Uma oscilação é um movimento repetitivo realizado por um corpo em torno de determinado ponto.

Transcrição

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2 Uma oscilação é um movimento repetitivo realizado por um corpo em torno de determinado ponto. Exemplos: pêndulos, ponte ao ser submetida à passagem de um veículo, asas de um avião ao sofrer turbulência etc.

3 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) HARMÔNICO Movimento que ocorre em intervalos regulares de tempo o qual pode ser descrito em termos de uma função senoidal. SIMPLES

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5 Conceitos Centrais Frequência: número de oscilações por segundo; medida em Hertz ~[Hz] Período: tempo para uma oscilação completa; medido em segundos ~[s] f = 1 T

6 DESLOCAMENTO DE UMA PARTÍCULA EM MHS: Descrita em termos da solução da Equação do Oscilador Simples: FASE x(t) = x m cos (ωt + ϕ) AMPLITUDE Onde: Amplitude (x m ): representa o deslocamento máximo de uma partícula em torno do ponto de equilíbrio; Fase: argumento da função senoidal; FREQUÊNCIA ANGULAR CTE DE FASE Constante de fase (ϕ): ajusta o deslocamento e a velocidade da partícula no instante t = 0;

7 Frequência Angular (ω): ajuste da frequência para uma rotação, medida em radianos por segundo ~ [rad/s] x(t) = x(t + T) x m cosωt = x m cosω(t + T) A função cosseno se repete quando a fase aumenta em 2π ω(t + T) = ωt + 2π ωt = 2π ω = 2π T = 2πf

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9 VELOCIDADE DO MHS v(t) = dx(t) dt = d dt [xmcos (ωt + φ)] v t = ωxm sen (ωt + φ) ACELERAÇÃO DO MHS dv t a(t) = dt = d dt [ ωxm sen (ωt + φ)] a t = ωxm cos (ωt + φ) a(t) = ω²x(t)

10 LEI DO MHS 2ª Lei de Newton: Sendo a = -ω²x: F = ma F = -mω²x Define-se mω² = k, sendo k a constante elástica. Portanto: F = -kx Lei de Hooke: força restauradora mantém o movimento de oscilação

11 OSCILADOR HARMÔNICO LINEAR SIMPLES Sistema massa-mola k = mω² ω = k m Como ω = 2π T = 2πf: T = 2π m k

12 EXEMPLO 1

13 ENERGIA NO MHS Energia Potencial Elástica: Para um oscilador linear simples U(t) = 1 2 kx² = 1 2 kx m 2 cos² (ωt + φ) Energia Cinética: K(t) = 1 2 mv² = 1 2 mω²x m 2 sen² (ωt + φ) Energia Mecânica: K(t) = 1 2 kx m 2 sen² (ωt + φ) E = K(t) + U(t) = 1 2 kx m 2 cos² (ωt + φ) kx m 2 sen² (ωt + φ) E = 1 2 kx m 2 [cos² (ωt + φ) + sen² (ωt + φ)] Sendo cos² θ + sen² θ = 1: E = 1 2 kx m 2 Logo a energia mecânica é constante e independente do tempo

14 EXEMPLO 2

15 OSCILADOR HARMÔNICO ANGULAR SIMPLES Torção de um fio suspenso: Pêndulo de Torção Movimento Harmônico Angular Simples: τ = -κθ onde κ é a constante de torção (expressão análoga à Lei de Hooke para a rotação) Para o período: T = 2π I κ

16 PÊNDULOS Pêndulo Simples Corpo suspenso por um fio (inextensível e de massa desprezível) descrevendo um MHS Torque: τ = r F A força responsável pelo torque é o componente horizontal da força gravitacional: τ = Lmgsenθ. sen90 o Sendo τ = Iα (2ª Lei de Newton para a Rotação): Iα = Lmgsenθ

17 Para pequenos ângulos (expressos em radianos), sen θ θ. Desse modo: α = Lmg θ I Para o MHS, temos que a = -ω²x, que em sua forma para a rotação é equivalente a: α = ω²θ

18 Por comparação entre as duas equações anteriores, observa-se que: ω² = Lmg I Sendo ω = 2π/T: ω = Lmg I 2π T = T = 2π Lmg I I Lmg

19 Para o momento de inércia do pêndulo I = mr² = ml²: T = 2π ml² Lmg T = 2π L g Onde L é a distância entre o ponto que prende o fio do pêndulo e o centro de massa do corpo pendurado na outra extremidade.

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22 Pêndulo Físico: T = 2π I mg O momento de inércia I depende da distribuição de massa do pêndulo físico.

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24 EXEMPLO 3

25 MHS E MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME O movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular uniforme em um diâmetro ao longo da qual acontece o movimento circular

26 MHS AMORTECIDO Ocorre quando o movimento de um oscilador é reduzido pela ação de alguma força externa (atrito, arrasto etc) Força de amortecimento F a : F a = -bv Onde v é a velocidade da placa e b uma constante de amortecimento.

27 A partir da 2ª Lei de Newton é possível extrair uma equação para o Oscilador Harmônico Amortecido, cuja solução é descrita por: Sendo a frequência angular ω : ω = k m b² 4m² Quando b = 0, não há o termo de amortecimento e retorna-se ao MHS.

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29 OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA Oscilação Forçada: oscilação iniciada por alguma força externa. Nas oscilações forçadas há duas frequências angulares características: 1) Frequência Angular Natural ω: frequência de oscilação livre 2) Frequência Angular ω e : frequência proveniente da força externa A amplitude da velocidade do oscilador atinge valor máximo quando ambas frequências se igualam: ω e = ω Quando essa condição é atingida, há uma ressonância Exemplos: Terremoto na Cidade do México (1985) Ponte de Tacoma Narrows (1941)

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32 REFERÊNCIAS Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física, volume 2, Gravitação, Ondas e Termodinânica. 9ª edição, editora LTC, Rio de Janeiro, As imagens e exemplos foram extraídas da fonte acima. Os gifs foram extraídos de giphy.com.