LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:42. Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

Transcrição

1 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 203, às 7:42 Exercícios Resolvidos de Física Básica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica, Doutor em Física pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Paraíba (João Pessoa, Brasil Departamento de Física Baseados na SEXTA edição do Fundamentos de Física, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: jgallas Contents 35 Oscilações Eletromagnéticas uestões Problemas e Exercícios Oscilações LC: Estudo ualitativo (/ Analogia com o MHS (7/ Oscilações LC: Estudo uantitativo (9/ Oscilações Amortecidas num RLC (3/ Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para yahoo.com (sem br no final... (listaq3.tex jgallas Página de 7

2 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 203, às 7:42 35 Oscilações Eletromagnéticas Das igualdades U 2 LI2 2 2 /C temos 35. uestões I LC ( ( Por que o circuito LC da Fig. 35- não pára simplesmente de oscilar no instante em que o capacitor fica completamente descarregado? É que apesar de termos q 0, temos simultaneamente dq/dt 0. A situação, portanto, é análoga a de um pêndulo que passa por um extremo ou da energia potencial [quando x 0 ou x x max mas dx/dt 0] ou da energia cinética [quando v 0 ou v v max mas dv/dt 0]. As situações não correspondem a equilíbrios estáveis. Note a enfase na palavra extremo e que tal palavra implica mais coisas do que as acima rapidamente mencionadas A. E Um circuito LC consiste num indutor de 75 mh e num capacitor de 3.6 µf. Sabendo-se que a carga máxima do capacitor é de 2.9 µc, (a qual a energia total no circuito e (b qual é a corrente máxima? (a (b I U 2 2C ( J; 2U 2(.7 0 L A Problemas e Exercícios Oscilações LC: Estudo ualitativo (/6 E 35-. ual é a capacitância de um circuito LC, sabendo-se que a carga máxima do capacitor é.60 µc e a energia total é 40 µj? Use a fórmula U 2 /(2C para obter C 2 2U ( ( F. E Num circuito LC, um indutor de.50 mh armazena uma energia máxima de 0 µj. ual é o pico de corrente? Use U LI 2 /2 para obter I 2U 2(0.0 0 L A. E Num circuito LC oscilante L.0 mh e C 4.0 µf. A carga máxima do capacitor vale 3.0 µc. Determine a corrente máxima. E Para um certo circuito LC a energia total é transformada de energia elétrica no capacitor em energia magnética no indutor em.5 µs. (a ual é o período de oscilação? (b ual a freqüência de oscilação? (c Num certo instante, a energia magnética é máxima. uanto tempo depois será máxima novamente? (a T 4.50 µs 6.0 µs. (b f T ( Hz. (c Após meio período, ou seja 3.0 µs. P A freqüência de oscilação de um certo circuito LC é 2.00 khz (corrija o erro na tradução do livro-texto: em vez de 200 deve ser 2.00 khz. No instante t 0, a placa A do capacitor tem carga positiva máxima. Em quais instantes t > 0 (a a placa A terá novamente carga positiva máxima, (b a outra placa do capacitor terá carga positiva máxima e (c o indutor terá campo magnético máximo? Considerando-se a dinâmica mostrada na Fig. 35- e usando T Hz encontramos: (a A carga será máxima e positiva na placa A para t a nt n f n n (500 µs, 2000 onde n, 2, 3,.... (b Primeiramente, observe que é preciso esperar-se meio período para que a a carga atinja seu valor máximo positivo na outra placa pela primeira vez. Depois de jgallas Página 2 de 7

3 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 203, às 7:42 atingi-lo, ela volta a repetir-se a cada período que passa, ou seja, para t b T 2 + nt + 2n (2n + (2.5 µs, onde n 0,, 2,.... (c É necessário T/4 para que o campo magnético no indutor atinja seu valor máximo pela primeira vez, passando então a repetir-se a cada meio período: t c T 4 + nt 2 onde n 0,, 2,.... t b 2 (2n + (.25 µs, Analogia com o MHS (7/8 P Um bloco de 0.50 kg oscila preso a uma mola que, quando distendida de 2.0 mm, a partir do equilíbrio, tem uma força restauradora de 8.0 N. (a ual é a freqüência angular de oscilação? (b ual é o período de oscilação? (c ual será a capacitância do sistema LC análogo, se a indutância L valer 5.0 H? (a (b ω k m F/x m 8.0 ( ( rad/s. T 2π ω 2π s. (c Usando a definição de ω (LC, temos C ω 2 L (89 2 ( F. P Um circuito LC com um indutor de.25 H possui uma energia de 5.7 µj. A carga máxima armazenada no capacitor é igual a 75 µc. Determine (a a massa, (b a constante da mola, (c o deslocamento máximo e (d a velocidade escalar máxima para o sistema mecânico an alogo. (a Como a massa m corresponde a indutância L, temos m.25 Kg. (b Temos k /C. Como C 2 /(2U F, segue que k /C 372 N/m. (c O deslocamento máximo x m corresponde à carga máxima, de modo que x m m. (d A velocidade máxima v m corresponde à corrente máxima. A corrente máxima é Portanto I ω LC (.25( A. v m m/s. Alternativamente, podemos também usar a equação U B LI 2 /2, para obter 2UB I L, que fornece o mesmo resultado numérico acima Oscilações LC: Estudo uantitativo (9/30 E Os osciladores LC são usados em circuitos ligados a alto-falantes para criar alguns sons da música eletrônica. ue indutância deve ser usada com um capacitor de 6.7 µf para produzir uma freqüência de 0 khz, aproximadamente o meio da faixa audível? Use f (2π LC para obter L E π 2 f 2 C 4π 2 ( ( H. Use f (2π LC para obter C E π 2 f 2 L 4π 2 ( ( F. Num circuito LC com L 50 mh e C 4 µf, a corrente é inicialmente máxima. uanto tempo depois o capacitor estará com carga plena pela primeira vez? jgallas Página 3 de 7

4 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 203, às 7:42 Sendo T o período de oscilação do circuito, o tempo solicitado será t T/4. O período é dado por T 2π/ω 2π LC, onde ω é a freqüência angular de oscilação, L é a indutância, e C é a capacitância. Portanto E t T 4 2π LC 4 2π (0.05( s. Com a chave S fechada e as outras abertas, o que temos é um circuito RC com constante de tempo τ C RC. uando S 2 é fechada e as outras são abertas o capacitor estará fora do circuito e o que sobra é um circuito RL com constante de tempo τ L L/R. uando S 3 está fechada e as outras estão abertas o resistor está fora do circuito e o que sobra é um circuito que oscila com período T 2π LC. Substituindo-se L Rτ L e C τ C /R obtemos facilmente que T 2π τ C τ L. E Deduza a equação diferencial de um circuito LC (Eq. 35-0, usando a leis das malhas. Aplicando a lei das malhas a um circuito LC encontramos E total E L + E C L di dt + q C 0. Como i dq/dt e, portanto, di/dt d 2 q/dt 2, vemos que a igualdade mais à direita fornece a equação pedida: E L d2 q dt 2 + q C 0. Aplicando a lei das malhas a todo o circuito temos E total E L + E C + E R +... k k ( ELk + E Ck + E Rk ( L k di dt + q C k + ir k onde L k L k, L di dt + q + ir 0, C C k C k, R k R k. De fato, a associação mostrada na Fig. 35-a é equivalente a da Fig. 35-b. P (a Após ser movida para a posição b temos um circuito LC cuja freqüência angular é ω / LC e a freqüência é f ω 2π 2π LC 2π ( ( π 275 Hz. (b No instante do fechamento da chave a corrente é zero, sendo que o capacitor está carregado com uma tensão V 34 V. Portanto a carga máxima no capacitor é V C C. A amplitude da corrente é, conseqüentemente, P I ω 2πf 2π(275( A. (a Em qualquer instante, a energia total U no circuito é a soma da energia U E no campo elétrico do capacitor e a energia U B no campo magnético do indutor. uando U E 0.5 U B, temos U B 2 U E e U U E + U B 3 U E. A energia U E é dada por q 2 /(2C, onde q é a carga no capacitor e C é a capacitância. A energia total U é dada por 2 /(2C, onde é a carga máxima no capacitor, de modo que 2 /(2C 3 q 2 /(2C ou seja q / (b Se o capacitor está totalmente carregado para t 0 então sua carga é data por q(t cos(ωt onde ω é a freqüência da oscilação. A condição q é satisfeita quando cos(ωt 0.577, ou seja, para ωt radianos. Como ω 2π/T, onde T é o período de oscilação, t T/(2π 0.52 T. jgallas Página 4 de 7

5 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 203, às 7:42 P (a Como sabemos que f /(2π LC, quanto menor C, maior será f. Portanto, f max /(2π LC min, e f min /(2π LC max, fornecendo f max Cmax 365 Cmin f min 0 (b ueremos escolher a capacitância C adicional de modo que a razão das freqüencias seja r.60 MHz 0.54 MHz Como a capacitância C adicional é colocada em paralelo ao capacitor variável, sua capacitância soma-se à da capacitância de sintonia, ou seja cuja solução é C C , C 365 (2.962 (0 ( pf. Para termos a menor freqüência devemos usar C pf e f 0.54MHz. Portanto P (a L (2π 2 C f H. U U E + U B q2 2C + i2 L 2 ( ( ( ( J. (b A carga máxima pode ser obtida do valor total da energia, assim: 2CU 2( ( Coulombs. (c Analogamente, a corrente máxima I tanbém é obtida do valor total da energia: 2U 2( I L Ampères. (d Chamando-se de q 0 a carga no capacitor em t 0, temos q 0 cos φ e φ cos ( q 0 cos ( ±46.9 o. Para φ o a carga no capacitor está decrescendo, enquanto que para φ 46.9 o ela está crescendo. Verifica-se isto calculando-se a derivada de q em relação ao tempo e computando-a para t 0. Obtem-se ω sen φ. ueremos que esta quantidade seja positiva o que nos leva a escolher φ 46.9 o, pois então sen( 46.9 o < 0. (e Neste caso a derivada deve ser negativa. Portanto devemos tomar φ o. P (a A carga é dada por q(t sen(ωt, onde é a carga máxima no capacitor e ω é a freqüência da oscilação. Escolheu-se a função seno para que tenhamos q 0 no instante t 0. Assim sendo, a corrente é i(t dq dt ω cos(ωt e para t 0 temos I ω. Como ω / LC, encontramos I LC 2 (3 0 3 ( Coulombs. (b A energia armazenada no capacitor é e sua taxa de variação é U E q2 2C 2 sen 2 (ωt 2C du E dt 2 ω sen(ωt cos(ωt. C Usando a identidade cos(a sen(a 2 sen(2a obtemos du E ω2 dt 2C sen(2ωt. jgallas Página 5 de 7

6 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 203, às 7:42 A maior variação ocorre quando sen(2ωt, ou seja, para 2ωt π/2 radianos, resultado que nos fornece t π 4ω πt 4(2π T 8, onde T é o período da oscilação, e usamos o fato que ω 2π/T. (c Substitua ω 2π/T e sen(2ωt na expressão de du e /dt obtendo assim: ( due 2π2 dt max 2T C π2 T C. Como T 2π LC s, encontramos ( due 66.7 Watts, dt max um valor positivo, indicando que a energia no capacitor está realmente aumentando para t T/8. P A energia originalmente no capacitor de 900 µf é 2 C 900V 2 2 ( ( J. A energia necessária para se carregar o capacitor de 00 µf a 300 V é 2 C 00V 2 2 ( ( J. Portanto, vemos que a energia originalmente no capacitor de 900 µf deve ser transferida para o capacitor de 00 µf, o que se pode fazer facilmente armazenando-a temporariamente no indutor. Para tanto, deixe a chave S aberta e feche a chave S 2, esperando até que o capacitor de 900 µf esteja completamente descarregado, com a corrente na malha à direita sendo então máxima. Tal máximo ocorre num quarto do período de oscilação. Como T 900 2π LC s, precisamos poratnto esperar (0.596/ segundos. Neste instante, feche S e abra S 2 de modo que a corrente esteja agora na malha à esquerda. Espere agora um quarto do período de oscilação do circuito LC à esquerda e abra a chave S. Tal período é T 00 2π LC s, indicando ser preciso manter-se S fechada durante (0.99/ segundos antes de abri-la novamente Oscilações Amortecidas num RLC (3/36 E O tempo necessário para 50 ciclos é t 50 T 50 2π ω 50 2π LC s. A carga máxima no capacitor decai de acordo com q max e Rt/(2L, onde é a carga em t 0 e R é a resistência do circuito. Portanto R 2L ( t ln qmax 2( ln ( Ω. P Como a energia máxima no capacitor em cada ciclo é dada por qmax/(2c, 2 onde q max é a carga máxima carga a C é a capacitância, deseja-se o instante de tempo para o qual q 2 max 2 2C 2 2C, o que significa que q max / 2. Como temos que q max e Rt/(2L, onde R é a resistência e L a indutância do circuito. Resolvendo-se para t obtemos t 2L ( R ln qmax 2L ( R ln 2 L ln 2, R onde usamos o fato que ln(/ 2 ln 2 2 ln 2. P Num circuito LC amortecido, mostre que a fração da energia perdida por ciclo de oscilação, U/U, é dada jgallas Página 6 de 7

7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 0 de Junho de 203, às 7:42 com boa aproximação por 2πR/(ωL. A grandeza ωl/r é freqüentemente denominada de fator de qualidade do circuito (, por ser a letra inicial da palavra qualidade. Um circuito de alto possui resistência baixa e uma perda relativa também baixa de energia por ciclo ( 2π/. Seja t um instante de tempo no qual o capacitor esteja carregado completamente num ciclo qualquer e seja q max a carga então no capacitor. A energia no capacitor neste mesmo instante é U(t q2 max 2C 2 2C e Rt/L, onde usamos o fato que q max e Rt/(2L, sendo a carga para t 0. Um ciclo mais tarde a carga máxima é e a energia é R(t+T /(2L q max 2 e U(t + T q2 max 2 2C 2 2C e R(t+T /L, onde T é o período da oscilação. A perda fracional da energia por ciclo é, portanto, U U U(t + T U(t U(t e Rt/L R(t+T /L e e Rt/L e RT/L. Supondo ser RT/L (a resistência é pequena e usando o teorema binomial [ expansão da exponencial, apêndice G, pag. 334] encontramos facilmente que e RT/L RT L. Substituindo-se T por 2π/ω, onde ω é a freqüência angular da oscilação, temos U U ( RT RT L L 2πR ωl. jgallas Página 7 de 7