Movimento Harmônico Simples - III Relação entre o MHS e o MCU Oscilações amortecidas Oscilações Forçadas e Ressonância. Prof. Ettore Baldini-Neto

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1 Movimento Harmônico Simples - III Relação entre o MHS e o MCU Oscilações amortecidas Oscilações Forçadas e Ressonância Prof. Ettore Baldini-Neto

2 1610: Galileu, usando um telescópio recém construído, descobre as quatro principais luas de Júpiter. Após semanas de observação, cada lua parecia estar se movimento relativamente ao planeta com um movimento harmônico simples. Atualmente: Os dados colhidos por Galileu são mostrados a seguir.

3 O gráfico mostra o ângulo entre Júpiter e Calisto medidos sob o ponto de vista terrestre. O são os dados colhidos por Galileu e a curva verde, um ajuste aos dados -> MHS Calisto, na realidade, não descreve um MHS mas um MCU, pois sua velocidade linear é aproximadamente constante e sua órbita ao redor de Júpiter é quase circular

4 O que Galileu observou de fato foi a projeção deste MCU ao longo de uma reta no plano do movimento. Concluindo O movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular uniforme sobre o diâmetro do círculo no qual o movimento ocorre.

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7 Movimento harmônico amortecido Sabemos que o movimento de um sistema massa mola, ou de um pêndulo, ou de qualquer outro sistema que oscila é amortecido por forças de arrasto (no caso de fluidos), de atrito (no caso de contato entre superfícies). Forças de atrito ou arrasto são geralmente escritas como sendo proporcionais à velocidade dos sistemas nos quais atuam, ou seja, F=-bv onde b é uma constante de amortecimento que depende das dimensões do sistema e do fluido. No SI as dimensões de b são kg/s

8 kx ~F = m~a bv = m d2 x dt 2 m d2 x dt 2 + bdx dt d 2 x dt 2 + b m dx dt + + kx =0 k x =0 m d 2 x dt 2 + dx dt +!2 x =0 = b m! = r k m

9 d 2 x dt 2 + dx dt +!2 x =0 Esta é uma equação diferencial linear homogêna de segunda ordem com coeficientes constantes que com condições iniciais acerca da posição e velocidade do oscilador tem a seguinte solução: (Para saber mais veja o apêndice desta aula). x(t) =x m e b 2m t cos(! 0 t + )

10 x(t) =x m e b 2m t cos(! 0 t + )! 0 =! Note que se b=0 e (não há amortecimento e a solução que temos é a mesma do caso anterior x(t) =x m cos(!t + )

11 Supercrítico Subcrítico

12 Note que a amplitude decai com o tempo de acordo com a funçãoo exponencial. Vimos que a energia de um sistema sem amortecimento é dada por: E = 1 2 m!2 x 2 m No caso com amortecimento, como a amplitude decresce com o tempo, a energia do siste amortecido também decai de acordo com: E = 1 2 m!2 x 2 me t

13 Exemplo: Dado o seguinte sistema onde m=250g, k=85n/m e b=70g/s calcule: a) o per movimento; b) o tempo que leva para a amplitude cair pela metade; c) o tempo para que mecânica caia pela metade de seu valor inicial.

14 Oscilações Forçadas e Ressonância Uma pessoa em um balanço oscilando por si mesma pode ser considerada uma oscilação harmônica simples. Se alguém a empurrar periodicamente, no entanto, teremos uma situação forçada ou direcionada. Nestes casos, temos duas frequências angulares associadas: a frequência natural do sistema que é aquela com a qual ele oscilaria livremente,! 0 a frequência angular da força externa aplicada periodicamente,!

15 A equação diferencial associada ao caso forçado sem amortecimento, será uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. O princípio da superposição nos diz que a solução geral desta equação será a combinação da solução particular (para o caso não homogêneo) com a solução geral (do caso homogêneo, que representa as oscilações livres). d 2 x dt 2 +!2 0x = F (t) m

16 d 2 x dt 2 +!2 0x = F (t) m Quando F (t) =F 0 cos!t podemos mostrar que: x(t) = F 0 m(w 2 0 w 2 ) cos(!t + ) Note que: Quando! 0 =!! Ressonância

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18 No caso onde o amortecimento é também levado em conta, a equação diferencial é: d 2 x dt 2 + dx dt +!2 0x = F (t) A solução geral desta equação é: x(t) = F 0 m 1! 0 2! 2 +i! e i!t

19 Calculando o quadrado da amplitude chegamos à: x 2 m = F 2 0 m 2 1 [(! 2 0! 2 ) 2! 2 ] 19

20 Apêndice (Solução da EDO do oscilador amortecido) d 2 x dt 2 + dx dt +!2 x =0 = b m! = r k m Tentativa de solução: x(t) =e t dx dt = e t d 2 x dt 2 = 2 e t

21 Ficamos então com: 2 e t + e t +! 2 e t =0 ( 2 + +! 2 )e t =0 Resolvendo a equação característica (Báskara). = 2 ± r 2 4! 2 Quando 2 <! o amortecimento é chamado subcrítico A raiz quadrada será de um número negativo-> solução complexa

22 = 2 ± r 2 4! 2 ± = 2 ± i! 0 Solução geral:! 0 = r! x(t) =C 1 e +t + C 2 e t

23 Para escrever a solução em uma forma mais parecida com o que estudamos, podemos in fases nas constantes de tal forma que possamos reescreve-las em termos da amplitude x oscilação. C 1 = 1 2 x me i C 2 = 1 2 x me i Finalmente, depois de um pouco de álgebra escrevemos a solução geral do problema de amortecidas como: x(t) =x m e b 2m t cos(! 0 t + )