) mg m + M g I mr 4

5 Mecânica e Ondas LERC Tagus ºSem 009/0 Prof. J. C. Fernandes Exemplo de Rolamento (+ Translação) Considere duas roldanas solidárias com um eixo comum, de raios R e R. O momento total de inércia das duas rodas é I40Kgm. Enrola-se uma corda com um objecto com massa m i (i,) a cada uma das rodas. (a) Qual a relação entre m e m de modo a que não haja aceleração. (b) Suponha que adiciona Kg a m. Determina a aceleração das rodas e a tensão na corda. T T T T a Solução: Comece por desenhar todas as forças e a aceleração linear das massas m. Não se esqueça que as massas só têm movimento de translação e as roldanas de rotação. lembre se Eq. para m Eq. para m Eq. para roldana ma mg T ma T mg τ Iα T R T T, T Sistema de 3 eq. a 3 incógnitas:, ) R ( α a a αr αr a m g m g (a) Aceleração 0 a 0 α 0 τ 0 T R T R mr m R (b) Aceleração > 0 Tem de resolver o sistema de 3 eq. R dado m m m + R

6 Mecânica e Ondas LERC Tagus ºSem 009/0 Prof. J. C. Fernandes I cilindro mr Exemplo de Rolamento Um cilindro uniforme de massa m e raio R roda sem atrito, em torno de um eixo. Um corpo de massa m em cima de um plano inclinado com ângulo θ, ligado a uma corda de massa desprezável enrolada no cilindro é deixado cair de uma altura h. (a) Qual a aceleração de m? (b) Qual a tensão na corda? (c) Qual a energia total do sistema quando m está a altura h? (d) Qual a energia total do sistema quando m chega á base do plano com velocidade v? (e) Qual o valor da velocidade v? 6

7 Mecânica e Ondas LERC Tagus ºSem 009/0 Prof. J. C. Fernandes T T a mg sinθ Solução exercício 73: Comece por desenhar as forças na massa e no cilindro. Depois escreva o sistema de eq. a incógnitas.(lembrar que ) a αr m a mg sin( θ ) T τ RT Iα (a) e (b) Resolva o sistema anterior, vai obter a aceleração e a tensão na corda: (c) Em h a enegia cinética é 0. (d) No fundo a enegia potencial é 0. (e) Velocidade no fundo: m v mg a T E total U m gh E total K m gh + Iω m gh v g sin( θ ) m + m m a 4mgh m + m 7

8 Mecânica e Ondas LERC Tagus ºSem 009/0 Prof. J. C. Fernandes Exemplo de Energia cinética de rotação Duas esferas de massa m e raio R, uma oca e outra com distribuição de massa uniforme rolam numa rampa a partir de uma mesma altura H até uma altura h. Sabendo que o alcance da esfera oca é L determine o alcance da esfera maciça L. Solução: Use a conservação da energia para calcular a velocidade quando entra em queda livre. mg ( H + ω Esfera oca: I oca mr 3 h) mv I Usando: v ωr v h Esfera maciça: 6 g( H ) I maciça mr Obtém-se: + I v 0 v g( H h) 7 g ( H h) mr Cálculo do Alcance: Leis dos espaços: y h gt x vt t L v t ' h g ' L v L v t L v 8

9 Mecânica e Ondas LERC Tagus ºSem 009/0 Prof. J. C. Fernandes Exemplo de Energia Considere uma esfera fixa com raio R 80 cm. Um berlinde de raio r cm rola a partir do topo da esfera sem escorregar. Determine o ângulo a partir do qual o berlinde perde contacto com a esfera. A P N F c m g P Solução: Perde contacto no ponto P quando a força centrífuga for à componente normal do peso. vp Fc m R+ r P N mg cosθ Para calcular a velocidade em P usamos a conservação da energia total em A e P U A mg( R + r) U P mg( R+ r)cosθ Obtenho: v P K A K 0 ω P mvp + I 0 g( R + r)( cosθ) Usando a igualdade das forças chega-se a: 7 cos θ 0 7 9

10 Mecânica e Ondas LERC Tagus ºSem 009/0 Prof. J. C. Fernandes Exemplo de cálculo com conservação da Energia Um berlinde de massa M e raio R rola sem escorregar numa rampa do lado esquerdo a partir de uma altura h. Quando chega à base volta a subir outra rampa do lado direito escorregando sem rolar. Calcule a altura h atingida pelo berlinde. I mr Solução: Descida: 0 mv + Iω v 7 gh mgh Subida: mv mgh v gh h 7 h 0