MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO RÍGIDO

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1 Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa T4 FÍSICA EXPERIMENTAL I - 007/08 MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO RÍGIDO 1. Objectivo Estudo do movimento de rotação de um corpo rígido. Determinação do momento de inércia de um corpo em relação a um eixo. Estudo da variação do momento de inércia de um corpo com a distância ao eixo de rotação.. Introdução Momento angular de uma partícula Define-se momento angular de uma partícula em relação a um ponto O como o produto vectorial do vector posição da partícula, pelo vector momento linear, (1) Em geral, o momento angular de uma partícula varia em módulo e direcção durante o movimento. Se o movimento ocorre num plano que contém o ponto O, a direcção do momento angular permanece constante, ou seja, perpendicular ao plano, visto que r e v r estão contidos no plano. No caso especial do movimento circular, quando o momento angular se calcula em relação ao centro do círculo, os vectores r e v r são perpendiculares e verificam a relação v = ωr, sendo ω a velocidade angular, donde: () No movimento de uma partícula o sentido de L r coincide com a direcção de r ω e podemos escrever a relação vectorial: (3) Derivando a relação (1) em ordem ao tempo, vem:

2 Na eq. (4) a 1ª parcela é nula e a ª vem igual a, pelo que a variação no tempo do momento angular é igual ao momento da força aplicada ou resultante das forças aplicadas e escrevemos, (5) Momento angular e momento de inércia de um corpo rígido Para um sistema constituído por muitas partículas o momento angular total é a soma dos momentos angulares de todas as partículas, (6) Um corpo rígido é um caso especial de um sistema composto por muitas partículas. As partículas de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fixo descrevem circunferências centradas no eixo de rotação com uma velocidade. A velocidade da partícula é, assim, proporcional ao raio da circunferência que descreve. sin (7) Z (4) ω v i R i L θ iz L i O r i m i No movimento circular é perpendicular a. A projecção do momento angular de uma partícula segundo o eixo de rotação vem: cos 90 sen sen (8) e a projecção do momento angular total segundo o eixo de rotação é dada por: (9) I representa o momento de inércia do corpo. Para uma distribuição continua de massa, (10) (6)

3 onde dm representa a massa de um elemento infinitesimal colocado à distância r do eixo de rotação, sendo o integral estendido a todo o corpo. A partir desta equação pode-se compreender que o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo depende, não só, do eixo em torno do qual ele gira, mas também, da forma do corpo e da distribuição da massa. Num sistema de muitas partículas, o vector momento angular não tem, em geral, a direcção do eixo de rotação. Quando coincidem diz-se que o eixo de rotação é um eixo principal de inércia e vem: (11) Os eixos de simetria são eixos principais de inércia. Tal como o momento linear caracteriza a quantidade de movimento de translação, o momento angular caracteriza a quantidade de movimento de rotação. A grandeza responsável pela alteração do estado de rotação é o momento resultante das forças exteriores aplicadas que se relaciona com o momento angular do corpo por: (1) Esta expressão é idêntica à obtida para uma partícula (5). A relação (1) é formalmente análoga à relação para o movimento de translação. Como, para um corpo rígido, o momento de inércia I é constante, das relações (11) e (1) obtemos: onde representa a aceleração angular do movimento. 3. Para resolver antes da aula de realização do trabalho (13) 1) Qual é o momento de inércia de uma massa pontual de 100 g, relativamente a um eixo do qual dista 10 cm. ) Qual é o momento angular da massa anterior quando roda em torno do eixo referido com uma velocidade angular de 6 rad/s. 3) Dois cilindros de massa m 1, raio r e altura h estão presos sobre uma barra de comprimento L b e massa m b que roda em torno de um eixo perpendicular à barra e que passa pelo seu centro (fig. 1). A distância do centro de massa de m 1 ao eixo de rotação é d. a) Escreva uma expressão para o momento de inércia do sistema em termos dos parâmetros acima referidos, recorrendo à informação que encontrará na última página deste documento. 3(6)

4 b) Calcule o momento de inércia do sistema para m 1 = 50 g, r = 1,5 cm, h = 1,5 cm, L b = 60 cm, m b = 150 g e d = 5 cm. 4. Realização experimental e análise dos dados Material Barra cilíndrica, apoiada no centro, onde se podem posicionar duas massas iguais a diferentes distâncias. Este sistema é colocado sobre um eixo de teflon de forma a reduzir o atrito no movimento de rotação. Massa de 150g ou de 00 g. Prato suspenso por um fio e roldana. Sensor óptico ligado ao computador para registo de posições e velocidades. Neste trabalho estuda-se a variação de momento angular de um sistema em função do seu momento de inércia e do momento resultante aplicado. Para iniciar o movimento de rotação aplica-se um momento constante, suspendendo-se uma massa m num fio que se encontra preso, via uma roldana, no eixo de rotação com fita velcro (supõese que as forças de atrito mais importantes correspondem ao atrito sólido entre o sistema e o eixo em que está apoiado, o que corresponde a um momento das forças de atrito também constante). O fio é enrolado um número de voltas determinado, conforme se pretende uma duração maior ou menor do tempo de aplicação do momento. Sugere-se que a configuração inicial da barra seja a correspondente às massas m 1 nas posições extremas (7.5 cm). 1. O sistema é preparado suspendendo uma massa m de 150g ou de 00 g no extremo do fio, preso pela fita velcro e enrolado com 10 voltas. Mantendo o sistema imóvel, inicia-se no computador o registo temporal da velocidade angular do sistema (programa DataStudio, opção sensor óptico: polia inteligente rotativa, distância angular = 0º) e liberta-se o sistema. a) Registe os resultados obtidos para a velocidade angular e a partir deles: i) Caracterize os diferentes tipos de movimento que o sistema apresenta. ii) Obtenha a aceleração angular do movimento inicial. iii) Estime a aceleração angular média devida ao momento das forças de atrito. iv) Calcule a aceleração angular associada ao momento da força de tensão. 4(6)

5 v) Indique o tipo de movimento da massa m e a aceleração linear correspondente. Calcule a tensão no fio enquanto a massa desce. vi) Calcule o momento aplicado pela tensão do fio em que o peso está suspenso. vii) Calcule o momento de inércia do sistema. b) Supondo que repetia a experiência utilizando mais duas massas m (100 g e 150 g ou 00g) para variar o momento aplicado, qual o valor do momento de inércia do sistema, varão mais massas m 1, que espera obter? m 1 Para desencadear o movimento de rotação do varão, ao qual se adaptam as massas m 1, enrola-se um fio em torno do cilindro de raio r, coaxial com o eixo de rotação, aplica-se um momento de força suspendendo do fio, que passa pela roldana, a massa m e liberta-se em seguida o sistema. Um sensor de posição permite medir tempos de passagem para o movimento de rotação. r m. Para uma dada força de tensão aplicada (uma dada massa m, já utilizada nos ensaios anteriores), altere a posição das massas m 1 três vezes (mantendo-as equidistantes do centro) e repita o estudo realizado em 1 a) com o objectivo de determinar o momento de inércia do sistema em cada uma destas condições. 3. Meça também o momento de inércia do varão (sem massas). 4. Represente graficamente os momentos de inércia obtidos em função do quadrado da distância das massas ao centro de rotação. Explique o gráfico obtido. Interprete os parâmetros da recta ajustada e compare-os com os valores esperados. 5(6)

6 Momentos de Inércia CILINDRO raio r, altura h, massa m I I z x mr = = I y = m (3r 1 + h ) BARRA comprimento L, secção nula, massa m I c = ml 1 Adaptado de Teorema dos eixos paralelos O momento de inércia de um sólido em relação a um eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa, I CM e o seu momento de inércia relativamente a um eixo paralelo ao primeiro, Ip estão relacionados por onde d é a distância entre os eixos de rotaçãoo paralelos e m a massaa do sólido. I p d p = I CM + md 6(6)