Física 2 - Movimentos Oscilatórios. Em um ciclo da função seno ou cosseno, temos que são percorridos 2π rad em um período, ou seja, em T.

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1 Física 2 - Movimentos Oscilatórios Halliday Cap.15, Tipler Cap.14 Movimento Harmônico Simples O que caracteriza este movimento é a periodicidade do mesmo, ou seja, o fato de que de tempos em tempos o movimento se repete. Este tempo necessário para um movimento deste tipo completar um ciclo é chamado de período e é representado em algumas literaturas com a letra T. Onde [T] = s A quantidade de repetições que um movimento deste tipo executa por unidade de tempo é determinado pela frequência do mesmo, representada pela letra f. Onde Em um ciclo da função seno ou cosseno, temos que são percorridos 2π rad em um período, ou seja, em T. Logo Que por si Como [t] = s, temos: [ω] = rad s ω = 2π T ω = 2πf = s 1 (rad é admensional) [φ] = rad Logo, o gráfico da posição contra o tempo de um MHS apresenta-se da seguinte forma: f = 1 T [f] = 1 s = s 1 = Hz (Hertz) Um movimento deste tipo pode ser muito bem representado por uma partícula que oscila ao longo do eixo x, tendo o ponto x = 0 como ponto de equilíbrio. Uma das características importantes do MHS é sua amplitude, representada no esquema acima por x m (em outras literaturas aparece como A). Tendo No gráfico apresentado a escala de tempo é dada em múltiplos de π, pois se torna mais prático trabalhar desta maneira com a função cosseno. O valor da frequência angular ω está ligado com a periodicidade do movimento e a fase diferença de fase φ com o ponto em que o movimento se inicia. Observe o efeito da frequência angulas ω [x m ] = [x] = m, cm, mm, etc O modelo matemático perfeito para o tipo de movimento como este são as funções periódicas contínuas como o seno e o cosseno. (Lembrando que o seno é somente o cosseno deslocado de π ou 90º). 2 Tomando a mesma base da literatura, descreveremos a função posição de uma partícula em MHS por meio da expressão Observe também o efeito da diferença de fase x(t) = x m cos(ωt + φ) onde ω é conhecido como frequência angular e φ a diferença de fase. A frequência angular (ou em alguns casos, velocidade angular) define-se como ω = θ t A velocidade de um corpo é dada pela derivada da função posição do mesmo. Nada muda para MHS.

2 v(t) = dx dt x(t) = x m cos(ωt + φ) v(t) = dx dt = ω x m sen(ωt + ϕ) Sabendo que a derivada de função cosseno é o negativo da função seno e que, também, a função seno e a cosseno são deslocadas de π horizontalmente entre si, 2 temos os seguintes gráficos para posição e velocidade (com x m = 1, ω = π rad, φ = 0) s que é a velocidade máxima do MHS. A velocidade máxima do MHS sempre ocorre em instantes que o móvel passa pelo ponto de equilíbrio (x(t) = 0). A aceleração, por sua vez a(t) = dv dt = d2 x v(t) = ω x m sen(ωt + φ) a(t) = dv dt = d2 x = ω2 x m cos(ωt + φ) Apresentando o seguinte gráfico (para os mesmos parâmetros) Repare que em t = 0 temos que x(0) = x m = 1 e que v(0) = 0. Esta é outra característica do movimento. Quando o oscilador está em sua posição de afastamento máximo do seu ponto de equilíbrio, sua velocidade é zero e ele está prestes a voltar em direção ao ponto de equilíbrio. Para cada função velocidade em específica, temos determinados instantes em que Como esperado, a função aceleração de um MHS é deslocada da função velocidade (cosseno e seno) de π. A 2 aceleração é nula em tempos que a velocidade tem seu módulo máximo, ou seja, nos picos e valos da função velocidade. Ou ainda, quando a posição é máxima ou mínima (quando x(t) = x m ou x(t) = x m ), a aceleração é máxima. Observando a função aceleração, temos determinados instantes em que ficando com cos(ωt + φ) = 1 a(t) = ω 2 x m nos restando que assim sen(ωt + φ) = 1 v(t) = ω x m v m = ω x m a m = ω 2 x m a m = ω 2 x m que é a aceleração máxima do oscilador harmônico. Exercício: cap.15 Halliday v m = ω x m

3 ω 2 x m cos(ωt + φ) + k m x m cos(ωt + φ) = 0 x m cos(ωt + φ) ω 2 + k m = 0 ω 2 = k m Mecânica do MHS. Um sistema massa mola é um bom modelo de oscilação para estudo da mecânica do MHS. Tendo-se uma mola de constante elástica k presa a um bloco de massa m em um plano horizontal, o bloco é puxado até uma distância +x da origem (x = 0) e posto para oscilar. Neste ponto, neste instante é possível fazer a seguinte análise do movimento segundo as leis de Newton ω = k m Sabendo que Temos que ω = 2π T 2π T = k m T = 2π m k Exercício Cap. 15 Halliday A força F k é a força elástica é a força restauradora deste movimento pois mantém o movimento oscilatório. F x = m a x F k = m a x kx = m a x m a x kx = 0 m dv dt kx = 0 m d2 x kx = 0 + k m x = 0 Esta é a equação diferencial que determina a posição x do móvel ao longo do tempo. Uma equação diferencial não busca um valor numérico como uma solução, mas sim uma função. Neste caso, a solução deve ser a função posição que descreve o movimento oscilatório. Como já conhecemos a função posição, vamos verificar se realmente ela é solução da equação diferencial: Substituindo: = ω2 x m cos(ωt + φ) x = x m cos(ωt + φ) Pêndulo simples como um MHS. Podemos representar um pêndulo por meio de um MHS com a ressalva de algumas considerações. Observando um pêndulo simples em um estado de deslocamento angular θ temos: Neste movimento é a P x que assume o papel de força restauradora do movimento. Desenvolvendo P x = m a x m g sen(θ) = m a x g sen(θ) = a x O arco x descrito ao longo do movimento pode ser calculado por:

4 Então usamos Resultando em x = θ L θ = x L g sen x L = d2 x Pêndulo de Torção (Oscilador Harmônico Angular) O pendulo de torção é um tipo de sistema oscilatório que tem a torção de um eixo (geralmente ou fio ou uma corda) como responsável pela restauração do movimento. Para ângulos pequenos temos que sen(θ) = θ Logo g x L = d2 x Assim, temos mais uma equação diferencial do mesmo modelo g L x = 0 Que pode ser respondida por x(t) = x m cos(ωt + φ) Onde, para o pendulo simples temos Fonte: (HALLIDAY, RESNICK, KRANE) Logo sua ação restauradora é dada por τ = κθ Onde τ representa o torque aplicado (uma força aplicada a uma distância do centro de giro) e θ o ângulo de deslocamento. κ é a constante de torção (similar a constante elástica para compressão e extensão) e representa a resistência do sistema ao giro. As unidades relacionadas são: [τ] = N m [θ] = rad ω = g L tendo então o período dado por Assim [κ] = [τ] [θ] T = 2π L g Como θ = x, podemos trabalhar com a equação da L posição interpretada para o ângulo de abertura do pendulo, dado por x(t) L = x m cos(ωt + φ) L θ(t) = θ m cos (ωt + φ) Exercício. Cap.15 Halliday (não fazer a b) ainda) [κ] = N m rad = N m O período de um movimento deste tipo é dado por T = 2π I κ Onde I é o momento de inercia do oscilador. O momento de inércia I de um objeto está relacionado com sua geometria. Trabalharemos aqui somente com discos, onde I = 1 2 mr2 onde m é a massa do disco e r o seu raio

5 Energia em um MHS Um sistema em MHS é um sistema dito conservativo uma vez que a única força que atua é de caráter elástico. Esta força, por si, é determinada conservativa pois o trabalho realizado pela mesma em um ciclo que sai de um ponto e volta para o mesmo é igual a zero. Relembrando alguns conceitos: E mec = K + U Onde E mec é a energia mecânica, K é a energia cinética e U é a energia potencial do sistema. Temos que E mec = 1 2 k x m 2 = 1 2 mω2 x m 2 constante o que demonstra que o sistema é conservativo visto que sempre temos ΔE mec = 0 Lembrando que para pontos onde a velocidade é nula, temos que E mec = U. E quando a partícula oscilatória está no seu ponto de equilíbrio, em x = 0, temos E mec = K = 1 2 mv2. Em um gráfico, representando K(t) e U(t) juntos, temos: K = 1 2 mv2 E U = 1 2 kx2 Pois estamos lidando somente com forças elásticas. O detalhe importante aqui é que vimos no início do capítulo que x = x(t), ou seja, a posição x é uma função do tempo. Logo U = U(t) = 1 2 kx(t)2 = 1 2 k x m 2 cos 2 (ωt + φ) Repare que em qualquer instante t, temos que U + K = constante = E mec Exercício Tendo que v = v(t), ou seja, que a velocidade do oscilador também é uma função do tempo, temos que K = K(t) = 1 2 mv(t)2 = 1 2 mω2 2 x m sen 2 (ωt + φ) Sabendo que ω = k k = mω2 m temos que K(t) = 1 2 kx m 2 sen 2 (ωt + φ) Assim, temos que a energia mecânica do sistema E mec = K + U E mec = 1 2 k x m 2 cos 2 (ωt + φ) kx m 2 sen 2 (ωt + φ) E mec = 1 2 k x m 2 [cos 2 (ωt + φ) + sen 2 (ωt + φ)] Sabendo que cos 2 (α) + sen 2 (α) = 1, temos que Oscilador amortecido Um oscilador amortecido é um sistema de oscilação que aos poucos vai perdendo sua amplitude por ação de uma força não conservativa. Um exemplo válido disto é um sistema massa mola vertical em que a massa é colocada para oscilar dentro da água. A água atua como amortecedora do movimento aplicando uma força que é proporcional e contrária a velocidade do oscilador. F b = bv onde b é o fator de amortecimento do sistema oscilante. Logo [b] = kg s Na segunda lei de Newton temos: F x = m a x

6 (utilizando o eixo vertical como x) F k + F b = m a x kx bv = m a x k x b dx dt = m d2 x + b dx m dt + k m x = 0 que é a equação diferencial que representa o movimento oscilatório amortecido. A função posição x(t) deste movimento é a solução para a equação acima. Porém, temos três soluções possíveis para a equação diferencial acima devido ao caráter de amortecimento do sistema. 1. Amortecimento subcrítico 2. Amortecimento crítico 3. Amortecimento super-crítico Para este movimento temos que ω = k m b2 4m 2 Quando temos que k > b2 m 4m2 o resultado da raiz acima é real e o movimento é classificado como subcrítico, ou seja, a oscilação vai diminuindo sua amplitude exponencialmente, mas ainda apresentando as características de oscilação. A função posição para uma oscilação amortecida subcrítica é dada por b x(t) = x m e 2m t cos(ω t + φ) apresentando o seguinte gráfico: No livro tipler, esta equação é apresentada com A no lugar de x m. Temos então: b A(t) = A 0 e 2m t Onde A 0 é a amplitude inicial do movimento. Por definição de oscilações deste tipo temos τ = m b que representa o tempo de decaimento ou também conhecida como constante de tempo. Assim [τ] = s O fator de qualidade do amortecimento é calculado por Q = ω 0 τ Onde ω 0 é a frequência angular do movimento sem amortecimento. A relação entre ω e ω 0 é dada por ω b = ω 0 1 2mω 0 Como a amplitude do movimento amortecido vai diminuindo é esperado que haja uma perda de energia gradual. E = 1 2 mω2 x 2 m = 1 b 2 mω 2 x m0 e 2m t 2 Exercício Tipler Cap.14 = 1 2 mω 2 x 2 m0 e b m t E = E 0 e t τ 2 Para o caso das oscilações criticas temos que A amplitude deste movimento decresce segundo a seguinte equação b x m (t) = x m0 e 2m t k m = b2 4m 2 o que faz com que o resultado da raiz ω = k m b2 4m 2, seja zero, não deixando que exista frequência de oscilação. Quando temos uma oscilação supercrítica, temos

7 k m < b2 4m 2 o que faz com que o amortecimento seja mais forte que a força elástica que gera o movimento oscilatório. Em gráficos temos (Fonte: UFBA)