Em primeiro lugar devemos converter a massa do corpo dada em gramas (g) para quilogramas (kg) usado no Sistema Internacional (S.I.

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Márcio Natan Lopes Araújo
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1 Um corpo de massa 100 g é abandonado no ponto sobre uma superfície cilíndrica, com abertura de 150 o, sem atrito, cujo o eixo é horizontal e normal ao plano da figura em O. Os pontos e O estão sobre o mesmo nível a 5 m acima do solo e o raio da superfície mede 1,6 m. o atingir o ponto o corpo abandona a superfície e atinge o solo no ponto. Determinar: a) O módulo da velocidade do corpo no ponto ; b) O módulo da velocidade do corpo no ponto ; c) distância D; d) s energias cinética, potencial e mecânica total no ponto ; e) s energias cinética, potencial e mecânica total no ponto ; f) s energias cinética, potencial e mecânica total no ponto. dote g = 10 m/s. Dados do problema massa do corpo: m = 100 g; raio da superfície cilíndrica: r = 1,6 m; ângulo de abertura da superfície: θ = 150 o ; altura inicial do corpo: h = 5 m; aceleração da gravidade: g = 10 m/s. Esquema do problema dotamos um Nível de Referência (N.R.) no solo. O corpo é abandonado, então a velocidade inicial em é nula ( v = 0 ), ele desliza pela superfície cilíndrica até o ponto onde abandona a superfície descrevendo uma trajetória parabólica, como um projétil, até o ponto (figura 1). Solução figura 1 Em primeiro lugar devemos converter a massa do corpo dada em gramas (g) para quilogramas (kg) usado no Sistema Internacional (S.I.) 1 kg m = 100 g g = kg 1.10 = kg = kg = 0,1 kg 3 a) Para determinarmos a velocidade no ponto usamos o Princípio da onservação da Energia, a energia mecânica no ponto deve ser igual a energia em 1

E M À = E M E P À E À = E P E m g h m v = m g h m v simplificando a massa m de ambos os lados da igualdade, temos g h v = gh v (I) Pela figura vemos que h = h h portanto a altura do ponto será de h =

2 E M À = E M E P À E À = E P E m g h m v = m g h m v simplificando a massa m de ambos os lados da igualdade, temos g h v = gh v (I) Pela figura vemos que h = h h portanto a altura do ponto será de h = h h (II) O segmento O P é horizontal, como o ângulo de abertura da superfície cilíndrica é de 150 o, o ângulo P O será de 30 o (180 o 150 o = 30 o ). omo o segmento O é um raio do cilindro e representa a hipotenusa do triângulo ΔPO, temos figura sen 30 o = cateto oposto hipotenusa = h r da Trigonometria temos que sen30 o = 1, então 1 = h 1,6 h = 1,6 h = 0,8 m (III) substituindo (III) em (II) e a altura do ponto dada, a altura do ponto será de h = 5 0,8 h = 4, m (IV) substituindo (IV) em (I) e os dados do problema, obtemos (figura 3) = 10.4, v 50 0 = 4 v 50 4 = v v =.8 v = 16 v = 16 figura 3 v = 4 m/s

3 b) Para determinarmos a velocidade no ponto usamos o Princípio da onservação da Energia, a energia mecânica no ponto deve ser igual a energia em. E M = E M E P E = E P E m g h m v = m g h m v simplificando a massa m de ambos os lados da igualdade, temos g h v = gh v (V) substituindo os dados do problema e sendo a altura do ponto nula (h = 0), pois este ponto não tem altura em relação ao Nível de Referência, temos figura = 10.0 v 50 0 = 0 v 50 = v v =.50 v = 100 v = 100 v = 10 m/s c) Pela figura 5- vemos que no movimento ao longo da direção x temos que para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaços iguais ( x 1 = x = x 3 = x 4 = Δx 5). Na direção y temos que durante a subida para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaços menores, pois a esfera está sendo freada pela ação da gravidade ( y 1 > y ) até que a velocidade v y zera e então a gravidade começa a puxar o corpo de volta em direção ao solo com velocidade acelerada, assim para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaços cada vez maiores ( y 3 < y 4 < y 5 ) figura 5 3

4 velocidade no ponto pode ser decomposta ao longo dos eixos x e y. velocidade inicial v, com que a esfera deixa a superfície, tem componentes nas direções x e y (figura 5-) v x = v cos 60 o v y = v sen 60 o Da Trigonometria temos que cos60 o = 1 e sen60o = 3 obtido no item (a), temos e usando o valor de v v x = 4. 1 v x = m/s v y = 4. 3 v v y = 3 m/s (VI) (VII) Da decomposição do movimento vemos que na direção x não há aceleração agindo sobre a esfera, então ela está em Movimento Uniforme (M.U.) e seu movimento é regido pela equação S x = S 0 x v x t como no movimento uniforme v x =v x é constante podemos substituir v x pelo valor de (VI) e S 0x =0 S x = 0 t S x = t (VIII) Na direção y a esfera está sob a ação da aceleração da gravidade, portanto está em queda livre que é regido pela equação S y = S 0 y v y t g t o sinal de negativo indica que a aceleração da gravidade está contra a orientação do referencial, substituindo v y pelo valor dado em (VII) e S 0 y = 4, m S y = 4, 3 t t S y = 4, 3 t 5 t (IX) Quando o corpo atinge o solo no ponto, que está no Nível de Referência, temos que o espaço final ao longo do eixo y é nulo (S y = 0), 5 t 3 t 4, = 0 esta é uma Equação do.º Grau onde a incógnita é o valor de t desejado onde a raízes serão Δ=b 4 a c = , = , = 1 84 = 96 t= b± Δ a 3 ± 96 =. 5 =.1,73±9,80 = 3,46±9,80 4

5 t 1 = 3,46 9,80 = 0,6 e t 1 = 3,46 9,80 = 1,3 desprezando a primeira raiz que tem valor negativo (t 1 < 0), o tempo para a esfera atingir o chão será t = 1,3 s. omo o intervalo de tempo para a esfera subir e descer é o mesmo que ela leva para ir percorrer a distância D ao longo do eixo x, substituindo este intervalo de tempo na expressão (VIII), obtemos d) Energia inética no ponto Energia Potencial no ponto S x =.1,3 S x =,6 m E = mv E = 0,1.0 E = 0 J E P = m g h E P = 0, E P = 5 J Energia Mecânica Total no ponto E M = E E P E M = 0 5 e) Energia inética no ponto Energia Potencial no ponto E M = 5 J E = m v E = 0,1.4 E = 0,1.16 E = 1,6 E = 0,8 J E P = m g h E P = 0, , E P = 4, J 5

6 Energia Mecânica Total no ponto E M = E E P E M = 0,8 4, E M = 5 J f) Energia inética no ponto E = mv E = 0,1.10 E = 0,1.100 E = 10 E = 5 J Energia Potencial no ponto E P = m g h E P = 0, E P = 0 J Energia Mecânica Total no ponto E M = E E P E M = 5 0 E M = 5 J Observação: nos pontos, e as energias cinética e potencial têm valores diferentes dependendo das velocidades e das alturas, respectivamente, mas a energia mecânica total é sempre a mesma, uma vez que não há perdas e dissipações. 6

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