Trabalhos de computação Mecânica e Ondas MEBM, MEFT e LMAC

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1 Trabalhos de computação Mecânica e Ondas MEBM, MEFT e LMAC Estes trabalhos de computação poderão ser realizados em Mathematica, usando as suas capacidades gráficas. A integração numérica das equações do movimento poderá ser feita com o método de Störmer-Verlet (em anexo). 1. Estudo do movimento do pêndulo simples. a. Determine a equação de movimento de um pêndulo simples em função de θ (ângulo que o pêndulo faz com a vertical) e l (comprimento do fio). Admita a existência de uma força de atrito proporcional à velocidade. c. Faça a representação gráfica de θ () t e de & θ () t várias condições iniciais escolhidas. Considere casos com e sem atrito. 2. Estudo do movimento do pêndulo duplo a. Determine as equações de movimento de um pêndulo duplo, em função de θ 1 e θ 2 (ângulos que os pêndulos fazem com a vertical) e de l1 e l2 (comprimentos dos fios). b. Integre numericamente estas equações diferenciais usando o método de c. Faça a representação gráfica de θ () t e de & θ () t de cada um dos pêndulos várias condições iniciais escolhidas.

2 3. Estudo do movimento do pêndulo elástico a. Determine as equações de movimento de um pêndulo elástico, em função de θ (ângulo que o pêndulo faz com a vertical), de l (comprimento da mola de suspensão) e de k (constante elástica da mola). b. Integre numericamente estas equações diferenciais usando o método de c. Faça a representação gráfica de θ () t do pêndulo em função do tempo t, para várias condições iniciais escolhidas. Considere casos com e sem atrito. Represente graficamente as energias potenciais, cinéticas e totais do fases), para várias condições iniciais escolhidas 4. Estude o movimento de uma bola a saltar contra uma parede móvel. Uma bola cai na vertical contra um chão móvel que oscila com frequência ω e amplitude A ( ychão( t) = Acosωt). No choque da bola com o chão, existe transferência de momento do chão móvel para a bola. Considere que a bola parte de uma atura h num certo instante t. Se o impacto com o chão se dá no instante t1, a velocidade imediatamente antes do choque é v1 = g( t1 t ). Considere que, devido à transferência de momento do chão para a bola, imediatamente depois do choque,~a velocidade da bola é v = 2Acos ωt+ g( t t ). 1 1 a. Estude o movimento. Para várias condições iniciais, faça o gráfico da posição e velocidade da bola em função do tempo. b. Faça a animação gráfica do movimento. 5. Movimento de Kepler de 3 massas no plano. Escreva as equações do movimento de três massas m1, m2 e m3 sujeitas à lei da gravitação universal. Considere que o movimento é plano. a. Integre numericamente as equações diferenciais usando o método de b. Faça a animação gráfica do movimento das três massas.

3 6. Movimento num poço duplo de potencial. Uma massa de um material ferromagnético está suspensa (pêndulo) sobre dois magnetos fixos e oscila sujeita a um potencial da forma, 2 4 V( θ) = aθ + bθ Em que a e b são constantes positivas. a. Determine a equação de movimento, em função de θ (ângulo que o pêndulo faz com a vertical) e l (comprimento do fio). Admita a existência de uma força de atrito proporcional à velocidade. várias condições iniciais escolhidas. Considere casos com e sem atrito. 7. Pêndulo com ponto de suspensão em movimento. O ponto de suspensão de um pêndulo simples tem um movimento dado por ht () segundo o eixo horizontal. Admita que ht () pode assumir um movimento rectilíneo uniforme, um movimento uniformemente acelerado e um movimento oscilatório de amplitude A e de frequência angular ω. θ é o ângulo que o pêndulo faz com a vertical e l é o comprimento do fio. a. Determine a equação de movimento do pêndulo. várias condições iniciais escolhidas. Considere os vários tipos de movimento do ponto de suspensão. Represente graficamente as energias potenciais, cinéticas e totais do

4 8. Osciladores acoplados. Na figura está representado um sistema de dois osciladores acoplados. a. Derive as equações diferenciais do movimento. b. Integre numericamente estas equações usando o método de Störmer- Verlet. c. Faça a representação gráfica de x 1 () t, x& () t, x () t e x & () t em função do tempo t, para várias condições iniciais. Represente graficamente as energias potenciais, cinéticas e totais do 9. Movimento de uma conta num aro a rodar. Uma conta de colar de massa m está ligada a um aro a rodar com velocidade angular constante ω. O aro é circular e tem raio r. A conta move-se sem atrito ao longo do aro e o sistema está sujeito à força gravítica. A posição da conta é referenciada pelo ângulo θ medido ao longo do aro. a. Determine a equação de movimento da conta no aro. várias condições iniciais escolhidas. Considere várias velocidades de rotação do aro. Represente graficamente as energias potenciais, cinéticas e totais do 1. Mesa de bilhar Considere uma mesa bilhar quadrada e uma bola de raio mesa sem atrito. r que se move na a. Faça o estudo do movimento da bola na mesa de bilhar, considerando reflexões especulares com as paredes. b. Para várias condições iniciais, faça o gráfico da posição e da velocidade da bola em função do tempo. c. Faça a animação gráfica do movimento.

5 A. Método de Störmer-Verlet Vamos considerar a equação diferencial, V && x = x Assuma um passo de integração Δ t. Sejam as posições e as velocidades escritas na forma, xn = x( nδt) vn = x& n = x& ( nδt) Então, a solução aproximada da equação diferencial no instante t = n 1 ( n + 1) Δt + em função da solução no instante = nδté dada aproximadamente por, V em que f ( x) = ( x). x tn 2 Δt xn+ 1 = xn +Δ tvn + f( xn) 2 Δt Δt vn+ 1 = vn + f( xn) + f( xn+ 1) 2 2