O Movimento Harmônico Simples

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1 O Movimento Harmônico Simples Bibliografia e Figuras: Halliday, Resnick e Walker, vol 2 8 a ed, Cap 15. Todo o movimento que se repete em intervalos regulares é chamado de movimento periódico ou movimento harmônico. Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15. Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

2 Conceitos iniciais A frequência f, mede o número de oscilações completas em um segundo. Sua unidade no SI é o Hertz (Hz). Um Hz é definido como uma oscilação por segundo, ou 1/s. Outra grandeza importante é o período T, que é o intervalo de tempo necessário para se completar uma oscilação completa ou um ciclo. T=1/f [s] Uma outra unidade de frequência que normalmente aparece é o rpm ou rotações por minuto. Note que 60rpm=1Hz

3 Equação de movimento Vamos considerar um sistema composto de uma massa presa em uma mola oscilando em torno de um ponto de equilíbrio x=0. Desprezamos o atrito. Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15. F = kx! ma = kx! m d2 x dt 2 = kx x md2 + kx =0 dt2 d 2 x dt 2 + k m x =0 d 2 x dt 2 +!2 x =0

4 Esta é uma equação diferencial de segunda ordem (precisa de duas condições iniciais para ser resolvida. Por exemplo temos que saber a posição e a velocidade iniciais do sistema) cuja solução fornece o deslocamento do sistema em função do tempo, sendo uma função periódica do tipo: x(t) =x m cos(!t + ) x m é a Amplitude da oscilação! é a frequência angular é constante de fase (deve ser expressa em radianos) Como x(t) é periódica, devemos ter que x(t)=x(t+t) e isto implica, tomando =0 x m cos(!t) =x m cos[!(t + T )]

5 Como a função coseno se repete a cada T=2π, ou seja, tem período de oscilação T=2π, temos que: (t + T )= t +2 T =2 = 2 T (rad/s) ou, como f=1/t =2 f

6 Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15. deve ser expresso em radianos!

7 Velocidade e aceleração no MHS Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15. x(t) =x m cos(!t + ) v(t) = dx(t) dt =!x m sen(!t + ) a(t) = dv(t) dt =! 2 x m cos(!t + )=! 2 x(t)

8 Revisitando a frequência angular Para deduzir a equação de movimento de um sistema massa mola, havíamos feito que:! 2 = k m e devido à periodicidade da função que descreve a posição do sistema, vimos também que:! = 2 igualando as duas expressões, podemos expressar o período de oscilação de um oscilador simples como: T r m T =2 k

9 Exemplo-1 (e) Qual a constante de fase do movimento? (f) Qual a função posição do bloco? Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

10 Exemplo-2 Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

11 O Movimento Harmônico Simples II -Energia no MHS- Bibliografia e Figuras: Halliday, Resnick e Walker, vol 2, 8 a ed, Cap. 15 Vimos que a energia mecânica de um sistema físico pode ser escrita como a soma de sua energia cinética com sua energia potencial. No caso do oscilador harmônico simples, sabemos que: E mec = 1 2 mv kx2 Já sabemos que a posição e a velocidade são dadas neste caso, respectivamente, por x(t) =x m cos(!t + ) v(t) =!x m sen(!t + )

12 E mec = 1 2 m(!x msen(!t + )) k(x mcos(!t + )) 2 E mec = 1 2 m!2 x 2 msen 2 (!t + )+ 1 2 kx2 mcos 2 (!t + ) mas, já vimos que k =! 2 m e, podemos agrupar esta equação E mec = 1 2 m!2 x 2 m(sen 2 (!t + )+cos 2 (!t + )) E mec = 1 2 m!2 x 2 m

13 Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15. Note que as energias cinética e potencial são defasadas de π/2 A energia mecânica total é constante e depende do quadrado da amplitude de oscilação, do quadrado da frequência angular e da massa do oscilador, conforme mostramos. Fonte: Halliday, Resnick and Walker, vol 2, 8a Ed. Cap 15.

14 Reuters/Richard Chung/Landov LLC Exemplo: (Amortecedor de massa): A massa da peça é de m=5,4x10 5 kg, e ela foi projetada para oscilar com uma frequência de f=10hz e com uma amplitude de 20cm. a) Qual é a energia mecânica total do sistema? b) Qual a velocidade da peça ao passar pelo ponto de equilíbrio?

15 O Pêndulo Simples É um sistema composto por uma partícula de massa m suspensa em uma das extremidades por um fio indeformável e massa desprezível se comparada com a da partícula e está livre para oscilar no plano xy, em torno do eixo z (que sai do quadro)

16 O movimento do pêndulo simples é de rotação em torno de um eixo fixo. Neste caso, a segunda lei de Newton é dada por: I! Momento de Inércia d 2! aceleração angular dt2 ~M = ~r ~ F! ~ M = mglsen M = I d2 dt 2 M! Torque ou Momento de uma força mglsen = I d2 dt 2 Para pequenas oscilações sen

17 Então ficamos com a seguinte equação diferencial: d 2 dt 2 + mgl I =0 que é exatamente a mesma equação diferencial do Movimento Harmônico Simples que ocorre em um sistema massa-mola d 2 x dt 2 +!2 x =0 No caso do pêndulo, a frequência angular é: 2 = mgl I d 2 dt 2 +!2 =0

18 A equação é uma EDO de segunda ordem e precisa de duas condições iniciais para ser resolvida, tipicamente a posição angular e velocidade iniciais. Note que a solução deste problema é matematicamente idêntica à solução do problema envolvendo a oscilação do sistema massa-mola. (t) = m cos( t + ) O período é T = 2 e a frequência angular é 2 = mgl I O momento de Inércia no caso do pêndulo simples é: I = ml 2 s T =2 L g