Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 1

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1 Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 1 DEFINIÇÕES Vibração mecânica movimento de uma partícula ou de um corpo que oscila em torno de uma posição de equilíbrio. Período de vibração intervalo de tempo necessário para completar um ciclo de movimento. Frequência de vibração número de ciclos por unidade de tempo. Amplitude de vibração deslocamento máximo do sistema medido a partir da posição de eqilíbrio. Vibração livre o movimento mantém-se apenas devido às forças de restituição. Vibração forçada quando se aplica uma força variável no tempo. Vibrações não amortecidas quando se podem desprezar os efeitos do atrito. Vibrações amortecidas os efeitos do atrito não são desprezáveis.

2 Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 2 VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS (+) Repouso F = - kx x mx F = - kx x mx mx + kx = 0 Solução: x = C 1 x 1 + C 2 x 2 = C 1 sen k m t + C 2 cos k m t

3 Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 3 ω n = k m Frequência natural (circular) x = C 1 sen ω n t + C 2 cos ω n t ẍ + ω n 2 x = 0 v = x = C 1 ω n cos ω n t - C 2 ω n sen ω n t a = ẍ = - C 1 ω n 2 sen ω n t - ω n 2 C 2 cos ω n t C 2 O ω t ω t φ Q C t τ n OQ = X m x = X m sen (ω n t + φ ) v = x = X m ω n cos (ω n t + φ ) a = ẍ = - X m ω 2 n sen (ω n t + φ )

4 Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 4 Período = τ n = 2π ω n Frequência natural = f n = 1 τ n = ω n 2π X m V m = X m ω n A m = X m ω n

5 Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 5 PENDULO SIMPLES (SOLUÇÃO APROXIMADA) θ L T ma n m = ma t P Σ F t = ma t - P senθ = mlθ θ + g L senθ = 0 para pequenas oscilações senθ = θ, logo θ + g L θ = 0 Solução: θ = Ω sen (ω n t + φ) Período = τ n = 2π ω n = 2π L g

6 Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 6 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA T + V = Constante 1 2 m x k x2 = Constante x 2 + ω n 2 x 2 = Constante 1. O deslocamento do sistema é máximo: T 1 = 0; V 1 = V (X m ) 2. O sistema passa pela sua posição de equilíbrio: V 2 = 0; T 2 = T(V m )

7 Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 7 VIBRAÇÕES LIVRES AMORTECIDAS Amortecimento viscoso as forças de atrito são directamente proporcionais e opostas à velocidade F a = - cx x mx F r = - kx mx + cx + kx= 0 admitindo uma solução do tipo x = e st ms 2 + cs + k =0 s 1,2 = - c 2m ± ( c 2m )2 - k m define-se amortecimento crítico (c c ) como o valor de c que anula o radical: ( c c 2m )2 - k m = 0 c c = 2m k m = 2mω n

8 Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 8 1. Amortecimento sobre crítico (c > c c ) 2 raízes reais distintas x = C 1 e s1t + C 2 e s2t (movimento não vibratório) 2. Amortecimento crítico (c = c c ) 2 raízes iguais x = (C 1 + C 2 t ) e -ωt (movimento não vibratório) 3. Amortecimento subcrítico (c < c c ) raízes complexas x = e -(c/2m)t (C 1 sen ω a t + C 2 cos ω a t ) (vibratório) c ω a = ω n 1 - ( c ) 2 c frequência circular amortecida x 0 x 0 e -(c/2m)t t -x 0 e -(c/2m)t τ a x = X 0 e (c/2m)t sen (ω a t + φ ) ζ = c c c -factor de amortecimento

9 Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 9 DECREMENTO LOGARÍTMICO Considerando que os máximos da resposta se registam quando o termo harmónico (sen) é unitário: x i x = x 0 e -ζω Ta i i+j x 0 e -ζω Ta (i+j) ζω Ta j = e Para sistemas pouco amortecidos, em que ω ω a, a equação simplifica-se: x i x i+j = e ζ2 π j ln ( x i x i+j ) = 2πζ j 2πζ = 1 j ln (x i x i+j ) 2 π ζ decremento logarítmico x(t) x i x i+j t

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