Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 12 de março de 2013

Transcrição

1 GIROSCÓPIO Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 12 de março de 2013

2 Roteiro 1 2

3 Roteiro 1 2

4 Dinâmica F (ext) = M a CM τ (ext) = d L dt L = M r CM v CM + L CM τ (ext) CM = d L CM dt Se o eixo de rotação for um eixo principal de inércia, então pode-se dizer que: L = I ω τ (ext) = I α Para se determinar completamente o movimento do corpo rígido é necessário alguma outra informação adicional, e.g. algum vínculo conectando a translação e a rotação.

5 Translação (retilínea) ou curvilínea: E C = Mv 2 CM/2. E C = Mv2 CM 2 + I CMω 2 2 Corpo rígido gira em relação a um eixo fixo passando por um ponto O: E C = I Oω 2 2

6 Forças que não realizam trabalho Forças que atuam sobre pontos fixos do corpo rígido ou que são perpendiculares a seus deslocamentos. Exemplos: reações em pinos de apoio em relação aos quais o corpo gira, a reação normal atuante sobre um corpo que se move ao longo de uma superfície fixa e o peso de um corpo quando seu CM se move em um plano horizontal. A força de atrito estático f atuante sobre um corpo roliço quando ele rola sem deslizar sobre uma superfície rugosa também não realiza trabalho (quando ocorre deslizamento, a situação é bem diferente).

7 Exemplo A barra fina mostrada na Figura tem uma massa m e um comprimento l e é solta do repouso quando θ = 0. Determine a reação do pino em função de θ

8 Solução Equações das forças e dos torques Por conservação de energia A n mg sin θ = mω 2 (l/2) A t + mg cos θ = mα(l/2) A n = 5 mg sin θ 2 A A = mg l 2 cos θ = 1 3 ml2 α ω 2 = 3(g/l) sin θ A 2 n + A 2 t = mg 4 t = 1 mg cos θ sin 2 θ

9 Exemplo O bloco retangular da uniforme com as dimensões mostradas está deslizando para a esquerda sobre a superfície horizontal com uma velocidade v 1 quando atinge o pequeno degrau em O. Assuma um recuo desprezível no degrau e calcule o valor mínimo de v 1 que permitirá ao bloco girar livremente em relação a O e por pouco chegar à posição elevada A sem velocidade. Calcule o percentual de perda de energia para b = c.

10 Solução (H 0 ) 2 = I 0 ω 2 = { [ 1 ( ( ) ]} c 2 b 2 12 m(b2 + c 2 ) + m + ω 2 2) 2 = m 3 (b2 + c 2 )ω 2 (H 0 ) 1 = (H 0 ) 2 b mv 1 2 = m 3 (b2 + c 2 )ω 2 3v 1 b ω 2 = 2(b 2 + c 2 )

11 Solução 1 ( ( ) 2 I Oω2 2 = mg c 2 b 2 + 2) b 2 2 v 1 = 2 g 3 Percentual de perda de energia n = E 1 E = 2 mv I Oω mv2 1 ( ) ( 1 + c2 b b c 2 b) 3 = 1 ( ) c2 b 2 Para b = c n = 62,5%

12 Giroscópio O ingrediente básico de um giroscópio é um volante em rotação rápida, colocado numa haste que serve como eixo (e também eixo de simetria). L = I ω. Se fizermos atuar um torque na mesma direção de L: L = τ t = I ω, temos uma frenagem ou aceleração do volante. Por outro lado, se o torque τ for perpendicular a L: 0 = 2L τ = 2L d L dt = d(l2 ) dt

13 Giroscópio Quando τ é perpendicular a L, ele não altera a magnitude do momento angular, mas só a sua direção. Como no movimento circular uniforme, o vetor L gira no intervalo de tempo infinitesimal t de um ângulo ϕ tal que L = L ϕ = τ t. Portanto: dϕ dt Ω = τ L.

14 Giroscópio No caso em que o eixo do giroscópio forma um ângulo θ qualquer com a vertical A magnitude de L se mantém constante, e o vetor L precessa em torno da vertical, descrevendo um cone de ângulo θ de abertura.

15 Giroscópio L = L sin θ ϕ = τ t, dϕ dt Ω = τ L sin θ, τ = ΩL sin θ. De forma vetorial, podemos dizer que: τ = Ω L.

16 Exemplo Um pião está girando em torno de seu eixo de simetria. Em relação ao eixo de simetria, o raio de giração é de 6,0 cm, e o centro de massa está a 3,0 cm do ponto fixo. Se o pião precessa a 10 rpm, encontre o valor da velocidade angular ω de rotação do pião em torno do eixo de simetria.

17 Solução τ = Ω L mgb sin θ = ΩmkGω 2 sin θ ω = gb Ωk 2 G = 79 rad/s

18 Exemplo Cada uma das rodas idênticas tem uma massa de 4,00 kg e um raio de giração k z = 120 mm e está montada em uma haste horizontal AB presa à haste vertical (que passa por O). Se cada roda gira em torno do eixo z a 3600 rpm, determine a velocidade angular de precessão (rad/s) em torno do eixo y nos casos a seguir (g = 9,81 m/s 2 ): 1 a haste horizontal está fixada a uma luva em O (livre para girar somente em torno do eixo y). 2 a haste está presa à luva por um garfo articulado em torno do eixo x.

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20 Introdução Sistemas que vibram: constituem uma classe de problemas que é muito comum e muito importante. Carros (um carro vibra por causa do motor e, também, por causa da superfície da estrada) Acionamento de discos de computador Átomos em redes cristalinas Cordas de violinos Máquina rotativa (ligeiramente desbalanceada) Linhas de transmissão (vibração induzida pelo vento) Asas de aviões ( flutter ) Estruturas de edifícios (comportamento de estruturas sujeitas a terremotos). Movimento oscilatório: surge como uma resposta a uma perturbação na presença de forças restauradoras.

21 Classificações Há dois tipos de vibrações: livres e forçadas. A vibração livre ocorre quando o movimento é mantido por uma força restauradora, gravitacional ou elástica, como por exemplo a oscilação de um pêndulo ou a vibração de uma barra elástica. A vibração forçada é causada por uma força externa periódica ou intermitente aplicada ao sistema. Essas duas formas de vibrações podem ser tanto amortecidas quanto não-amortecidas. As vibrações não-amortecidas continuam indefinidamente, pois os efeitos de atrito são desprezados na análise. Como as forças de atrito internas e externas estão sempre presentes, os movimentos oscilatórios são na realidade amortecidos.