LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:42. Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

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1 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 03, às 7:4 Exercícios esolvidos de Física Básica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica, Doutor em Física pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Paraíba João Pessoa, Brasil Departamento de Física Baseados na SEXTA edição do Fundamentos de Física, Halliday, esnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: jgallas Contents 36 Correntes Alternadas 36. Questões Problemas e Exercícios: Três circuitos simples / O circuito LC série 3/ Potência em circuitos de corrente alternada 9/ O transformador 44/ Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para yahoo.com sem br no final... listaq3.tex jgallas Página de 0

2 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 03, às 7:4 36 Correntes Alternadas 36. Questões Q 36-. De que modo um fasor difere de um vetor? Sabemos, por exemplo, que fems, diferenças de potencial e correntes não são grandezas vetoriais. De que modo, então, se pode justificar construções como as da Fig. 36-6? A d.d.p., a fem e a corrente não são vetores e, portanto, não seguem as regras da soma vetorial. A utilização de fasores para descrever estas grandezas é útil em virtude da possibilidade da existência da diferença de fase entre a corrente e a tensão, a qual se traduz em efeitos físicos lembre-se, por exemplo, de que o fator de potência é dado por cos φ, onde φ é a diferença de fase entre a corrente e a fem. A direção do fasor não corresponde a nenhuma direção no espaço. Contudo, a projeção do fasor sobre um eixo possui a mesma fase de grandeza física a ele associada. Um diagrama de fasores é muito útil porque ele indica as relações de fase entre as grandezas representadas por estes fasores. Q Suponha, como enunciado na Seção 36-4, que um dado circuito seja mais indutivo que capacitivo, isto é, que X L > X C. a Isto significa, para uma freqüência angular fixa, que L é relativamente grande e C relativamente pequeno ou que L e C são relativamente grandes? b Para valores fixos de L e de C, significa que ω é relativamente grande ou relativamente pequeno? a X L > X C significa que ω LC >. Para um valor de ω fixo, o produto LC deve se relativamente grande. b Para L e C fixos, o valor de ω é que deve ser relativamente grande. 36. Problemas e Exercícios: 36.. Três circuitos simples / E 36-. Suponha que a Eq. 36- descreva a fem efetiva disponível na saida de um gerador de 60 Hz. Qual a freqüência angular ω correspondente? Como a companhia de energia elétrica estabelece essa freqüência? E 36-. Um capacitor de.5µ F está ligado, como na Fig. 36-4a, a um gerador de corrente alternada com E m 30 V. Qual será a amplitude da corrente alternada resultante se a freqüência da fem for a khz; b 8 khz? a Use o fato que I E/X c ωce. Portanto I ωce m πfce m 0.83 A. b Se f é 8 vezes maior, também o é a corrente: I A. E Um indutor de 50 mh está ligado, como na Fig. 36-5a, a um gerador de corrente alternada com E m 30 V. Qual será a amplitude da corrente alternada resultante se a freqüência da fem for a khz; b 8 khz? a A amplitude da corrente é dada pela Eq com ω πf, onde f khz: I L V L E m A. X L πfl b Para f 8 khz a reatância indutiva é 8 vezes maior e, portanto, I L A A. Observação: os números dados no final do livro estão errados. E Um resistor de 50Ω está ligado, como na Fig. 36-3a, a um gerador de corrente alternada com E m 30 V. Qual será a amplitude da corrente alternada resultante se a freqüência da fem for a khz; b 8 khz? As respostas dos itens a e b são idênticas pois para um resistor a corrente não depende da freqüência: I E m A jgallas Página de 0

3 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 03, às 7:4 E a Use X L ωl πfl para obter f X L πl π Hz. b Use X C ωc πfc para obter C πfx C π F 6.6 nf. c Como X L f enquanto que X C f, vemos que os novos valores serão: E a f X L X L Ω X C X L / Ω. πcx C π Hz 8.84 khz. b Dobrando-se a freqüência temos a reatância fica dividida por : E X C X C 6Ω. a Para que as reatâncias sejam as mesmas devemos ter X L X C ou, equivalentemente, ωl /ωc, ou seja ω / LC. Portanto, nesta situação encontramos f ω π ω π LC π Hz. b X L ωl 4 Ω e, obviamente X C X L. c Como a freqüência natural de oscilação é comparando f com f 0 vemos que ambas são idênticas. P A saída de um gerador de CA é dada por E E m sen ωt π/4, onde E m 30 V e ω 350 rad/s. A corrente é dada por it I sen ωt 3π/4, onde I 60 ma. a Quando, após t 0, a fem do gerador atinge pela primeira vez um máximo? b Quando, após t 0, a corrente atinge pela primeira vez um máximo? c O circuito contém apenas um elemento além do gerador. Ele é um capacitor, um indutor ou um resistor? Justifique sua resposta. d Qual é o valor da capacitância, da indutância ou da resistência, conforme seja o caso? a A fem atinge o máximo para ωt π/4 π/, ou seja, para t 3π 6.73 ms. 4ω b Analogamente, a corrente máximo ocorre quando ωt 3π/4 π/, ou seja, t 5π. ms. 4ω c Comparando os itens a e b vemos que a corrente está atrasada de π/ radianos em relação à fem, de modo que o elemento no circuito é certamente um indutor. d A amplitude I da corrente está relacionada com a amplitude V da voltagem através da relação V L IX L, onde X L ωl é a reatância indutiva. Como a diferença de fase é exatamente π/ radianos, temos certeza que existe apenas um elemento no circuito que, como determinado acima, é um indutor. Assim sendo, a diferença de potencial através de tal elemento deve coincidir com a amplitude do gerador de fem, ou seja, V l E. Portanto E IωL e P 36-. L E m Iω H. 350 f 0 π LC, jgallas Página 3 de 0

4 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 03, às 7: O circuito LC série 3/8 P a Calcule novamente todas as grandezas pedidas no Exemplo 36-3, pág. 98, supondo que o capacitor tenha sido retirado e todos os outros parâmetros tenham sido mantidos. b Desenhe em escala um diagrama de fasores semelhantes ao indicado na Fig. 36-6c para esta nova situação. b Diagrama de fasores: tan o. 60 a Supondo X C 0 e mantendo inalterados e X L temos Z + XL Ω, I E m Z A φ tan X L X C tan o. 60 b Diagrama de fasores: P a Calcule novamente todas as grandezas pedidas no Exemplo 36-3, pág. 98, para C 70 µf, os outros parâmetros sendo mantidos inalterados. b Desenhe em escala um diagrama de fasores semelhantes ao indicado na Fig. 36-6c para esta nova situação e compare os dois diagramas. a A reatância capacitiva é X C ωc πfc π Ω. A reatância indutiva continua sendo 86.7 Ω, enquanto que a nova impedância passa a ser Z + X L X C P a Calcule novamente todas as grandezas pedidas no Exemplo 36-3, pág. 98, supondo que o indutor tenha sido retirado e todos os outros parâmetros tenham sido mantidos. b Desenhe em escala um diagrama de fasores semelhantes ao indicado na Fig. 36-6c para esta nova situação. a Supondo X L 0 e mantendo inalterados e X C temos Z + XC Ω, I E m Z A φ tan X L X C Ω. A amplitude de corrente é I E m Z A. 67 Finalmente, o novo ângulo de fase é φ tan X L X C tan b As amplitudes de voltagem são 7 o. V I V, V L IX L V, V C IX C V. jgallas Página 4 de 0

5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 03, às 7:4 Observe que X L > X C, de modo que E m está à frente de I no diagrama de fasores mostrado aqui: P Da Fig. 36- vemos que as componentes da impedância são Z x e Z y X C X L. Portanto e Z Z x + Z y + X C X L tan φ Z y X L X C, Z x que coincidem com as Eqs e A resistência da bobina satifaz tan φ X L X C ωl /ωc, de onde se tira facilmente que ωl tan φ ωc [ tan 75 o π ] π P Ω. a A voltagem através do gerador é 36 Volts, por definição. b V I cos φ cos 9.4 o 7.3 V. c Considere o diagrama de fasores abaixo: P 36-8 A amplitude da voltagem através de um indutor num circuito LC pode ser maior do que a amplitude da fem do gerador? Considere um circuito LC em série com: E m 0 V; 0 Ω; L H e C µf. Determine a amplitude da voltagem através do indutor na ressonância. A amplitude da voltagem através do indutor num circuito LC em série é dada por V L IX L, com X L ωl. Na ressonância temos ω / LC e, portanto, X L L Ω. LC Na ressonância temos X L X C que, de acordo com a Eq. 36-3, nos fornece uma impedância Z e, conseqüentemente, Assim, temos P I E m Z E m A. V L IX L V. deste diagrama vemos facilmente que d Analogamente: e V C IX C sen φ sen 9.4 o 7.0 V. V L IX L sen φ sen 9.4 o 8.3 V. V + V C + V L V E m, de modo que a lei das malhas é satisfeita. P 36- Num circuito LC como o da Fig. 36-, 5 Ω, C 0 µf, L.0 H e E m 30 V. a Para que freqüência angular ω 0 a corrente terá seu valor máximo, como nas curvas de ressonância da Fig. 35-6? b Qual é este valor máximo? c Quais são as duas jgallas Página 5 de 0

6 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 03, às 7:4 freqüências angulares ω e ω para as quais a amplitude da corrente é igual à metade desse valor máximo? d Qual é a meia-largura fracional [ ω ω /ω 0 ] da curva de ressoância? a Para uma dada amplitude E M do gerador de fem, a amplitude I da corrente é I E m + ωl ωc. Para encontrar o valor máximo de I, resolveremos a equação di/dω 0, ou seja, di dω E [ m ωl ][ L + ] Z 3/ ωc ω 0. C O único fator que pode anular-se é ωl /ωc o que acontece para ω / LC. Para o circuito dado encontramos ω ω 0 LC 4 rad/s. b Para tal valor ressonância! a impedância é Z e o máximo da corrente é I E m A. c Queremos determinar os valores de ω para os quais I E m /, ou seja, para os quais E m + ωl ωc E m, ou seja, + ωl 4. ωc Desta equação obtemos ωl 3 ωc que, após extrairmos a raiz quadrada e multiplicarmos por ωc, fornece LC ω ± 3 C ω 0, onde ± indica os dois possíveis sinais da raiz quadrada. Como temos duas equações quadráticas, em princípio temos 4 raízes. Entretanto, somente admitimos raízes positivas o que nos fornece então duas soluções. A menor raiz é ω 3 C + 3C + 4LC LC 9 rad/s, enquanto que a maior raiz é ω + 3 C + 3C + 4LC 8 rad/s, LC d Com isto tudo, a meia-largura fracional pode agora ser facilmente determinada: P 36-3 ω ω ω 0 a O ângulo de fase é φ tan V L V C V tan V L V L / V L / tan.0 45 o b Como E m cos φ I, obtemos P E m cos φ I 30 cos 45o Ω. Como a impedância do voltímetro é elevada, ele não irá afetar a impedância do circuito quando ligado em paralelo em cada um dos casos. Portanto, a leitura será 00 Volts em todos três casos. P Mostre que a meia-largura fracional de uma curva de ressonância veja o Problema é dada aproximadamente por ω 3C ω 0 L, onde ω é a freqüência angular na ressonância e ω é a largura da curva de ressonância na metade da amplitude máxima. Note que ω/ω 0 diminui com, como mostra a Fig Use esta fórmula para conferir a resposta do Problema d. Usando ω e ω obtidos no Problema, determinamos que ω ω ω 3 C LC ω 0 ω 0 LC 3C L jgallas Página 6 de 0

7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 03, às 7:4 P 36-8*. O gerador de CA na Fig. 36- fornece 0 V rms a 60 Hz. Com a chave aberta, como no diagrama, a corrente está avançada de 0 o sobre a fem do gerador. Com a chave na posição, a corrente está atrasada de 0 o, sobre a fem do gerador. Quando a chave está na posição a corrente é de A rms. Determine os valores de, L e C. São pedidas três grandezas e são dadas três situações diferentes. A tarefa, portanto, consiste em usar as três posições da chave para obter um sistema com três equações e resolve-lo. Chave aberta: Temos um circuito série contendo, L e C, para o qual sabemos que tan φ V L V C ωl /ωc tan 0 o. Chave na posição : Neste caso continuamos a ter um circuito série, porém agora contendo um capacitor equivalente C eq C. Portanto tan φ ωl /ωc tan 0 o. Chave na posição : Neste caso o circuito é um oscilador LC, para o qual temos, conforme a Eq. 36-, I E m Z 0. 3 ωl + /ωc esolução das três equações: primeiras equações, vemos que tan φ tan φ Usando as duas ωc tan φ tan φ ωl. Tais expressões nos fornecem ωc tan φ tan φ A ωl tan φ tan φ B, onde introduzimos as abreviações A tan φ tan φ tan 0 o tan 0 o B tan φ tan φ tan 0 o tan 0o As expressões acima nos mostram que assim que conhecermos, conheceremos C e L também. Da equação 3 obtemos E m I Z A + B, expressão da qual tiramos facilmente: E m I A + B 46.7 Ω Tendo o valor, das expressões acima vemos que C L B ω ωa 60A???? B 60???? Falta revisar e terminar o cálculo dos números... : Potência em circuitos de corrente alternada 9/43 E Qual o valor máximo de uma voltagem, num circuito de CA, cujo valor médio quadrático é de 00 Volts? Da Eq vemos que Vmax Vrms 00 4 V. E Que corrente contínua produzirá, num certo resistor, uma quantidade de calor igual à produzida por uma corrente alternada cujo valor máximo é de.6 A. A potência média dissipada em por uma corrente alternada é dada pela Eq. 36-9: P méd Irms. Como I méd I/, onde I é a amplitude de corrente, podemos escrever, de acordo com a Eq , que P méd I /. A potência dissipada no mesmo resistor por uma corrente contínua i é P i e, conseqüentemente, igualando-se os dois valores da potência e resolvendo para i obtemos i I.6.84 A. jgallas Página 7 de 0

8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 03, às 7:4 E a Da Eq obtemos Z + X L X C. Ω. b Das Eqs e 36-3, temos: P méd E rms Z cos φ, que, usando relações da Seção 36-5, fornece Portanto, E cos φ Z P méd kw.. I rms E rms Z E rms + XL A. P Mostre matematicamente, em vez de graficamente como na Fig. 36-8b, que o valor médio de sen ωt φ sobre um número inteiro de ciclos é igual a /. O valor médio pedido é < sen > nt/ nt nt nt 0 nt sen ωt φdt cosωt φ dt 0 [ t ] nt 4ω senωt φ 0 sennωt φ + senφ. nωt Como nωt nωπ/ω nπ, é fácil ver que sennωt φ sennπ φ senφ, e que, portanto, sennωt φ + senφ 0, o que fornece, finalmente, < sen >. P Na Fig mostre que a taxa média com que a energia é dissipada na resistência é máxima quando r, onde r é a resistência interna do gerador de CA. Até o momento, tínhamos considerado tacitamente que r 0. Como P i Em, r + para minimizar P precisamos igualar dp /d a zero, ou seja, dp d E m[r + r + ] r + 4 E mr r + 3 0, o que fornece r. Nota: certifique-se que r realmente maximiza P, verificando que d P /d < 0. P A figura abaixo mostra um gerador de CA ligado a uma caixa-preta através de dois terminais. A caixa-preta contém um circuito LC, possivelmente até mesmo um circuito com muitas malhas, cujos elementos e ligações não conhecemos. Medidas realizadas pela parte externa da caixa revelam o seguinte resultado: Et 75 V sen ωt it. A sen ωt + 4 o. acalcule o fator de potência do circuito. b A corrente está atrasada ou adiantada em relação à fem? c No circuito da caixa-preta a predominância é indutiva ou capacitiva? d O circuito da caixa está em ressonância? e Deve haver um capacitor na caixa? um indutor? um resistor? f Qual é a potência que o gerador fornece para a caixa-preta? g Por que não se precisa saber o valor de ω para responder a todas estas questões? a φ 4 o, o que dá cos φ 0.743; b Como φ < 0, temos que ωt φ > ωt e, portanto, a corrente está na frente da fem; c tg φ X L X C / tg 4 o Portanto X C > X L, sendo o circuito predominantemente CAPACITIVO. d Em ressonância teríamos X L X C, implicando que tg φ 0, ou seja, que φ 0. Como φ 0, não existe ressonância; jgallas Página 8 de 0

9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 03, às 7:4 e Como o valor da tangente de φ é negativo e finito, temos X C 0 bem como 0, o valor de X L não precisa ser zero. Porém ele pode eventualmente ser zero. Se existir X L 0 então é necessário que X L < X C!! f P méd E mi cos φ E rms I rms cos φ Em I cos φ W. g É que as grandezas dependem de ω apenas através de φ, que é DADO. Se tivessem sido dados valores para, L, C então sim iríamos precisar ter ω para calcular o fator de potência O transformador 44/48 E Um gerador fornece 00 V ao enrolamento primário, com 50 espiras, de um transformador. Sabendo-se que o enrolamento secundário possui 500 espiras, qual a voltagem no secundário? Use V s N p V p N s para obter Ns 500 V s V p Volts. N p 50 E A Fig mostra um autotransformador. Ele é formado por uma única bobina com um núcleo de ferro. Três derivações são estabelecidas. Entre as derivações T e T existem 00 espiras e entre as derivações T e T 3 existem 800 espiras. Duas derivações quaisquer podem ser consideradas os terminais do primário e duas derivações quaisquer podem ser consideradas os terminais do secundário. Escreva todas as relações pelas quais a voltagem primária pode ser transformada numa voltagem secundária. Conexões que aumentam a voltagem: Usando T T como primário e T T 3 como secundário: V V 00. Usando T T como primário e T T 3 como secundário: V V Usando T T 3 como primário e T T 3 como secundário: V V Conexões que diminuem a voltagem: Intercambiamdo-se o primário e o secundário para cada um dos casos acima obtemos os seguintes fatores de transformação: /5 0.; /4 0.5; e 3 / E Um transformador possui 500 espiras no primário e 0 espiras no secundário. a Sabendo-se que V p é 0 V mrs, qual é o valors de V s, supondo o circuito aberto? b Ligando-se o secundário a uma carga resistiva de 5 Ω, quais serão as correntes no primário e no secundário? a b e Ns 0 V s V p 0.4 V. N p 500 I s V s.4 V 0.6 A. s 5 Ω Ns 0 I p I s A. N p 500 P Um gerador de CA fornece energia para uma carga resistiva numa fábrica longínqua através de uma linha de transmissão com dois cabos. Na fábrica, um transformador que reduz tensão diminui a voltagem rms da linha de transmissão do valor V t para um valor menor, seguro e conveniente para ser usado na fábrica. A resistência da linha de transmissão vale 0.30 Ω/cabo e a potência é 50 kw. Calcular a queda de voltagem ao longo da linha de transmissão e a taxa em que a energia é dissipada na linha como energia térmica quando a V t 80 kv, b V t 8 kv e c V t 0.8 kv. Comente a aceitabilidade de cada escolha. a A corrente rms no cabo é I rms P V t A queda rms de voltagem é A. V I rms V, jgallas Página 9 de 0

10 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 03, às 7:4 enquanto que a taxa de dissipação é P d I rms W. b Neste caso a corrente rms no cabo é I rms A. de modo qe a queda rms de voltagem é V V, e a taxa de dissipação é P d kw. c Agora a corrente rms no cabo é I rms A. de modo qe a queda rms de voltagem é V kv, e a taxa de dissipação é P d kw. Deste números fica claro que tanto a taxa de dissipação de energia quanto a queda de voltagem aumentam a medida que V t decresce. Portanto, para minimizar estes efeitos, a melhor escolha dentre as três oferecidas é usarse V t 80 kv. P Casamento de Impedâncias. Na Fig. 36-3, suponha que a caixa retangular da esquerda represente a saída de um amplificador de áudio alta impedância com r 000 Ω. Suponha que 0 Ω represente a bobina de um alto-falante baixa impedância. Sabemos que que a transferência máxima de energia para a carga ocorre quando r, mas isto não é verdadeiro neste caso. Entretanto, um transformador pode ser usado para transformar resistências, fazendo com que se comportem eletricamente como se fossem maiores ou menores do que realmente são. Projete as bobinas primária e secundária de um transformador que deve ser introduzido entre o amplificador e o altofalante, na Fig. 36-3, para que haja o casamento das impedâncias. Qual deve ser a razão entre os números de espiras? Temos que o amplificador é conectado no primário do transformador enquanto que o resitor é conectado no secundário. Sendo I s a corrente rms no secundário, temos que a potência média fornecida ao resistor é P med I s. Sabemos que I s N p /N s I p, onde N p e N s representam o número de voltas do primário e do secundário, respectivamente. I p representa a corrente rms no primário. Portanto P med Ip N p N s. Agora desejamos determinar a corrente no primário, que consiste de um gerador com duas resistências em série. Uma das resistências é a resitência r do amplificador, enquanto que a outra a resistência equivalente eq que representa o efeito do circuito secundário no circuito primário. Portanto, I p E/r + eq, onde E é a fem rms do amplificador. De acordo com a Eq , eq N p /N s, de modo que e I p P med E r + N p /N s E N p /N s [r + N p /N s ]. Desejamos encontrar o valor de N p /N s para o qual P med seja mínimo. Introduzindo uma variável auxiliar x N p /N s, temos de modo que P med dp med dx E x r + x. E r x r + x 3, que é zero para x r/ 000/0 00. Observe que para x pequeno, P med cresce linearmente com x e que para x grande P med decresce proporcionalmente a /x. Portanto x r/ é de fato um máximo, não um mínimo. Como x N p /N s, vemos que a potência máxima é alcançada para N p /N s 000, ou seja, quando N p N s 0. jgallas Página 0 de 0