23/Abr/2018 Aula Momento angular 13.1 Momento angular 13.2 Conservação do momento angular 13.3 Colisões rotacionais. 18/Abr/2018 Aula 12

Transcrição

1 18/Abr/2018 Aula Corpo rígido 12.1 Rotação sem escorregamento 12.2 Conservação da energia 12.3 Momento e aceleração angular 23/Abr/2018 Aula Momento angular 13.1 Momento angular 13.2 Conservação do momento angular 13.3 Colisões rotacionais 1

2 Aula anterior 12.1 Rotação sem escorregamento Se o objeto não escorregar, o ponto P na figura tem velocidade v = rω O centro de massa deste objeto move-se com velocidade v CM = Rω (esta condição não se verifica se houver escorregamento) A energia cinética total deste objeto é E cin = 1 2 M v CM I CM ω2 2

3 Aula anterior 12.2 Conservação da energia O objeto da figura rola, sem deslizar, pelo plano inclinado. Se partir do repouso, qual é a sua velocidade no fim do plano inclinado? W ext = ΔE cin + ΔU = 0 E cin,i +U i = E cin, f +U f E cin, f = 1 2 mv 2 CM, f I CM 2 = 1 2 mv I v 2 r = 1 2 mv2 1+ I mr 2 U i = mgh v = 2gh 1+ I mr 2 3

4 Aula anterior 12.2 Conservação da energia O objeto da figura rola, sem deslizar, pelo plano inclinado. Se partir do repouso, qual é a sua velocidade no fim do plano inclinado? v = 2gh 1+ I mr 2 Rotação simulação Cilindro oco: I = mr 2 v = gh Cilindro maciço: I = 1 2 mr2 v = 4 3 gh Esfera oca: I = 2 3 mr2 v = 6 5 gh Esfera maciça: I = 2 5 mr2 v = 10 7 gh 4

5 12.3 Momento e aceleração angular a = F m A 2ª lei de Newton estabelece que. Esta lei pode ser reformulada para um objeto de massa m, que rode em torno de um eixo, situado à distância r : a = rα a = F m α = F mr = r F mr 2 = τ I 2ª lei de Newton para o movimento de rotação: τ = I α 5

6 12.3 Momento e aceleração angular Analogia entre movimento linear e rotacional: F = ma τ = I α 6

7 Exemplo O ioió da figura tem massa M e raio R. A corda é inextensível e a sua massa é desprezável. Determine a aceleração do cilindro e a tensão na corda. 18 F y τ z = M a CM,y = I CM α M g T = M a CM,y RT = I CM α (a) R M v cm 5 0 v50 I CM = 1 2 M R2, ω = v CM R, a CM,y = Rα v RT = 1 2 M a R2 CM,y T = 1 R 2 M a CM,y M g 1 2 M a CM,y = M a CM,y a CM,y = 2 3 g a cm (b) v cm T = 1 2 M 2 3 g = 1 3 M g 7

8 O momento angular de um objeto rígido, que rode em torno de um eixo, é paralelo à velocidade angular e é igual a Para qualquer sistema de partículas, 13.1 Momento angular L = I ω τ = d L dt L = kg m2 /s 8

9 13.1 Momento angular Para uma partícula de massa m, que se mova numa circunferência de raio r : I = mr 2 ω = v r L = r mv = r p L = r p O momento angular é positivo se o movimento que lhe estiver associado se realizar no sentido anti-horário: L > 0 L > 0 Momento angular simulação 9

10 13.1 Momento angular Para a mesma partícula de massa m, com um movimento qualquer: L = r p L = r psenθ = r mvsenθ L = r p = r mv 10

11 Exemplo Admitindo que a Terra roda em torno do eixo mostrado na figura, qual é o seu momento angular (spin)? I = 2 5 M T R T 2 L = I ω ω = 1 rev 24 h 1 h 3600 s 2π rad 1 rev = 7, rad/s = 2 5 (5, kg)(6, m) 2 = 9, kg m 2 L = I ω = 7, kg m 2 /s 11

12 Exemplo Qual é o momento angular orbital da Terra, em torno do Sol? L = I ω I = 2 5 M T R T M T r órb I = ( 9, kg m 2 ) + (5, kg)(1, m) 2 =1, kg m 2 ω = 1 órbita 1 ano 1 ano 365 d 1 dia s 2π rad 1 órbita =1, rad/s L órb = I órb ω órb = 2, kg m 2 /s 12

13 13.2 Conservação do momento angular Se o momento total das forças exteriores for zero, o momento angular total do sistema é constante (conserva-se). τ = I α = d L dt τ = 0 L = constante Conservação do momento angular simulação 13

14 13.2 Conservação do momento angular Se a forma do sistema em rotação mudar, a velocidade de rotação muda, para que o momento angular se mantenha. Exemplo: 3.74 rad/s L i = L f I i ω i = I f = I i I f ω i = (5,33 kg m2 ) (1,6 kg m 2 ) =12,5 rad/s (3,74 rad/s) 5.33 kg m kg m 2 14

15 Exemplo Uma estrela, de raio R 1 = 2,3 x 10 8 m, roda com uma velocidade angular inicial ω i = 2,4x10-6 rad/s. Se a estrela colapsar numa estrela de neutrões, de raio R 2 = 20 km, qual é a sua velocidade angular final? τ = 0 L = constante L i = L f I i ω i = I f = I i I f ω i = = (2,3 108 m) ( m) 2 5 MR i 2 ω 2 i = 5 MR 2 f 2 R i R f 2 ω i (2, rad/s) = 320 rad/s = 3056 rpm 15

16 13.3 Colisões rotacionais Se o momento de inércia aumentar, a velocidade angular diminui, para que o momento angular se mantenha. Neste exemplo, de uma colisão rotacional, o momento angular conserva-se: 16

17 Exemplo Um disco maciço, com massa M = 2 kg e 20 cm de diâmetro, roda a 200 rpm. Colocase um aro, com o mesmo diâmetro e 1 kg de massa, em cima do disco. Qual é a velocidade angular final do sistema? τ = 0 L = constante L i = L f I disco ω i = I disco + I aro = ω i I disco I disco + I aro = ω i 1 2 M disco R2 1 2 M disco R2 + M aro R 2 =100 rpm 17

18 Exemplo O disco 1 roda livremente, com velocidade angular ω i e momento de inércia I 1, relativamente ao eixo de simetria mostrado. Coloca-se este disco em cima do disco 2, inicialmente em repouso e com momento de inércia I 2. Passado algum tempo, a velocidade angular dos dois discos é. Determine: a) o valor de ; b) o quociente entre as energias cinéticas final e inicial. a) τ = 0 L = constante L i = L f I 1 ω i = ( I 1 + I 2 ) = I 1 I 1 + I 2 ω i = 1 1+ I 2 I 1 ω i 18

19 Exemplo O disco 1 roda livremente, com velocidade angular ω i e momento de inércia I 1, relativamente ao eixo de simetria mostrado. Coloca-se este disco em cima do disco 2, inicialmente em repouso e com momento de inércia I 2. Passado algum tempo, a velocidade angular dos dois discos é. Determine: a) o valor de ; b) o quociente entre as energias cinéticas final e inicial. b) E cin = 1 ( 2 Iω2 = Iω ) 2 2I = L2 2I E cin,f E cin,i = L 2 2I f L 2 2I i = I i I f = I 1 I 1 + I 2 19

20 Exemplo Cinco amigos, cada um com 60 kg, estão em cima de uma plataforma giratória, que tem 3 m de diâmetro e momento de inércia igual a 130 kg m 2. Inicialmente, os 5 estão junto da periferia da plataforma, que gira a 20 voltas/min. Num dado instante, 4 deles vão para mais perto do eixo de rotação, ficando a 0,3 m do centro. O que é que acontece ao 5º amigo? L i = L f I i ω i = I f ω i = (20 rev/min)(2π rad/rev) / (60 s/min) = 2,09 rad/s I i = 5mR 2 + I plat = 5(60 kg)(1,5 m) 2 + (130 kg m 2 ) = 805 kg m 2 I f = mr 2 + 4mr 2 + I plat = (60 kg)(1,5 m) 2 + 4(60 kg)(0,3 m) 2 + (130 kg m 2 ) = 287 kg m 2 20

21 Exemplo Cinco amigos, cada um com 60 kg, estão em cima de uma plataforma giratória, que tem 3 m de diâmetro e momento de inércia igual a 130 kg m 2. Inicialmente, os 5 estão junto da periferia da plataforma, que gira a 20 voltas/min. Num dado instante, 4 deles vão para mais perto do eixo de rotação, ficando a 0,3 m do centro. O que é que acontece ao 5º amigo? I i ω i = I f = I i I f ω i = ( 2,09 rad/s) ( 805 kg m 2 ) = 5,88 rad/s 287 kg m 2 a c = ω 2 R = (5,88 rad/s) 2 (1,5 m) = 51,9 m/s 2 = 5,29 g Sofrendo uma aceleração linear superior a 5g, é provável que o 5º amigo não conseguisse permanecer na plataforma. 21

22 Exemplo Uma criança corre tangencialmente a uma plataforma giratória e salta para cima dela. A criança tem 25 kg, a sua velocidade é 2,5 m/s, a plataforma tem 2 m de raio e momento de inércia igual a 500 kg m 2. Qual é a velocidade angular final do conjunto criança+plataforma? L i = L f L i = R m c vi L i = Rm c v i L f = ( I plat + m c R 2 ) = = Rm c v i I plat + m c R 2 (2 m)(25 kg)(2,5 m/s) (500 kg m 2 = 0,21 rad/s 2 ) + (25 kg)(2 m) 22