Uma oscilação é um movimento repetitivo realizado por um corpo em torno de determinado ponto.

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2 Uma oscilação é um movimento repetitivo realizado por um corpo em torno de determinado ponto. Exemplos: pêndulos, ponte ao ser submetida à passagem de um veículo, asas de um avião ao sofrerem turbulência etc.

3 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) HARMÔNICO Movimento que ocorre em intervalos regulares de tempo o qual pode ser descrito em termos de uma função senoidal. SIMPLES

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5 Conceitos Centrais Frequência (f): número de oscilações completas por segundo; medida no SI em Hertz ~[Hz]; Período (T): tempo necessário para realizar uma oscilação completa; medido no SI em segundos ~[s]. f = 1 T

6 DESLOCAMENTO DE UMA PARTÍCULA EM MHS: Descrita em termos da solução da Equação do Oscilador Simples: FASE x(t) = x m cos (ωt + ϕ) AMPLITUDE FREQUÊNCIA ANGULAR CONSTANTE DE FASE Onde: Amplitude (x m ): representa o deslocamento máximo de uma partícula em torno do ponto de equilíbrio; Fase: argumento da função senoidal. Indica o comportamento do termo oscilatório.; Constante de fase (ϕ): ajusta o deslocamento e a velocidade da partícula no instante t = 0;

7 Frequência Angular (ω): ajuste da frequência para análise do seu comportamento em uma rotação, medida no SI em radianos por segundo [rad/s]. x(t) = x(t + T) x m cosωt = x m cosω(t + T) A função cosseno se repete quando a fase aumenta em 2π ω(t + T) = ωt + 2π ωt = 2π ω = 2π T = 2πf

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9 VELOCIDADE DO MHS v(t) = dx(t) dt = d dt [x mcos (ωt + φ)] v t = ωx m sen (ωt + φ) ACELERAÇÃO DO MHS dv t a(t) = dt = d dt [ ωx m sen (ωt + φ)] a t = ω²x m cos (ωt + φ) a(t) = ω²x(t)

10 LEI DO MHS 2ª Lei de Newton: Sendo a = -ω²x: F = ma F = -mω²x Define-se mω² = k, sendo k a constante elástica. Portanto: F = -kx Lei de Hooke: força restauradora mantém o movimento de oscilação

11 OSCILADOR HARMÔNICO LINEAR SIMPLES Sistema massa-mola k = mω² ω = k m Como ω = 2π T = 2πf: T = 2π m k

12 EXEMPLO 1 Um bloco cuja massa m é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica k é 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície sem atrito por uma distância x = 11 cm a partir da posição de equilíbrio em x = 0 e liberado a partir do repouso no instante t = 0. a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento. b) Determine a amplitude das oscilações. c) Determine a velocidade máxima v m do bloco e o local onde se encontra o bloco quando tem essa velocidade. d) Determine o módulo a m da aceleração máxima do bloco.

13 ENERGIA NO MHS Energia Potencial Elástica: Para um oscilador linear simples U(t) = 1 2 kx² = 1 2 kx m 2 cos² (ωt + φ) Energia Cinética: K(t) = 1 2 mv² = 1 2 mω²x m 2 sen² (ωt + φ) Energia Mecânica: K(t) = 1 2 kx m 2 sen² (ωt + φ) E = K(t) + U(t) = 1 2 kx m 2 cos² (ωt + φ) kx m 2 sen² (ωt + φ) E = 1 2 kx m 2 [cos² (ωt + φ) + sen² (ωt + φ)] Sendo cos² θ + sen² θ = 1: E = 1 2 kx m 2 Logo a energia mecânica é constante e independente do tempo

14 EXEMPLO 2 Muitos edifícios altos possuem amortecedores de massa, cuja finalidade é evitar que os edifícios oscilem excessivamente por causa do vento. Em muitos casos, o amortecedor é um grande bloco instalado no alto do edifício, que oscila na extremidade de uma mola, movendo-se em um trilho lubrificado. Quando o edifício se inclina em um sentido (para a direita, por exemplo), o bloco se move no mesmo sentido, mas com um certo retardo, de modo que, quando finalmente oscila para a direita, o edifício está se inclinando para a esquerda. Assim, o movimento do bloco está sempre defasado em relação ao movimento do edifício. Suponha que o bloco possui uma massa m = 2,72 x 10 5 kg e foi projetado para oscilar em uma frequência f = 10,0 Hz e com uma amplitude x m = 20,0 cm. a) Qual é a energia mecânica total E do sistema massa-mola? b) Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio?

15 Amortecedores de massa são projetados para neutralizar o balanço causado por fortes ventos ou terremotos em um arranha-céu. Entretanto, é incrivelmente raro ver um desses monstros se movendo mais que alguns centímetros. A menos, é claro, que haja um tufão por perto. O tufão Soudelor passou por Taiwan e pelo oeste da China na semana passada [texto de 12 de agosto de 2015]. Seus ventos atingiram 210 km/h, entortando caixas de correio e levantando até mesmo um Boeing 747 do chão. Como o Taipei 101, um dos edifícios mais altos do mundo, com 508 metros de altura, conseguiu superar a força dos ventos? Como a maioria dos arranha-céus gigantes, o 101 tem uma coisa chamada amortecedor de massa, um dispositivo projetado para compensar a força lateral dos ventos. E, durante o pior da tempestade, ele quebrou o recorde de balanço. Começando no 87º andar e terminando no 92º, uma enorme esfera de aço fica suspensa numa câmara aberta dentro do núcleo do edifício. Adaptado de gizmodo.uol.com.br/veja-como-o-amortecedor-de-massade-um-arranha-ceu-neutraliza-a-forca-de-um-tufao/

16 OSCILADOR HARMÔNICO ANGULAR SIMPLES Torção de um fio suspenso: Pêndulo de Torção Movimento Harmônico Angular Simples: τ = -κθ Onde κ é a constante de torção (expressão análoga à Lei de Hooke para a rotação), sendo uma propriedade do fio do pêndulo. Para o período: T = 2π I κ

17 EXEMPLO 3 A figura mostra uma barra fina cujo comprimento L é 12,4 cm e cuja massa m é 135 g, suspensa em um fio longo pelo ponto médio. O período T a do MHS angular da barra é medido como 2,53 s. Um objeto de forma irregular, que vamos chamar de objeto X, é posteriormente pendurado no mesmo fio, sendo o período medido como 4,76 s. Qual é o momento de inércia do objeto X em relação ao eixo de suspensão? Dado: momento de inércia de uma barra baixa em torno de um eixo passando selo seu ponto médio: I = 1 12 ml²

18 PÊNDULOS Pêndulo Simples Corpo suspenso por um fio (inextensível e de massa desprezível) descrevendo um MHS Torque: τ = r F A força responsável pelo torque é o componente horizontal da força gravitacional: τ = Lmgsenθ. sen90 o Sendo τ = Iα (2ª Lei de Newton para a Rotação): Iα = Lmgsenθ

19 Para pequenos ângulos (expressos em radianos), sen θ θ. Desse modo: α = Lmg θ I Para o MHS, temos que a = -ω²x, que em sua forma para a rotação é equivalente a: α = ω²θ

20 Por comparação entre as duas equações anteriores, observa-se que: ω² = Lmg I Sendo ω = 2π/T: ω = Lmg I 2π T = T = 2π Lmg I I Lmg

21 Para o momento de inércia do pêndulo I = mr² = ml²: T = 2π ml² Lmg T = 2π L g Onde L é a distância entre o ponto que prende o fio do pêndulo e o centro de massa do corpo pendurado na outra extremidade.

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24 Pêndulo Físico: T = 2π I mg O momento de inércia I depende da distribuição de massa do pêndulo físico.

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26 EXEMPLO 4 Na figura, uma régua de um metro oscila em torno de um ponto fixo em uma das extremidades, a uma distância h do centro de massa da régua. a) Qual é o período de oscilação T da régua? b) Qual é a distância L 0 entre o ponto fixo O da régua e o centro de oscilação? Dica: relacione com o período de um pêndulo simples com mesmo comprimento L 0.

27 MHS E MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME O movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular uniforme em um diâmetro ao longo da qual acontece o movimento circular

28 MHS AMORTECIDO Ocorre quando o movimento de um oscilador é reduzido pela ação de alguma força externa (atrito, arrasto etc) Força de amortecimento F a : F a = -bv Onde v é a velocidade da placa e b uma constante de amortecimento.

29 A partir da 2ª Lei de Newton é possível extrair uma equação para o Oscilador Harmônico Amortecido, cuja solução é descrita por: Sendo a frequência angular ω : ω = k m b² 4m² Quando b = 0, não há o termo de amortecimento e retorna-se ao MHS.

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31 OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA Oscilação Forçada: oscilação iniciada por alguma força externa. Nas oscilações forçadas há duas frequências angulares características: 1) Frequência Angular Natural ω: frequência de oscilação livre 2) Frequência Angular ω e : frequência proveniente da força externa A amplitude da velocidade do oscilador atinge valor máximo quando ambas frequências se igualam: ω e = ω Quando essa condição é atingida, há uma ressonância. Exemplos: Terremoto na Cidade do México (1985) Ponte de Tacoma Narrows (1941)

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34 REFERÊNCIAS Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física, volume 2, Gravitação, Ondas e Termodinânica. 9ª edição, editora LTC, Rio de Janeiro, As imagens e exemplos foram extraídas da fonte acima. Os gifs foram extraídos de giphy.com.