Curso de Complementos de Física
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- Marcos Marinho Castelhano
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1 Aula 2 Curso de Engenharia Civil Faculdade Campo Grande 27 de Agosto de 2015
2 Plano de Aula 1
3 Exemplo 1 Um bloco, preso firmemente a uma mola, oscila verticalmente uma frequência de 4 Hertz e uma amplitude de 7 centímetros. Uma bolinha é colocada em cima do bloco oscilante assim que chega ao ponto mais baixo de sua trajetória. Suponha que a massa da bolinha seja tão pequena que seu efeito sobre o movimento do bloco seja desprezível. Para qual deslocamento, a partir da posição de equilíbrio, a bolinha deve perder contato com um bloco?
4 Figura: Diagrama esquemático ilustrando o sistema do problema.
5
6 A aplicação da SLN a bolinha gera N = mg.
7 A aplicação da SLN a bolinha gera N = mg. No bloco, a a aplicação da SLN na direção y gera a igualdade N Mg + kx = 0.
8 A aplicação da SLN a bolinha gera N = mg. No bloco, a a aplicação da SLN na direção y gera a igualdade N Mg + kx = 0. (m + M)g = kx.
9 A aplicação da SLN a bolinha gera N = mg. No bloco, a a aplicação da SLN na direção y gera a igualdade N Mg + kx = 0. Como M m, M + m M, (m + M)g = kx. Mg = kx.
10 Por fim, resolve-se para x: x = Mg k.
11 Por fim, resolve-se para x: Determinação da constante k. x = Mg k.
12 Por fim, resolve-se para x: Determinação da constante k. x = Mg k. Como ω 2 = k M, k = ω2 M, e como ω = 2πf, então, x = Mg ω 2 M
13 Por fim, resolve-se para x: Determinação da constante k. x = Mg k. Como ω 2 = k M, k = ω2 M, e como ω = 2πf, então, x = Mg ω 2 M = g (2πf ) 2
14 = 9.8m/s2 [2π (4s 1 )] 2
15 = 9.8m/s2 [2π (4s 1 )] cm. Esse é o elongamento que a mola terá quando a bolinha perder contato com a massa.
16 = 9.8m/s2 [2π (4s 1 )] cm. Esse é o elongamento que a mola terá quando a bolinha perder contato com a massa. Em relação à posição mínima x = 7cm, a posição será na verdade y (7 1.55)cm = 5.45cm.
17 Exemplo 2 É frequente que especificações militares exigiam que instrumentos eletrônicos sejam capazes de suportar federações de até 10g. Para se certificar de que os produtos de sua companhia atendam a essa especificação, seu gerente o instrui a utilizar uma mesa vibratória que pode fazer comprar um produto com frequências e amplitudes ajustáveis e controladas. Se um equipamento é colocado sobre a mesa e posto a oscilar com amplitude de 1,5 centímetros, qual é a frequência que você deve estar para testar a concordância com as especificações militares?
18 Será necessário determinar a velocidade e aceleração de um movimento de oscilação simples.
19 Será necessário determinar a velocidade e aceleração de um movimento de oscilação simples. A velocidade é dada pela derivada da posição em relação ao tempo: v = dx dt = d dt [x m cos(ωt + φ)]
20 Será necessário determinar a velocidade e aceleração de um movimento de oscilação simples. A velocidade é dada pela derivada da posição em relação ao tempo: v = dx dt = d dt [x m cos(ωt + φ)] = x m [ sin(ωt + φ)]ω
21 Será necessário determinar a velocidade e aceleração de um movimento de oscilação simples. A velocidade é dada pela derivada da posição em relação ao tempo: v = dx dt = d dt [x m cos(ωt + φ)] = x m [ sin(ωt + φ)]ω = ωx m sin(ωt + φ).
22 Já a aceleração é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo:
23 Já a aceleração é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo: a = dv dt
24 Já a aceleração é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo: a = dv dt = d dt [ ωx m sin(ωt + φ)]
25 Já a aceleração é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo: a = dv dt = d dt [ ωx m sin(ωt + φ)] = [ ωx m cos(ωt + φ)]ω
26 Já a aceleração é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo: a = dv dt = d dt [ ωx m sin(ωt + φ)] = [ ωx m cos(ωt + φ)]ω = ω 2 x m cos(ωt + φ).
27 O valor máximo de aceleração valor máximo da função cosseno.
28 O valor máximo de aceleração valor máximo da função cosseno. a m = ω 2 x m.
29 O valor máximo de aceleração valor máximo da função cosseno. a m = ω 2 x m. Daí, basta relacionar ω e T e usar o valor de x m
30 O valor máximo de aceleração valor máximo da função cosseno. a m = ω 2 x m. Daí, basta relacionar ω e T e usar o valor de x m a m = 10g = ω 2 x m
31 O valor máximo de aceleração valor máximo da função cosseno. a m = ω 2 x m. Daí, basta relacionar ω e T e usar o valor de x m a m = 10g = ω 2 x m 10g = (2πf ) 2 x m
32 10g = (2πf ) 2 x m
33 10g = (2πf ) 2 x m (2πf ) 2 x m = 10g
34 10g = (2πf ) 2 x m (2πf ) 2 x m = 10g (2πf ) 2 = 10g x m
35 10g = (2πf ) 2 x m (2πf ) 2 x m = 10g (2πf ) 2 = 10g 2πf = x m 10g x m
36 10g f = x m 2π
37 10g f = x m 2π f = 10(9.8m/s 2 ) m 2π
38 10g f = x m 2π f = 10(9.8m/s 2 ) m 2π = s 1
39 10g f = x m 2π f = 10(9.8m/s 2 ) m 2π = s 1 = Hz.
40 Exemplo 3 Em t = 0, o deslocamento x(0) de um bloco de um oscilador linear como o da Figura 3 é -8.50cm. (Leia x(0) como x no instante 0). A velocidade do bloco é então m/s e sua aceleração é 47m/s 2. (a) Qual a frequência ω do sistema? (b) Qual a constante de fase φ? Figura: Diagrama esquemático do exemplo 3.
41 Será preciso estabelecer uma relação entre as quantidades.
42 Será preciso estabelecer uma relação entre as quantidades. Determinar a velocidade e a aceleração como função da posição.
43 Será preciso estabelecer uma relação entre as quantidades. Determinar a velocidade e a aceleração como função da posição. Aplicar em t = 0.
44 Será preciso estabelecer uma relação entre as quantidades. Determinar a velocidade e a aceleração como função da posição. Aplicar em t = 0. Resolver para ω e φ.
45 v = dx dt
46 v = dx dt Logo:
47 v = dx dt Logo: v = d dt [x m cos(ωt + φ)]
48 v = dx dt Logo: v = d dt [x m cos(ωt + φ)] d = x m [cos(ωt + φ)]. dt
49 v = dx dt Logo: v = d dt [x m cos(ωt + φ)] d = x m [cos(ωt + φ)]. dt Considerando que f = cos(ωt + φ), então f = y(x(t)).
50 v = dx dt Logo: v = d dt [x m cos(ωt + φ)] d = x m [cos(ωt + φ)]. dt Considerando que f = cos(ωt + φ), então f = y(x(t)). Sendo e y = cos(x), x(t) = ωt + φ
51 Derivada determinada pela regra da cadeia: df dt = dy dx dx dt
52 Derivada determinada pela regra da cadeia: No caso, df dt = dy dx dx dt [ ][ ] df d d dt = dx cos(x) (ωt + φ) dt
53 Derivada determinada pela regra da cadeia: No caso, df dt = dy dx dx dt [ ][ ] df d d dt = dx cos(x) (ωt + φ) dt = [ sin(x)](ω) Como x(t) = ωt + φ, d cos(ωt + φ) = sin(ωt + φ)ω dt
54 Derivada determinada pela regra da cadeia: No caso, df dt = dy dx dx dt [ ][ ] df d d dt = dx cos(x) (ωt + φ) dt = [ sin(x)](ω) Como x(t) = ωt + φ, d cos(ωt + φ) = sin(ωt + φ)ω dt v(t) = ωx m sin(ωt + φ).
55 Aplicando um raciocínio similar, a = dv dt
56 Aplicando um raciocínio similar, a = dv dt = ω 2 x m cos(ωt + φ). Daí, em t = 0, x(0) = x m, v(0) = ωx m e a(0) = ω 2 x m.
57 Logo, a(0) x(0) = ω2 x m x m
58 Logo, a(0) x(0) = ω2 x m x m a(0) x(0) = ω2
59 Logo, a(0) x(0) = ω2 x m x m a(0) x(0) = ω2 ω 2 = a(0) x(0)
60 Logo, a(0) x(0) = ω2 x m x m ω = a(0) x(0) = a(0) x(0) = ω2 ω 2 = a(0) x(0) 47.0m/s m = 23.5rad/s.
61 Exemplo 4 Fortes ventos são capazes de produzir oscilações em prédios altos ( movpereosc2.php, http: // Por exemplo, o Taipei 101 é um dos maiores prédios do mundo, e conta com amortecedor especialmente desenhado para absorver essas influências externas (veja a Figura??). Imagine que as oscilações durem 1s. Sabendo disso, determine o valor da constante das molas usadas no amortecedor, e qual deve ser a amplitude de oscilação do prédio todo, que tem uma massa total aproximada em toneladas.
62 Figura: Edifício Taipei 101 a esquerda, e a massa do amortecedor, estimada em torno de 728 toneladas.
63 Para resolver esse problema, será necessário fazer uma série de hipóteses e aproximações que vão simplificá-lo.
64 Para resolver esse problema, será necessário fazer uma série de hipóteses e aproximações que vão simplificá-lo. A primeira hipótese a ser feita é que o período da oscilação não seja afetado pelo uso do amortecedor
65 Para resolver esse problema, será necessário fazer uma série de hipóteses e aproximações que vão simplificá-lo. A primeira hipótese a ser feita é que o período da oscilação não seja afetado pelo uso do amortecedor M + m M T = 2π 2π k k = T.
66 Para resolver esse problema, será necessário fazer uma série de hipóteses e aproximações que vão simplificá-lo. A primeira hipótese a ser feita é que o período da oscilação não seja afetado pelo uso do amortecedor M + m M T = 2π 2π k k = T. Vejamos qual deve ser a constante das molas.
67 É de se esperar, visando manter o sistema estável, que seja utilizado na verdade um par de molas Figura: Diagrama esquemático do sistema simplificado.
68 Uma uma mola será equivalente a esse par de molas se, sujeita ao mesmo elongamento, produza a mesma força.
69 Uma uma mola será equivalente a esse par de molas se, sujeita ao mesmo elongamento, produza a mesma força. O elongamento sofrido por uma das molas tem que corresponder a compressão da outra.
70 A aplicação da SLN na massa produz a equação F Res = F 1 + F 2 = k 1 x + k 2 x.
71 A aplicação da SLN na massa produz a equação F Res = F 1 + F 2 = k 1 x + k 2 x. Como essa deve ser a força produzida pela mola equivalente: k 1 x + k 2 x = k eq x.
72 A aplicação da SLN na massa produz a equação F Res = F 1 + F 2 = k 1 x + k 2 x. Como essa deve ser a força produzida pela mola equivalente: k 1 x + k 2 x = k eq x. Conclui-se que k eq = k 1 + k 2.
73 A aplicação da SLN na massa produz a equação F Res = F 1 + F 2 = k 1 x + k 2 x. Como essa deve ser a força produzida pela mola equivalente: k 1 x + k 2 x = k eq x. Conclui-se que k eq = k 1 + k 2. Se as duas molas forem iguais, k 1 = k 2 = k k eq = 2k.
74 Então, esse é o plano: resolver o problema com a mola equivalente, e então dividi-la por 2 para obter a constante de cada uma dessas molas.
75 Então, esse é o plano: resolver o problema com a mola equivalente, e então dividi-la por 2 para obter a constante de cada uma dessas molas. Sendo assim, do período T = 1s, deduz-se k eq. Como ω = 2πf, segue que ω = 2π T, e daí, T = 2π ω = 2π M = 2π k k eq M ( ) M T 2 = 4π 2 k eq
76 T2 4π 2 = M k eq k eq ( T 2 ) = M ( 4π 2) k eq = 4π2 M T 2 = 4π2 ( kg ) (1s) 2 = N/m.
77 Logo, a constante de cada mola será k = k eq 2 = N/m.
78 Logo, a constante de cada mola será k = k eq 2 = N/m. Agora, vejamos a questão da oscilação do prédio.
79 A segunda hipótese que faremos será considerar que a força que o vento imprime ao prédio será transformada numa força interna do sistema pelo amortecedor.
80 A segunda hipótese que faremos será considerar que a força que o vento imprime ao prédio será transformada numa força interna do sistema pelo amortecedor. Sendo assim, a somatória das forças externas seria nula e portanto a posição do sistema de massa não seria alterada.
81 A segunda hipótese que faremos será considerar que a força que o vento imprime ao prédio será transformada numa força interna do sistema pelo amortecedor. Sendo assim, a somatória das forças externas seria nula e portanto a posição do sistema de massa não seria alterada. Desta forma, se o sistema de referência for centrado no sistema de massa do sistema, ele não será alterado, e permanecerá nulo após o deslocamento da massa amortecedora.
82
83 Se o centro de massa permanece em zero, então, x 1 M 1 + x 2 M 2 = 0.
84 Se o centro de massa permanece em zero, então, x 1 M 1 + x 2 M 2 = 0. Para determinar x 1, pesquisei na rede qual pode ser a força transmitida pelos ventos, que é da ordem de 22680N.
85 Se o centro de massa permanece em zero, então, x 1 M 1 + x 2 M 2 = 0. Para determinar x 1, pesquisei na rede qual pode ser a força transmitida pelos ventos, que é da ordem de 22680N. Se ela for transformada completamente em uma força interna, a mola deverá imprimir essa força ao amortecedor: F = k eq x 1.
86 Se o centro de massa permanece em zero, então, x 1 M 1 + x 2 M 2 = 0. Para determinar x 1, pesquisei na rede qual pode ser a força transmitida pelos ventos, que é da ordem de 22680N. Se ela for transformada completamente em uma força interna, a mola deverá imprimir essa força ao amortecedor: F = k eq x 1. Daí, a amplitude dessa oscilação será x 1 = F 22680N = k eq N/m = m.
87 Bom, mas sendo assim, a amplitude da oscilação do prédio será determinada pela equação do centro de massa: x 1 M 1 + x 2 M 2 = 0 x 2 M 2 = x 1 M 1 x 2 = x 1M 1 M 2 = m.
88 Bom, mas sendo assim, a amplitude da oscilação do prédio será determinada pela equação do centro de massa: Um resultado excelente! x 1 M 1 + x 2 M 2 = 0 x 2 M 2 = x 1 M 1 x 2 = x 1M 1 M 2 = m.
89 Bom, mas sendo assim, a amplitude da oscilação do prédio será determinada pela equação do centro de massa: Um resultado excelente! Mas, muito cuidado! x 1 M 1 + x 2 M 2 = 0 x 2 M 2 = x 1 M 1 x 2 = x 1M 1 M 2 = m.
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