Oscilações II. Estudo: Pêndulo Simples Oscilador Forçado Ressonância

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1 Oscilações II Estudo: Pêndulo Simples Oscilador Forçado Ressonância

2 Oscilações - Pêndulo Considere um corpo de massa m, presso a extremidade livre de um fio inextensível de comprimento L, como indicado na figura abaixo. Quando a massa é removida de seu ponto de equilíbrio, deslocando-a de forma ao fio fazer um ângulo θ com a vertical, o sistema irá oscilar após o corpo ser liberado. Uma análise das forças atuando sobre o corpo é apresentada na figura ao lado. O eixo x é a trajetória curva que a massa descreve e o y ao longo do fio. No caso do pêndulo, a força peso (P) é quem fará o papel da força restauradora, ocupada pela força elástica no sistema massa-mola.

3 Oscilações - Pêndulo Mais especificamente a componente x da força peso Aplicando a 2a Lei do Movimento na direção do movimento: A equação do movimento para o sistema massa-mola:

4 Oscilações - Pêndulo Isto significa que um pêndulo, em sua forma geral, não executa oscilações harmônicas simples, já que a sua força restauradora não é da forma: menos uma constante vezes o deslocamento e sim vezes o ângulo que o pêndulo faz com a horizontal, que não é uma grandeza linear. menos uma constante vezes o deslocamento e sim vezes o ângulo que o pêndulo faz com a horizontal, que não é uma grandeza linear. No entanto, para pequenas oscilações

5 Oscilações - Pêndulo E a força restauradora fica na forma O último termo é o deslocamento da massa de seu ponto de equilíbrio e se considerarmos o ângulo bem pequeno, o arco de circunferência formado pelo deslocamento da massa se aproxima a um deslocamento linear Nesta aproximação a força se torna semelhante a força elástica de uma mola

6 Oscilações - Pêndulo Retornando com esta aproximação para a equação do movimento Está equação agora é idêntica a do sistema massa-mola, amenos nas constante à frente da variável x, que será a nova frequência angular. com

7 Oscilações - Pêndulo Portanto, para pequenas oscilações (θ < 5 ), um pêndulo simples executa oscilações harmônicas simples. Em se tratando de um movimento oscilatório em um arco de circunferência, A oscilação pode ser escrita pelo ângulo do movimento:

8 Pêndulo Ex 1 Uma massa de 120g é presa a um fio de 45,0cm, fixada ao teto. Esta massa é posta para oscilar, em pequenas oscilações, com um movimento brusco impondo à massa uma velocidade inicial de 1,62cm/s. Determine: (a) o período de oscilação deste pêndulo; Dados: A frequência angular para o pêndulo

9 Pêndulo Ex 1 (b) o máximo deslocamento deste pêndulo: No instante inicial, t=0, o pêndulo recebe um impulso de 1,62cm/s (c) a fase deste movimento: Como em t = 0 com um movimento brusco impondo à massa uma velocidade inicial de 1,62cm/s Aplicando à equação da velocidade em t=0

10 Oscilador Amortecido Osciladores mecânicos não oscilam indefinidamente pois todos são, de alguma forma, amortecidos, parando após algum tempo. O oscilador abaixo representa um oscilador amortecido, onde o amortecimento está explicitado na palheta imersa em um recipiente com água. A força de amortecimento devido ao movimento da palheta no fluido, para pequenas velocidade pode ser aproximada pela equação: onde b é uma constante de amortecimento que depende da viscosidade do líquido e da forma da palheta. b possui unidades de quilogramas por segundo.

11 Oscilador Amortecido Aplicando a 2a Lei do Movimento: A solução desta equação tem a forma: onde a frequência angular será dada por

12 Oscilador Amortecido A figura abaixo mostra a evolução temporal para um oscilador fracamente amortecido. O movimento pode ser visto como um oscilador de amplitude com a amplitude reduzindo no tempo.

13 Ressonância Todo sistema sólido, seja ele um prédio, uma parede, uma estrutura metálica, uma ponte,, possui frequências naturais de vibração, tal como um oscilador massa-mola, onde e um Pêndulo Simples, onde ou expressões mais complexas como de uma membrana de um tambor ou a estrutura sólida de uma construção. Chamamos de oscilador forçado quando a estrutura é forçada, por um agente externo, a oscilar a uma frequência, geralmente, diferente da sua frequência natura.

14 Ressonância O gráfico a seguir apresenta a amplitude de oscilação em função da razão entre a frequência externa e a frequência natura do sistema. Na figura a frequência natura foi chamada de ωd (driving frequency)

15 Ressonância Ressonância pode ser um problema:

16 Ressonância Ou solução: