Prova 1/3. Nome: Assinatura: Matrícula UFES: Semestre: 2013/2 Curso: Física (B e L) Turmas: 01 e 02 Data: 11/11/2013 GABARITO

Transcrição

1 Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Eatas Departamento de Física FIS09066 Física Prof. Anderson Coser Gaudio Prova /3 Nome: Assinatura: Matrícula UFES: Semestre: 03/ Curso: Física ( e L) Turmas: 0 e 0 Data: //03 GAARITO Questão. A equação da velocidade de um oscilador harmônico é definida por: v( t) 0, 60 m/scos 0,50 s t 3 (a) Qual a amplitude das oscilações? [,0] (b) Qual o período das oscilações? [,0] Antes de tudo, vamos converter a função cosseno em seno, para apresentar v(t) em sua forma tradicional. Como sen cos, teremos: v( t) 0, 60 m/ssen 0,50 s t 3 v( t) 0, 60 m/ssen 0,50 s t 6 -(a) Comparando a função acima com: v( t) sen t 0 m 0 0 Identificamos a frequência angular natural do oscilador como: 0 0,50 s Também por comparação, concluímos que: 0 m 0,60 m/s Substituindo-se o valor numérico de 0, teremos: 0,60 m/s m 0,50 s, m -(b) m O período de um oscilador harmônico é definido por: T,566 s 0,50 s 0 T 3 s Questão. A figura ao lado mostra um pêndulo de comprimento L, com um peso esférico de massa M e raio muito menor do que L. Este peso está ligado a certa mola de constante k. Quando o peso está na vertical do ponto de suspensão, a mola tem o comprimento de equilíbrio. (a) Dedua a epressão do período de oscilação deste sistema no caso de vibrações de

2 pequena amplitude. [,5] (b) Imagine que M =,00 kg e L é tal que na ausência da mola o período seja de,00 s. Qual a constante da mola se o período de oscilação do sistema for de,00 s? [,0] -(a) Considere o seguinte esquema da situação, onde F g é a força gravitacional e F e é a força elástica: Vamos resolver a segunda lei de Newton para este sistema, em sua forma rotacional, para chegar à equação diferencial do MHS. I Os torques restauradores que atuam na direção tangencial são o da gravidade e o da mola. F L F L ml g e mg L k L ml sen cos Para valores pequenos de, teremos sen e cos. Substituindo por L: mg kl ml Rearranjando, teremos: L m A equação acima pode ser representada por: 0 Onde a frequência angular natural do oscilador vale: 0 Logo, o período do oscilador vale: T -(b) Usando a condição de ausência da mola, que dá ao pêndulo simples um período de,00 s, podemos calcular o comprimento do pêndulo: L T g 9,8 m/s, 00 s gt L 0,99396 m 4 4 Agora com o sistema completo, sabendo-se que o período é de,00 s, determinaremos a constante k:

3 4 T 4 g 4 9,8 m/s k m, 00 kg 9, 6088 N/m T L,00 s 0,99396 m k 9,6 N/m Questão 3. Imagine que Kepler descobrisse que o período de revolução de um planeta, numa órbita circular, era proporcional ao quadrado do raio da órbita. A que conclusão chegaria Newton sobre a dependência entre a atração gravitacional de dois corpos e a distância entre eles? Justifique matematicamente. [,0] Considere o seguinte esquema da situação: A suposição colocada no enunciado é de que: T r () Sabendo-se isso, a lei da gravitação de Newton deverá assumir a forma: F g r n onde n é um número real. Para determinar o valor de n, vamos resolver a equação do movimento circular da massa m. Como a força gravitacional assume o papel de força centrípeta do movimento circular, teremos: F F c g mv n r r A velocidade de m é a raão entre a distância percorrida numa volta completa (r) e o tempo requerido para isso (T): r m T r n T 4 mr n n T 4 m r () Comparando-se () e (), teremos: n n 3 Portanto, Newton chegaria à conclusão de que: F g 3 r Questão 4. Uma casca esférica fina de massa M e raio R é mantida fia no espaço. Há um pequeno orifício na casca, como indicado na figura ao lado. Uma massa m é liberada a partir do repouso a uma distância do orifício, sobre a linha reta que passa por este e o centro da casca. A partir daí, m move-se apenas sob a ação

4 da força gravitacional devido a M. Considere U = 0 quando as massas M e m estiverem separadas por uma distância infinita. (a) Determine a velocidade de m no instante que passa pelo orifício. [,0] (b) Quanto tempo leva para m ir do orifício até o ponto A, localiado diametralmente oposto ao orifício? [,0] (c) Utilie a epressão final obtida no item (a) para calcular a velocidade que m teria ao passar pelo orifício caso fosse liberado a uma distância = e posto em movimento com um pequeno impulso no sentido da casca. [,0] (d) O que há de especial na velocidade obtida no item (c)? [0,5] A M, R m Considere o seguinte esquema da situação: 4-(a) Como o sistema é conservativo, aplica-se a conservação da energia mecânica às configurações em que m está em C e. K U K U C C GMm GMm 0 m R R GM GM R R v GM R R De acordo com a coordenada adotada, teremos: 4-(b) v GM R R Dentro da casca esférica o potencial gravitacional é constante e, portanto, não há interação gravitacional entre M e m. Logo, m desloca-se com velocidade constante. Aplicando-se a equação do movimento retilíneo uniforme entre os pontos e A, teremos: v t 0 v t C C R R GM t R R C

5 t C C t R GM R R GM 3 R R 4-(c) Partindo-se do resultado de (a): GM GM GM R R R R R R Sendo uma distância infinita, teremos: GM R R 4-(d) v GM R O negativo de v (que movimentaria m de ao infinito) corresponde à velocidade de escape de m da superfície da casca esférica M. Dados: Aceleração da gravidade na superfície da Terra: g = 9,8 m/s.