Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada. Curso de Física Geral F328 1 o semestre, 2008

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1 Oscilações Eletromagnéticas e orrente Alternada urso de Física Geral F38 o semestre, 008

2 Oscilações Introdução os dois tipos de circuito estudados até agora ( e ), vimos que a carga, a corrente e a diferença de potencial crescem ou decrescem exponencialmente. Agora vamos estudar o circuito formado pela terceira combinação destes elementos, ou seja, o circuito. eremos que, neste caso, estas grandezas não variam exponencialmente com o tempo, mas sim senoidalmente (com um determinado período T e uma freqüência angular 0 ). As oscilações de carga e corrente resultam em oscilações do campo elétrico do capacitor e do campo magnético do indutor, a que chamamos oscilações eletromagnéticas. a figura abaixo estão representados oito estágios em um único ciclo de oscilação de um circuito sem resistência. upomos que inicialmente a carga q do capacitor tem o seu valor máximo Q e a corrente i que atravessa o indutor é nula.

3 Oscilações

4 (simulação dos estágios)

5 A Analogia Eletromecânica cte i q B E E B B E cte mv kx c p p c c p Do ponto de vista formal, um circuito é análogo a um oscilador harmônico simples, que pode se representado por um sistema massa-mola:

6 A Analogia Eletromecânica o sistema massa-mola, a energia total é, em qualquer instante: c p, onde c é a energia cinética do bloco em movimento e p é a energia potencial da mola comprimida ou distendida. e não houver atrito, permanece constante, isto é: d d ( mv kx ) 0 d x k m x 0, () cuja solução é: x X m cos( 0 t )

7 A Analogia Eletromecânica A freqüência angular das oscilações é dada por: 0 k m ara o caso do oscilador, em qualquer instante a energia oscilante é dada por: q B E i o caso (como este) de não haver resistência no circuito, temos: d d i q 0 d q q 0 ()

8 A Analogia Eletromecânica Fazendo as seguintes correspondências : q x e lembrando que v k i v m, dx a solução da equação () é: q( t) Qcos( 0t ), freqüência natural das oscilações eletromagnéticas e é uma constante de fase. A corrente no circuito é: dq i 0 Qsen ( 0 t ) I sen ( 0 t ) As constantes Q e são determinadas pelas condições iniciais i(0) e q (0). i dq onde Q é a amplitude das oscilações da carga, 0 é a e,

9 Energias Elétrica e Magnética t é: B A energia elétrica armazenada no capacitor em qualquer instante E q Q cos ( t ) A energia magnética armazenada no indutor é, por sua vez: i 0 Q sen Então, a soma E B 0 Q ( 0 t ) sen ( 0 t ), pois 0 Q permanece constante.

10 Oscilações Amortecidas om um um resistor no circuito, a energia eletromagnética total do sistema (soma da energia elétrica com a energia magnética) não é mais constante, pois diminui com o tempo na medida em que é transformada em energia térmica no resistor d q i e i, ou: d ( 0) i di. Então: q dq i dq d q dq omo i q 0 (3)

11 Oscilações Amortecidas A solução geral desta equação para o caso de amortecimento fraco 4 é: q( t) Q e max t cos( t ), onde 0. Quando 0 ou seja, aproxima-se da freqüência angular natural do sistema. É importante notar que agora as oscilações são amortecidas, pois a amplitude de decai exponencialmente com o tempo: q(t)

12 Exemplo m circuito série possui indutância = mh, capacitância =,6 F, e resistência =,5. a) em que instante t a amplitude das oscilações da carga no circuito será 50% do seu valor original? Queremos que: Q b) quantas oscilações foram completadas neste intervalo de tempo? O tempo para uma oscilação completa é o período T. este caso, como, 0. Ou seja: nt max e t t 0,5Qmax n t t 0 ou ln 0,5 n, daí:.0 t ln 0,5 t 0, 0s 0,0 3 x,

13 Oscilações forçadas orrente alternada As oscilações de um circuito não serão totalmente amortecidas se um dispositivo de fem externo fornecer energia suficiente para compensar a energia térmica dissipada no resistor. ormalmente este dispositivo é um gerador de corrente alternada com fem do tipo: ( t) msen ( t), onde é a chamada freqüência angular propulsora. Quando uma fem como esta é ligada a um circuito, dizemos que as oscilações da carga, da tensão e da corrente são oscilações forçadas. eremos que, qualquer que seja a freqüência angular natural 0 de um circuito, estas oscilações ocorrem sempre na freqüência angular propulsora. Mostramos aqui a solução para a corrente: i( t) I sen( t ) onde I é a amplitude da corrente no circuito e é a diferença de fase entre a tensão e a corrente. oltaremos a isso mais adiante.

14 m ircuito esistivo este caso, temos apenas um resistor ligado ao gerador de fem alternada e v m sen( t) sen( t) Escrevemos a corrente i no resistor como: v i sen( t) e escrevermos a corrente na forma i I sen( t ), então temos: I e 0. ortanto, a corrente e a tensão (ddp) estão em fase no resistor. A relação entre as amplitudes da corrente e da tensão (ddp) no resistor é: I

15 m ircuito apacitivo este caso, temos um capacitor ligado ao gerador de fem alternada. Temos: v sen( t) sen( t) Mas: i dq q v i sen( t) m cos( t) sen( t ) Introduzindo a reatância capacitiva X, escrevemos: i sen( t ) I sen( t ) X Então e as amplitudes da tensão e da corrente estão relacionadas por: I X (vemos que a corrente está adiantada de em relação à tensão). e como

16 m ircuito Indutivo Agora o circuito consta de um indutor ligado à fonte de fem alternada. Temos: v sen( t) sen( t) di ou sen ( t) di sen( t) i sen( t) m cos( t) Introduzindo a reatância indutiva X, temos: i sen( t ) I sen( t ) X Então e as amplitudes da tensão e da corrente estão relacionadas por: I (vemos que a corrente está atrasada de relação à tensão ) X em

17 (imulação dos três circuitos simples)

18 O ircuito érie A fem aplicada é: m sen( t) A corrente transiente é nula; a corrente permanente é dada por: i( t) I sen( t ) Devemos determinar I e em função das grandezas,,, m e. A corrente tem o mesmo valor em todos os elementos e é representada por um único fasor (vetor girante) no diagrama. ara qualquer t : v v egue que o fasor m deve ser a soma vetorial dos fasores, e. Do diagrama, vemos que: m v I IX IX m ou

19 Daí achamos o valor de I : onde Z é a impedância do circuito para a freqüência de excitação. Também a constante de fase pode ser encontrada do diagrama dos fasores: X X tan essonância I m ( ) m Z otamos que se, ou seja :, a amplitude I da corrente é máxima (condição de ressonância). Então, ocorre a ressonância quando a freqüência propulsora coincide com a freqüência angular natural do circuito: 0.,

20 O ircuito érie

21 otência em ircuitos de orrente Alternada otência da fonte: i m sen( t) I sen( t ) I sen ( t)cos I sen( t)cos( t m m ) sen omo nos interessa a potência média num ciclo (de período T ): T med I cos m sen ( t) mi cos T 0 m I Definindo rms e I rms, vem: med rmsirms cos, onde o termo cos é chamado fator de potência. A potência dissipada no resistor é: med rmsirms cos I rms rms Irms, pois cos Z Z ara a máxima transferência de potência, devemos ter cos (ou 0 ). estas condições,, que é a condição de ressonância.

22 Transformadores A taxa média de dissipação numa carga resistiva é: rms Irms or razões de segurança, tanto na estação geradora quanto na extremidade receptora, é conveniente lidar com baixas voltagens. Já na transmissão, é conveniente lidar com baixas correntes. m transformador é um dispositivo usado para aumentar ou diminuir a ddp em um cicuito A, de modo a manter constante o produto xi.

23 Transformadores Transformador ideal a) aberta: O enrolamento primário é um indutor puro; não há transferência de potência do gerador para o transformador. O fluxo atravessa os dois enrolamentos e a fem induzida por espira é a mesma nos dois: B esp d B (relação entre tensões) ontrolando-se e, pode-se elevar ou baixar a tensão do primário.

24 b) Fechando-se, há transferência de potência do gerador para a carga (representada aqui apenas por uma carga resistiva ). ara um transformador ideal com carga resistiva o fator de potência é igual a ; a taxa com que o gerador fornece energia ao enrolamento primário é e, analogamente, a energia é transferida do enrolamento primário ao secundário com taxa. or conservação de energia: I I I I I que é a relação de transformação de correntes. Finalmente, lembrando que, I vem:, I I o que mostra que, do ponto de vista do primário, a resistência equivalente da carga não é e sim eq I I

25 Exemplo um circuito série, = 00 f = 60Hz e = 36. m a) Determine a impedância do circuito 00 86,7 77 Z ( X X ) 9, =5 F, = 30 mh, b) Determine a amplitude e a fase da corrente X X I m 0,64 A; arc tan 0,4 rad Z c) alcule o fator de potência 00 cos cos( 0,4) 0,9 ou cos 0, 9 Z 9 d) Determine a potência média dissipada no resistor ou med rms I med I 0,6 x 00,69W e) O circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo? omo X ( 0), o circuito é predominantemente capacitivo. X rms rms cos 5,5 x0,6 x0,9,69w X X f86,7 77 f