QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4)

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1 [0000]-p1/7 QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4) ando necessário, use π = 3, 14, g=10 m/s. (1) [1,0] Um móvel executa MHS e obedece à função horária x=cos(0,5πt+π), no SI. O tempo necessário para que este móvel vá da posição de equilíbrio para a posição de elongação máxima e o valor da aceleração no instante t são, respectivamente: (a) 1 s e -π / cos(π/t+π) (b) 1 s e -π cos(π/t+π) (c) s e -π /4 cos(π/t+π) (d) 1 s e -π 3 / cos(3π/t) (e) s e -π/4 cos(π/t+π) Sabemos que: ω = π = π T = T = 1/ = 4s No período T o corpo faz a transição máxima e mínima quatro vezes, logo: t=1s. A aceleração é dada pela derivada segunda em função do tempo da função x(t). Portanto: Portanto: a(t) = d x(t) dt = (0, 5π) cos(0, 5πt + π) = π cos(0, 5t + π) 4 a(t) = π cos(0, 5t + π)

2 [0000]-p/7 () [1,0] Um corpo efetua um movimento harmônico simples linear (MHS), quando numa trajetória retilínea, oscila periodicamente em torno de sua posição de equilíbrio sob ação da força restauradora cuja intensidade é proporcional à distância do corpo ao ponto de equilíbrio. A figura ilustra um corpo de massa m preso a uma mola de constante elástica k que será abandonado da posição x= m para dar início ao MHS em torno da posição de equilíbrio x=0, com freqüência angular de 1 rad/s. Despreza-se qualquer tipo de atrito ao movimento do corpo. Indique o gráfico que representa a função horária da velocidade do corpo de massa m em um período completo (T) de oscilação. (I) (II) (III) (IV) (a) Figura (I) (b) Figura (II) (c) Figura (III) (d) Figura (IV) (e) Figura (V) (V) A função que descreve um MHS é uma função trigonométrica do tipo seno ou cosseno. Como o movimento para t=0s inicia com valor máximo de amplitude, podemos escrever que a posição x(t) do objeto é dada por: x(t) = cos(ωt) A velocidade é dada pela derivada da função posição x(t): v(t) = dx(t) dt = ωsen(ωt) com ω = π T Assim: v(t) = ωsen ( ) πt T

3 [0000]-p3/7 (3) [1,0] Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um movimento harmônico simples horizontal com uma amplitude A 1. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura, grudando-se nele. A nova amplitude e período são: (a) A = A 1 M/(M + m) e T = π (M + m)/k (b) A = A 1 M/(M + m) e T = π (M)/k (c) A = A 1 M/m e T = π (m)/k (d) A = A 1 M/m e T = 4π (M + m)/k (e) A = A 1 M e T = 1/π (M)/k Note que o movimento está dependo da posição e assim usamos o método da energia. Antes da massa cair E = const. Quando ela cai a colisão é totalmente inelástica, a energia diminui, voltando a ser constante depois da colisão. Antes da colisão: E 1 = Mv 1 = 1 ka 1 Enquanto o momento linear é: Mv v 1 = k M A 1 Durante a colisão existe conservação do momento linear do sistema massa-bloco. A colisão dura muito pouco tempo, de forma que a massa e o bloco se encontram em x = 0. Note que U = 0 e que temos somente K, porém menor do que K antes da colisão. Depois da colisão: o momentum linear é: (M+m)v, e pela lei de conservação de momento linear de onde podemos obter v e obtermos, Mv 1 = (M + m)v E = 1 (M + m)v = 1 M M + m E 1 Na verdade podemos dizer que a energia cinética perdida é usada para elevar a temperatura do bloco. Como: E = 1 ka Portanto: M A = A 1 M + m

4 [0000]-p4/7 O cálculo do período é: T = π M + m Veja que a amplitude tornou-se maior e o período menor. k (4) [1,0] Levando em consideração a oscilação na direção vertical de um carro, podemos considerar que este seja suportado por quatro molas idênticas. As molas de um carro são ajustadas de um certo modo que a frequência de vibração seja 4, 00Hz. al é a constante de cada mola se a massa do carro é 1500 kg e o peso é distribuído igualmente sobre as molas? al será a frequência de vibração se cinco passageiros, com 70 kg cada, ocupam o carro? (Considere π = 10.) (a) k =, N/m e f = 3, 6Hz (b) k = 9, N/m e f = 3, 6Hz (c) k =, N/m e f = 1, 8Hz (d) k = 9, N/m e f = 1, 8Hz (e) k = 9, N/m e f = 1, 6Hz Constante de cada mola: ω = k e f m = π f k e f = 4π f m = = N/m Frequência de vibração: k = k e f 4 = =, N/m f = 1 k e f π m t otal f = = 3, 6Hz π 1815

5 [0000]-p5/7 QUESTÕES DISCURSIVAS ATENÇÃO: A solução dessa questão deve ser feita no caderno de provas devidamente identificado com nome, NUSP e turma. (QD1) Um pêndulo simples é constituído de uma massa de m = 1 kg suspensa por um fio de comprimento L com massa desprezível. (a) [1,0] Escreva as equações de movimento para um ângulo de desvio θ em relação a posição de equilíbrio, justificando sua resposta. Supondo que o pêndulo execute pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio: (b) [1,0] Determine o comprimento para que o período de oscilação seja de π s. (c) [1,0] Mostre que a energia total do pêndulo é constante. RESPOSTA: (a) Direção radial: ma r = mgcosθ-t Direção tangencial: ma t = -mgsenθ (b) Contribuirá para o movimento apenas a componente tangencial: Para pequenas oscilações: senθ θ m d S dt = mgsenθ ml d θ dt = mgsenθ = d θ dt + g L senθ = 0 No período temos que: Para T=πs: d θ dt + ω θ = 0 T = π ω = π L g L π = π g = L = g 4 (c) Calcula-se primeiramente K e U: K = 1 mv = 1 ( ) ds m = 1 dt ml ( ) dθ dt

6 [0000]-p6/7 θ0 U = F d s = mgsenθldθ = mgl(1 cosθ 0 ) 0 Para pequenas oscilações, podemos expandir cosθ em Taylor e portanto: Equação diferencial e solução: Dessa forma E = K+U U = mglθ d θ dt + g L θ = 0 = θ = θ 0cos(ωt + φ) E = 1 ( ) dθ ml + mglθ dt E = 1 ml [ θ 0 ωsen(ωt + φ)] + mgl E = 1 mlgθ 0 [θ 0 cos(ωt + φ)] [ ] sen (ωt + φ) + cos(ωt + φ) E finalmente: E = 1 mlgθ 0 (QD) Um planeta de massa m orbita uma estrela de massa M. Considerando a massa da estrela muito maior que a do planeta, podemos descrever a energia mecânica E do sistema (constante) em termos do momento angular L (constante), da distância entre o planeta e a estrela r e de sua velocidade radial dr dt : E = GMm r + L mr + m ( dr dt ) = U e (r) + m ( dr dt ) onde G é a constante gravitacional universal. Note que a contribuição da velocidade angular para a energia cinética é completamente descrita em termos do momento angular L e do momento de inércia I = mr. A combinação desse termo com a energia potencial gravitacional dá origem a um potencial efetivo, U e (r), dependente apenas de r. (a) [1,0] al a distância r e, correspondente ao mínimo da energia potencial efetiva? (b) [1,0] Escreva a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações ao redor de r e, em termos de r = r r e. (b) [1,0] Calcule a frequência de oscilação ao redor de r e. Dê suas respostas em termos de M, m, L, G. RESPOSTA: (a) Dado U e (r) = GMm r + L mr

7 [0000]-p7/7 du e dr r e mnimo du e dr = GMm r = 0 L mr 3 = 0 (b) r e = L GMm pequenas oscilações ao redor de r e : F r = du e dr = GMm r + L mr 3 m d r dt = GMm r + L mr 3 r = r r e r = r + r e dt = GMm (r + r e ) + L m(r + r e ) 3 Dividindo termo a termo por r e podemos reescrever: [ dt = G3 M 3 m 5 ( ) r ( ) ] r 3 L r e r e usando a aproximacao (u + 1) n 1 + nu + para u 1: dt = G3 M 3 m 5 [ L r ( )] r r e r e dt = G3 M 3 m 5 ( L 4 r ) r e substituindo r e : dt = G3 M 3 m 5 L 4 [ r GMm ] d r dt = G4 M 4 m 6 L 6 r (c) Pela equação diferencial do movimento: L ω = G4 M 4 m 6 L 6 = ω = G M m 3 L 3 f = 1 G M m 3 π L 3 FORMULÁRIO Para u 1 vale a aproximação (1 + u) n 1 + nu +. = π f