Circuitos oscilantes e corrente alternada (CA)

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1 Circuitos oscilantes e corrente alternada (CA) Os circuitos que veremos a seguir serão compostos dos seguintes elementos: Resistores: Nos resistores R a tensão V R aplicada sobre ele e a corrente I que o atravessa estão relacionadas pela Lei de Ohm V R R.I. Quando em um circuito, pela convenção de sinais para a aplicação da Lei de Kirchhoff, ao ser atravessado na mesma direção que a corrente, a variação no potencial é negativa, e positiva se atravessado no sentido oposto da corrente. Quando atravessado por esta corrente o resistor dissipa energia com potência dada pela relação PR.I. Capacitores: Nos capacitores, a constante de proporcionalidade entre a carga acumulada Q e a tensão V C sobre ele é a capacitância C, ou seja, QC.V C. Quando em um circuito, pela convenção de sinais para a aplicação da Lei de Kirchhoff, ao ser atravessado na mesma direção que a corrente, a variação no potencial é negativa, e positiva se atravessado no sentido oposto da corrente. A corrente I que o atravessa é dada pela taxa de variação temporal da carga, IdQ/dt. Indutores: Indutores quando atravessados por uma corrente elétrica I reagem à sua passagem gerando uma tensão V L proporcional à variação temporal da corrente, e a constante de proporcionalidade é a indutância L, V L -L.dI/dt. Quando em um circuito, pela convenção de sinais para a aplicação da Lei de Kirchhoff, ao ser atravessado na mesma direção que a corrente, a variação no potencial é negativa, e positiva se atravessado no sentido oposto da corrente e a queda de potencial é V L L.dI/dt. Fonte de tensão alternada: Fornece uma tensão que varia no tempo de maneira regular (periódica). Em nossos circuitos esta variação será harmônica, da forma ε ε 0.cos(ωt+δ). ε 0 é a amplitude da tensão oscilante, ω é a frequência angular, relacionada com a frequência f pela relação ω2πf e δ é o ângulo de fase, determinado pelas condições iniciais. Quando em um circuito, pela convenção de sinais para a aplicação da Lei de Kirchhoff, ao ser atravessada na direção do polo positivo para o negativo, a variação no potencial é negativa, e positiva se atravessada no sentido do polo negativo para o positivo, independente da direção da corrente. Circuito LC O circuito LC consiste de um capacitor C e um indutor L ligados em paralelo. Como não possui uma fonte externa de alimentação, se quisermos estudar a evolução temporal das tensões e correntes no circuito alguma energia deve ser introduzida previamente como, por exemplo, conectando ao circuito um capacitor previamente carregado com carga Q 0.

2 Nestas condições a carga no capacitor fluirá para o indutor num circuito de malha única. Assim, a tensão sobre o capacitor (V C ) e a tensão sobre o indutor (V L ) serão as mesmas, assim como a corrente que os atravessa. Aplicando a Lei das Malhas ao circuito temos: 0 0 A solução desta equação diferencial é a corrente que circula no circuito. Podemos resolver esta equação de maneira simples procurando uma expressão geral para a corrente que satisfaça a equação, substituí-la na equação e determinar as constantes. Se observarmos com cuidado vemos que a função que representa a corrente tem que apresentar a propriedade de ter a sua derivada segunda proporcional ao negativo dela mesma para satisfazer a equação. Funções senoidais têm essa propriedade. Uma solução possível seria: () () Aqui cabe um questionamento: Porque o ângulo de fase é nulo? Porque seno e não cosseno? Qualquer valor para ao ângulo de fase irá satisfazer a equação (teste adiante), inclusive 90 que é a diferença de fase entre uma função seno e cosseno. Como iniciamos nosso circuito com a carga no capacitor, a corrente será inicialmente nula e crescente num primeiro momento fazendo com que a função seno com ângulo de fase nulo seja a escolha mais conveniente. Continuando temos cos () sen () que substituído na equação diferencial nos dá: sen() sen()0 e para termos a equação satisfeita para quaisquer valores de t e 2

3 e ainda, como na descarga, I-dQ/dt # # () Q " () " () cos() LCcos() LC () cos() Q +Q cos() (+ & 2 ) () () cos() () ( cos()) cos() cos () Podemos agora visualizar algumas características importantes do circuito LC: O circuito é um oscilador harmônico elétrico, com frequência natural de oscilação ω 0 (LC) ½. A corrente no circuito está defasada (adiantada) de 90 em relação à tensão. Energia no circuito LC. Podemos facilmente calcular a energia potencial acumulada no capacitor e no indutor ao longo do tempo. A energia no capacitor se acumula no campo elétrico e será: e no indutor A energia total no circuito será * ,- () *. 2 2 () 2 () */ 2,- ()0+ 2 ()2 2 Que é a energia inicial do circuito. Desta forma vemos que nenhum dos elementos do circuito dissipam energia e assim a oscilação se mantém indefinidamente. 3

4 Circuito RLC Se agora introduzimos um resistor no nosso circuito oscilante termos o chamado circuito RLC e soma das quedas de potencial ao longo do circuito dá: , +4 0 Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem e se quisermos usar o método de propor uma solução geral para resolvermos a equação devemos ter um pouco mais de cuidado. Como no circuito LC a energia oscilará entre os dois componentes (se temos novamente uma carga inicial no capacitor). Com a introdução do resistor temos agora um elemento dissipador de energia. Desta forma, a amplitude da corrente deve decrescer ao longo do tempo. Proporemos então uma solução da forma ()( 67# )() com t0 no início da descarga do capacitor. Vejamos se esta corrente será solução da equação diferencial do circuito. Temos então que ( 67# )cos() ( 8 67# )() ( 67# ) sen() ( 8 67# )cos() ( 8 67# ),-()+ ( 8 67# )() Substituindo estas expressões na equação diferencial temos ( 67# ) sen() ( 8 67# )cos() ( 8 67# ),-()+ ( 8 67# )() + 4 9( 67# )cos() ( 8 67# )(): ( 67# )()0 sen() 8cos() 8,-()+ 8 ()+ 4 ()0 cos() 48 () ;8 48 <()+; <cos()0 Para que esta equação seja válida para qualquer tempo t, os coeficientes devem ser nulos: 4

5 28 4 α ? 8 Com solução possível (ω real) e não singular quando /LCR 2 /4L 2 ou R<2(L/C) ½. Esta é a condição de amortecimento fraco (pouca resistência). Nestas condições temos então circulando no circuito uma corrente oscilante com amplitude decaindo exponencialmente. Com a solução proposta 67# a tensão no capacitor será então: 67# () " 8 ( 8 cos ) ( 8 cos ) 67# 67# ( 8 cos ) 67# ( 8 cos ) e a razão α/ωd é a medida do amortecimento. Menores valores de α/ωd significam mais oscilações enquanto a tensão decresce. A figura ao lado mostra o comportamento da corrente num circuito RLC fracamente amortecido. Obviamente, o circuito pode ser construído com valores de R, L e C tais que /LC R 2 /4L 2. Para estas combinações de valores uma solução oscilante com decaimento exponencial proposta não deve ser solução, e de fato não é. 5

6 Se R2(L/C) ½, temos a condição de amortecimento forte. Nesta condição a corrente no circuito decai monotônicamente, sem oscilaçãoo e, portanto, uma diferente solução deve ser tentada (vide tabela abaixo). A figura ao lado mostra o comportamento da corrente num circuito RLC fortemente amortecido. Se R2(L/C) ½, temos a condição de amortecimento crítico. Também nesta condição a corrente no circuito decai monotônicamente, sem oscilação, mas de forma mais intensa do que no caso do amortecimento forte. O amortecimento crítico é a condição em que a energia é dissipada de maneira mais eficiente. Novamente, uma nova solução deve ser tentada. A figura ao lado mostra o comportamento da corrente num circuito RLC criticamente amortecido. As soluções que satisfazem a equação diferencial nestas diferentes condições são as seguintes: 4@ 4 4B A 8 ()( 67# )( ) A8 ()( 67# )C( ) - ()D E F# 67# G Amorteciment o fraco Amorteciment o forte Amorteciment o crítico Um ponto deve ser destacado neste momento. Se existem outras soluções possíveis para a equação diferencial resolvida, e neste caso de fato existem, a solução geral para o problema é a soma destas soluções. Métodos mais avançados para solução de equações diferenciais permitem encontrar a solução mais geral, mas fogem do escopo deste texto e não serão aqui utilizados. Quando aplicados nos dão as soluções: Para o amortecimento fraco: ( ()H 67# cos H 6

7 que pela aplicação de relações trigonométricas pode ser reescrita como Para o amortecimento crítico: E para o amortecimento forte: ()H I 67# ( +J) ()K 67# +K 67# ()L 6(7MA6N O P )# +L 6(76A6N O P )# Exercícios: ) Mostre que as três soluções apresentadas logo acima são soluções da equação diferencial que descreve o circuito RCL série. 2) Encontre a expressão para a corrente em cada um dos elementos de um circuito RCL paralelo. 7