Dinâmica das Rotações 1 Movimento Plano

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1 Dinâmica das Rotações 1 Movimento Plano 1. Um cilindro uniforme de raio R rola sem deslizar sobre um plano horizontal até atingir um plano inclinado de um ângulo α com a horizontal, como mostra a figura abaixo. Determine o maior valor da velocidade inicial v o que permite que o cilindro passe para a seção inclinada sem saltar. A gravidade local vale g. 2. Uma pequena partícula de massa m é cuidadosamente colocada na superfície interna de uma casca esférica cilíndrica de massa M e raio R, como mostrado na figura ao lado. Inicialmente, o cilindro se encontra em repouso sobre um plano horizontal e a partícula está localizada a uma altura R acima do plano. Determine a força entre a partícula e o cilindro no momento em que a partícula passa pelo ponto mais baixo da trajetória. Assuma que o atrito entre a partícula e o interior do cilindro é desprezível e que o cilindro se move sobre o plano sem deslizar. A aceleração da gravidade é g.

2 3. Uma partícula de massa m se move sem atrito sobre a superfície interna de uma casca esférica homogênea de massa M e raio R, cuja secção é mostrada na figura abaixo. A esfera está livre para rolar sem deslizamento ao longo de uma superfície horizontal. A partícula então sofre um pequeno deslocamento com relação com relação à posição de equilíbrio. Calcule a frequência angular das pequenas oscilações da massa pontual. 4. Um globo homogêneo de massa M e raio R gira livremente e sem atrito com uma velocidade angular inicial ω o em torno de um eixo vertical fixo. Uma partícula de massa m sai do pólo N e se move em direção ao polo S ao longo de um meridiano com velocidade constante v (relativa ao globo). O eixo de rotação do globo se mantém inalterado. Encontre, durante o intervalo de tempo em que o inseto percorre o caminho de N até S, o ângulo θ que o globo girou em torno de seu eixo. Você pode querer usar o seguinte resultado: 0 2π dx a+b.cos x = 2π a 2 b 2

3 5. Uma esfera homogênea de raio R e massa m rola sem deslizar com velocidade v o sobre um piso horizontal. Ela encontra um degrau de altura h < R e sobe por cima do degrau. Assuma que a esfera fique sempre em contato com a quina do degrau até o momento em que o centro da esfera fica direta-mente acima da quina. Mostre que, para que a esfera consiga subir o degrau a velocidade v o deve satisfazer: 1 10gh 5h v o (1 7 7R ) 6. Um disco homogêneo de raio R e massa M rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado que faz um ângulo θ com a vertical, como mostra a figura abaixo. O disco é mantido em contato com o plano inclinado em todos os instantes. O disco é atraído por um ponto A localizado a uma distância vertical d acima da superfície. Assuma que a força de atração entre A e o centro do disco é proporcional à distância entre os dois: F = kr, onde r é a distância do ponto A até o centro de massa do disco e k é uma constante positiva. a) Determine a posição de equilíbrio do disco em relação ao ponto B. Isto é, determine a distância entre o ponto B (que está localizado verticalmente abaixo do ponto A) e o ponto de contato do disco com o plano. b) Suponha que o disco sofre um pequeno deslocamento a partir da posição inicial. Determine a frequência angular de pequenas oscilações em torno desse ponto de equilíbrio.

4 7. Uma barra uniforme de massa m e comprimento L está livre para rotacionar em torno de um pivô P que passa pelo seu centro. A barra rotaciona apenas em um plano vertical e estava inicialmente na direção horizontal, como mostra a figura abaixo. Uma aranha também de massa m cai verticalmente sobre a barra com velocidade v o e se prende sobre o ponto médio entre o ponto P e a extremidade livre da barra. Imediatamente depois da colisão inelástica entre a barra e a aranha, a aranha começa a andar ao longo da barra de modo que a velocidade angular do sistema barra+aranha permanece constante. a) Demonstre que a distância x(t) entre a aranha e o pivô varia de acordo com a equação e determine as constantes A, B e C. x(t) = A sin(bt) + C b) Determine os valores de v o para que a aranha atinja a extremidade da barra antes de a barra atingir a posição vertical. 8. Uma esfera uniforme de massa m é colocada em cima de uma barra de massa M, inicialmente em repouso sob um plano horizontal sem atrito, como mostra a figura abaixo. Uma força horizontal constante F é aplicada à barra. Determine a aceleração da barra e do centro da esfera, sabendo que não há deslizamento entre a barra e a esfera.

5 9. Uma bola de massa m, raio R e momento de inércia βmr 2 é liberada do repouso de cima de um plano inclinado de massa M e ângulo de inclinação θ, como mostra a figura abaixo. O plano está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Assumindo que a bola rola sem deslizar ao longo do plano, calcule a aceleração horizontal do plano. 10. Uma barra uniforme de massa M e comprimento L é colocada em contato com uma parede vertical e um piso horizontal, como mostra a figura abaixo. Desconsidere todos os atritos. A barrra é liberada do repouso, fazendo um ângulo α com a vertical. Demonstre que, no momento em que a barra é liberada, as forças de reação normal sobre a barra valem 3mg sin(2α) F parede = 4 { F chão = mg (1 3 4 sin2 α) Demonstre também que o ângulo θ que a barra faz com a vertical no momento em que a barra perde contato com a parede vertical satisfaz a relação 3 cos θ = 2 cos α. 11. Uma partícula A está fixada sobre a superfície interna de uma casca cilíndrica de raio R e massa igual à massa da partícula A. O cilindro rola sem deslizar ao longo do

6 plano horizontal. No momento em que a partícula A atinge a posição mais baixa, o centro do cilindro se move com velocidade v, como mostra a figura abaixo. Calcule os valores de v para que o cilindro não perca contato com o piso. 12. Uma esfera sólida de raio r é colocada no fundo de um hemisfério esférico de raio R. Quando a esfera sofre uma pequena perturbação, ela oscila em torno do fundo. O movimento oscilatório é descrito pela equação diferencial no formato d 2 θ dt 2 + ω2 θ = 0 onde θ é o ângulo entre a vertical e a linha que liga o centro do hemisfério ao centro da esfera. a) Qual o valor de ω 2? b) Determine a força de atrito que age sob a esfera em função do ângulo θ. 13. Um disco uniforme de raio R gira com velocidade angular ω em torno de um eixo perpendicular ao disco e que passa por seu centro de massa. O disco é então cuidadosamente colocado sobre uma superfície horizontal. Por quanto tempo o disco se manterá girando, se o coeficiente de atrito entre o disco e a superfície é μ? A pressão exercida pelo disco sobre a superfície pode ser dada como constante. 14. Uma esfera de raio r e massa m é colocada no interior de um cilindro de raio R cujo eixo permanece na horizontal. O cilindro roda em torno de seu eixo com uma aceleração angular constante α e a bola pode rolar livremente em seu interior. Determine o ângulo θ (vide figura abaixo) para o qual a bola permanece rolando no

7 interior do cilindro sem que seu centro mude de posição. Considere g a gravidade local. 15. Uma barra de massa m e comprimento L é colocada inicialmente em repouso sobre um hemisfério fixo de raio R. A barra sofre então um pequeno deslocamento com relação à posição de equilíbrio e começa a oscilar. Assumindo que não há deslizamentos entre a barra e o hemisfério, calcule o período de pequenas oscilações da barra em torno da posição de equilíbrio. A gravidade local vale g. 16. Um anel rígido de massa M e raio R está pivotado no ponto P, e localizado em uma superfície horizontal sem atrito, como mostra a figura ao lado. Um inseto de massa m corre ao longo do perímetro do anel com velocidade constante u (com relação ao anel). O inseto parte do ponto P, com o anel em repouso nesse instante. Calcule a força normal radial entre o inseto e o anel no instante em que ele passa pelo ponto Q (diametralmente oposto ao ponto P).

8 17. Uma pequena esfera de massa m e raio r colide na extremidade B de uma longa barra homogênea de massa M = 4m e comprimento b = 9a, como mostrado na figura abaixo. Considere que a colisão é elástica, que o coeficiente de atrito entre a esfera e a barra é μ = 0,6 e que o ângulo entre a velocidade inicial v o da esfera e o eixo da barra é α, de acordo com a figura. a) Determine, em função de m, v o e α, o valor dos impulsos J e K da esfera sobre a barra, nas direções y e x, respectivamente. Qual o ângulo formado entre o eixo da barra e a velocidade da esfera imediatamente após a colisão? Qual a condição sobre α para que a esfera seja jogada para cima após a colisão? b) Determine a velocidade angular ω e da esfera após a colisão em função de v o, r e α. c) Determine a velocidade angular ω e a velocidade do centro de massa v cm da barra logo após a colisão. Expresse seu resultado em função de v o, b e α. d) Determine a tração T na corda (de comprimento a) que segura a barra um instante logo após a colisão com a esfera. Considere a aceleração da gravidade local igual a g. Expresse seu resultado em função de m, g, v o, a e α. 18. Uma das extremidades de uma barra uniforme está ligada a um ponto P que está livre para deslizar sobre um trilho horizontal sem atrito. A barra inicialmente faz um ângulo θ 0 com a vertical, como mostra a figura abaixo. A barra é então liberada a

9 partir do repouso. Assuma que a barra consegue, de alguma maneira, atravessar o trilho horizontal e passar para baixo do mesmo. a) Demonstre que, no instante que a barra está horizontal, a força normal sobre a barra vale mg/4, independentemente do ângulo θ 0. b) Se θ 0 = 0 (ou seja, uma pequena perturbação colocou a barra para se mover), mostre que a normal vale 13mg quando a barra está na posição mais baixa (θ = π). c) Se θ 0 = 0, encontre uma equação que determina o ângulo θ no qual a força normal N assume o valor mínimo. 19. Um lápis de massa m e comprimento L é colocado verticalmente sobre uma mesa, com a ponta para baixo (figura abaixo) e deixado cair, rodando sobre sua ponta. Assuma que o lápis é muito fino e considere que há atrito entre o lápis e a mesa. a) Determine a velocidade angular e a aceleração angular em função do ângulo de inclinação do lápis (modelado como uma barra homogênea de comprimento L) com a vertical, antes de o lápis começar a deslizar.

10 b) Mostre que, nas condições do item anterior, a força de reação normal da mesa sobre o lápis vale 3 cos θ 1 N = mg ( ) 2 c) Mostre que o lápis escorregará sempre antes de atingir uma inclinação de 70,5. d) Mostre que se o lápis escorregar para um ângulo superior a 48, ele deslizará na direção em que está a cair. e) Determine o valor máximo do coeficiente de atrito estático μ e para que o lápis deslize na direção oposta à do lado em que ele está caindo e mostre que quando μ e é máximo o lápis desliza quando θ > Um disco horizontal gira em torno de seu eixo de simetria (passando pelo ponto O) com velocidade angular constante ω. Uma barra uniforme AB de comprimento L possui sua extremidade A fixa no disco a uma distância a do seu eixo, como mostra a figura abaixo. A barra sofre então uma pequena perturbação com relação à posição de equilíbrio. Calcule o período das pequenas oscilações da barra. 21. Uma esfera homogênea de raio R é colocada em repouso sobre uma mesa horizontal, como mostra a figura ao lado. Depois de um pequeno impulso, a esfera rola para fora da borda da mesa. A gravidade local vale g. a) Determine o ângulo α em que a esfera perde contato com a mesa. b) Qual é a velocidade do centro da esfera quando ela perde o contato com a mesa?

11 22. Um disco uniforme de massa M e diâmetro 2R se move em direção a outro disco uniforme de massa 2M e diâmetro 2R ao longo de uma superfície horizontal sem atrito. O primeiro disco recebe uma velocidade inicial v 0 e uma velocidade angular inicial ω 0 como mostra a figura abaixo, ao passo que o segundo disco estava inicialmente em repouso. Quando o primeiro disco atinge o segundo, eles instantaneamente grudam (colisão inelástica) e passam a se mover como um único objeto. a) Calcule a velocidade linear e a velocidade angular dos dois discos combinados depois da colisão? Indique as magnitudes e as direções. b) Para qual valor de ω 0 o sistema final não rotaciona? c) Calcule a energia mecânica perdida durante a colisão.

12 23. Uma barra rígida de comprimento L possui uma de suas extremidades presa a um poste que gira com velocidade angular ω em torno de um eixo vertical, como mostra a figura abaixo. Sabendo que a gravidade local vale g, calcule o período de pequenas oscilações da barra em torno das possíveis posições de equilíbrio estável. Analise os possíveis casos separadamente. 24. Um semicilindro uniforme de raio R e massa M está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal com atrito. a) Determine o momento de inércia do semicilindro com relação a um eixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo ponto de contato com o solo. b) Um impulso P é aplicado à uma das extremidades do semicilindro, como mostra a figura abaixo. O semicilindro rola sem deslizar, mantendo o contato com o solo. Determine o mínimo impulso necessário para girar o disco.

13 25. Um cilindro uniforme de massa M e raio R rola sem deslizar sobre um plano horizontal e atinge uma pequena barreira vertical de altura R/3. Sua velocidade antes de atingir a barreira era v. a) Suponha, como mostra a figura (a), que o cilindro passa a rolar sobre a barreira depois de atingi-la, e que não há deslizamentos durante o processo. Calcule a energia perdida durante o impacto em função de M e v. b) Calcule a mínima velocidade que permite que o cilindro atravesse a barreira. Expresse sua resposta em função de R e g (aceleração gravitacional local). c) Para maiores velocidades, o cilindro perde contato com a barreira logo que começa a rolar por cima desta, se comportando como um projétil, como mostra a figura (b). Calcule a mínima velocidade para que isso aconteça em função de R e g. d) Para a situação da parte (c), calcule o maior deslocamento vertical do centro do cilindro. Expresse sua resposta em função de R.

14 26. Um semi-cilindro de raio R rola sem deslizar ao longo de uma superfície plana com atrito, como mostra a figura abaixo. Sendo g a gravidade local, calcule o período de pequenas oscilações do semi-cilindro com relação à posição de equilíbrio. 27. Uma escada consiste de duas barras idênticas ligadas entre si por um pivô P no topo de cada uma delas e por uma corda sem massa, como mostra a figura abaixo. As barras estão em repouso fazendo um ângulo de 60 com a horizontal. A corda é então rapidamente cortada. Calcule a aceleração do ponto P no instante em que a corda foi cortada. A gravidade local vale g.

15 28. Uma roda de raio interno r e raio externo R se encontra em um piso horizontal. O eixo da roda é horizontal. Um fio ideal é amarrado em torno da parte interna da roda, como mostra a figura abaixo. A extremidade livre do fio faz um ângulo α com a horizontal (o ângulo α também pode ser negativo). O momento de inércia da roda é I e sua massa é M. Assuma que a roda gira sem deslizar. a) A extremidade livre do fio é puxada com velocidade u paralela ao fio. Determine a velocidade do centro da roda. b) Suponha agora que a roda estava em repouso. Uma força F é aplicada sobre a extremidade livre do fio (a força é paralela ao fio). Determine a aceleração do centro da roda. c) Determine qual deve ser, em função de α, o coeficiente de atrito μ para garantir que não haja deslizamentos entre a roda e o piso. d) Considere agora que a roda rola pelo piso horizontal com velocidade u, dessa vez sem o fio. A roda atinge um degrau de altura H < R e o impacto é perfeitamente inelástico. Qual é a velocidade v da roda imediatamente após o impacto? e) Determine a velocidade w da roda depois de esta ter subido no degrau. Assuma que u é suficiente para que irá rolar para cima do degrau sem perder o contato com sua quina. f) Se a velocidade u for grande, ou mais especificamente, maior que um valor u o, a roda irá perder contato com a quina durante o processo. Determine essa velocidade máxima u o para que a roda não perca contato.

16 29. Dois cilindros homogêneos de massa M e raio R repousam sobre uma mesa lisa sem atrito. Num determinado instante um impulso I é aplicado a um dos cilindros, num plano que passa pelo centro de massa (CM) do mesmo, como mostra a figura abaixo. a) Determine o momento de inércia de um cilindro em torno do seu eixo. b) O impulso I é aplicado a uma distância d abaixo do centro do cilindro. Determine a velocidade do CM (V cm ) e a velocidade angular (ω) do cilindro após a aplicação do impulso. O primeiro cilindro se desloca sobre a mesa lisa até se chocar elasticamente com outro cilindro igual. Os cilindros possuem um coeficiente de atrito μ entre si. Sendo assim, determine: c) As velocidades angular (ω 1 ) e do CM (V 1 ) do cilindro 1 (da esquerda). d) As velocidades angular (ω 2 ) e do CM (V 2 ) do cilindro 2 (da direita). e) A altura máxima atingida pelo cilindro 2. f) Voltando ao início do problema, a que distância d do CM deveria ser aplicado o impulso I para que o primeiro cilindro se deslocasse num rolamento puro sobre a mesa? Essa distância é acima ou abaixo do CM? 30. Uma partícula de massa m é fixada na superfície interna de uma casca cilíndrica de massa M = 3m e raio R, como mostra a figura abaixo. O cilindro é então colocado sobre uma superfície horizontal sem atrito. Inicialmente, a massa m está em repouso no topo do cilindro. Um leve impulso faz com que o sistema entre em movimento.

17 a) Encontre a aceleração do centro do cilindro no momento em que a partícula está na mesma altura que o centro do cilindro. b) Calcule a força que o solo aplica sobre o cilindro neste instante em função de m e da gravidade g. 31. Considere uma barra de comprimento L, massa m que está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal. Uma corda que passa por uma polia possui sua seção horizontal ligada perpendicularmente à barra e sua seção vertical ligada à um peso de massa M, como mostra a figura abaixo. A massa da polia e o atrito são desprezíveis. a) Qual ponto da barra possui aceleração zero no momento em que o peso é liberado? b) Calcule a razão m/m para que a aceleração do centro da barra neste instante seja máxima? Calcule esta aceleração máxima.

18 32. Três cilindros homogêneos de massa m e raio R (momento de inércia mr 2 /2) estão situados no formato de um triângulo, como mostra a figura abaixo. Encontre a aceleração inicial de queda do cilindro de cima nas duas situações a seguir: a) Existe atrito entre os dois cilindros de baixo e o piso (de modo que eles rolam sem deslizar), mas não existe atrito entre os cilindros. b) Não existe atrito entre os dois cilindros de baixo e o piso, mas existe atrito entre os cilindros (de modo que eles não deslizam com relação ao outro). 33. Um cilindro sólido e homogêneo de massa M e raio R se encontra em contato com uma parede vertical e um piso horizontal, como mostra a figura abaixo. Uma corda sem massa passa pelo cilindro, por uma polia, e possui sua outra extremidade ligada à um bloquinho de massa m. O coeficiente de atrito cinético entre o cilindro e as duas superfícies vale μ. Encontre a aceleração do bloquinho ligado ao fio.

19 34. Uma barra rígida de comprimento L está apoiada no canto de uma sala (vide figura abaixo). A extremidade A desliza pela parede enquanto o extremo B desliza pelo solo. Encontre a aceleração do ponto C (centro da barra) em função do ângulo α, se o ponto B for puxado com velocidade constante e igual a v. Despreze todos os atritos. Gabaritos Rg 1) v o (7 cos α 3) 3 2) F = 3mg(1 + m 3M ) 3) ω = ( 5M+3m ) g 5M R 4) θ = πω or v 5) Demonstração 6) a) x o = ( mg k b) Ω = 2k 3m 2M 2M+5m d) cos θ 7) a) A = 49gL2 288v 0 2, B = 12v 0 7L e C = L 4 b) Condição é que A + C L/2, o que nos dá v o 7 Lg 6 2

20 8) a M = 7F 7M+2m (barra) e a m = 9) a = mg tan θ M+(M+m)(tan 2 θ+βsec 2 θ) 10) Demonstração 11) v 8Rg 12) a) ω 2 = 5g 7(R r) b) f = 2 7 mg sin θ 2 7 mgθ 2F 7M+2m (centro da esfera) 13) t = 3ωR 4μg 14) θ = sin 1 ( 2αR 5g ) 15) T = 2π L 2 16) N = mu2 R 12Rg ( M+m M+2m )2 17) a) J = mv o senα; K = 3 5 mv osenα O ângulo que a velocidade final da esfera faz com a barra vale zero graus (a partícula sai com velocidade na direção da barra) e a condição para que ela suba é tgα < 5/3. b) ω e = 3v osenα 2r c) ω = v osenα ; v 6a cm = v osenα 4 d) T = 11mv o 2 sen 2 α 18a 18) a) Demonstração b) Demonstração c) 3cos 3 θ 9cos 2 θ + 12cosθ 4 = 0 19) a) ω = 3g L b) Demonstração c) Demonstração d) Demonstração (1 cos θ) e α = 3g sin θ 2L

21 20) Ω = 3a 2L ω 21) a) cos α = 10/17 b) v = 10Rg 17 22) a) v = v 0 (para a direita) e ω = ( 3 ω v 0 ) (para fora do papel) 25 R b) ω 0 = 8 3 v 0 R c) ΔE = 19 9 Mv ) 24) a) I = ( π ) MR2 = 0,65MR 2 b) P min = 0,867M Rg 25) a) ΔE = 8 27 Mv2 b) v = 6 7 Rg c) v = 3 7 6Rg d) h = 5 27 R 26) T = π 2g 2(9π 16)Rg 27) a = 3g/8 28) a) u = ur Rcosα+r b) a = F M [cosα+r/r 1+I/MR 2] c) μ r R I MR 2cosα (1+ I MR 2) Mg F senα d) v = u (1 H/R 1+ I MR 2 ) e) w = v 2 2gH 1+ I MR 2

22 g f) u o = (R H) 1+ M 29) a) MR 2 /2 I MR 2 1+ I MR 2 H R b) v cm = I/M e ω = 2Id/MR 2 c) V 1 = 0 e ω 1 = 2I(d μr) MR 2 d) V 2 = I M 1 + μ2 E ω 2 = 2μI e) h max = μ2 I 2 2M 2 g MR f) d = R/2 (acima do centro de massa) 30) a) a cil = g/8 b) N = 15mg/4 31) a) Se localiza a uma distância L/6 do centro da barra (na metade que não está ligada à corda). b) A razão entre as massa m 0 e a aceleração máxima vale g/4. M 32) a) g/10 b) g/11 33) a = [ m(1 μ+2μ2 ) M(μ+μ 2 ) m(1 μ+2μ 2 )+ M 2 (1+μ2 ) ] g 34) a = v2 2Lsen 3 α