Circuitos CA e Caos. Notas de aula: LabFlex:

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1 Física Experimental IV FAP214 Notas de aula: LabFlex: Aula 1, Experiência 1 Circuitos CA e Caos Prof. Henrique Barbosa hbarbosa@if.usp.br Ramal: 6647 Ed. Basílio Jafet, sala 100

2 Objetivos Estudar circuitos elétricos em corrente alternada com a finalidade de explorar fenômenos caóticos Aprender algumas técnicas avançadas de processamento de sinais e análise de dados 5 aulas Noções de CA, filtro RC e circuito integrador Análise de Fourier unidimensional Ressonância de um circuito RLC simples Funções caóticas: mapa logístico Caos em circuito RLD

3 Tensões e Correntes Alternadas Tensão alternada: qualquer tensão que varia no tempo Na prática trabalhamos com tensões harmônicas simples Veremos no lab4 que qualquer tensão dependente do tempo é uma superposição de tensões harmônicas simples

4 ( Série de Fourier ) ( ) Uma série de Fourier decompõe uma função periódica em uma simples soma de senos e cossenos (ou exponenciais complexas). Joseph Fourier introduziu estas séries infinitas para resolver a equação de transferência de calor em uma placa de metal. Não havia solução geral, apenas particulares para fonte de calor senoidal. A idéia de Fourier foi modelar uma fonte de calor complicada como uma superposição (ou combinação linear) de simples senos ou cossenos.

5 Tensões Harmônicas Simples Aquelas descritas por uma função harmônica simples de freqüência bem definida, ou seja: V ( t) V ( ω t + ) P ω 2πf VPP 2V p cos φ 0 V V P é a tensão máxima ou tensão de pico ou amplitude, ω é a freqüência angular e φ 0 é a fase da tensão alternada no instante t0 T ef 1 f VP 2

6 T A fase Em um circuito de corrente alternada a tensão e corrente não necessariamente estão em fase: Amplitude Período T 1/f defasagem i(t) i sin( ωt) 0 tensão corrente V ( t) V ( ω t + ) P sin φ 0 φ 2π T T ω T 0 1/2 Τ T 3/2Τ Tempo V(t) X i(t)

7 Potência Instantânea Instantaneamente: P( t) V ( t) i( t) P ( t ) VP i0 sin( ω t +φ)sin( ωt) Depende da fase entre corrente e tensão e pode ser negativa! Potência positiva é aquela consumida Potência negativa é aquela fornecida

8 Exemplo 1: Resistor Ôhmico Em um resistor ôhmico simples, a relação entre tensão e corrente é: V R P i i( t) i V ( t) i P P cte cos( ωt) R i( t) Ri P cos( ωt) V(t) X i(t) A fase entre tensão e corrente é nula

9 Exemplo 1: Resistor Ôhmico A potência instantânea é: P(t) V (t) i(t) R i 2 0 cos 2 ( ωt) > 0, sempre Período T 1/f Amplitude tensão corrente potência sem defasagem 0 1/2 Τ T 3/2Τ Tempo A potência varia no tempo, mas é sempre positiva o que significa que o resistor sempre consome potência

10 Exemplo 2: Capacitor Ideal Em um capacitor ideal, a capacitância é dada pela razão entre carga acumulada e tensão elétrica, ou seja: q( t) C V ( t) V ( t) q( t) C Além disso, carga e corrente estão relacionados ( t) q(t) i d dt Portanto: ( t) q V ( t) VP cos( ωt) C i( t) ωcv sin( ωt) ωcv p A fase não é nula! p cos( ωt π / 2)

11 Exemplo 2: Capacitor Ideal a corrente está adiantada de π/2 em relação à tensão aplicada ao capacitor (Atenção: a defasagem de π/2 é entre a corrente e a tensão diretamente sobre o capacitor e não quaisquer outras).

12 Exemplo 2: Capacitor Ideal A potência em um capacitor pode ser escrita como: P(t) V (t) i(t) 2 P(t) i 0 ωc cos( ωt)cos ωt π 2 Em circuitos de corrente alternada, muitos elementos possuem fases não nulas entre corrente e tensão. Nestes casos, o formalismo trigonométrico torna-se bastante complexo e inconveniente.

13 Números Complexos C ˆ a + b j j 1 2 C a + b 2 C ˆ C e j α α e j cos α + j sen α tg α b a d dt ( jωt ) j t e jω e jωt e dt 1 e jω jωt ω Integrais e derivadas nesta notação são apenas multiplicações e divisões

14 Formalismo Complexo Este formalismo é construído de tal forma a facilitar todos os cálculos que envolvem tensões alternadas Vamos definir as tensões e correntes complexas como sendo: j( ωt+ φ0 ) V ˆ( t) V0e V( t) Re( Vˆ( t) ) iˆ( t) i 0 e j( ωt+ φ ) 1 i( t) ( i t) ) i cos( ωt + φ ) Re ˆ( V 0 0 cos( ωt + φ ) 1 0

15 Impedância Complexa e Real A impedância complexa de um elemento X é definida como sendo a razão entre a tensão e corrente complexas neste elemento, ou seja: Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) Usando a definição das tensões e correntes complexas, deduzimos que: Zˆ V e j 0 j t i0e ( ωt+ φ ) ( ω + φ ) 1 0 V 0 i 0 e j φ 0 φ 1 ( ) j φ Z 0 e A impedância NÃO varia com o tempo. É uma grandeza característica do elemento X Z 0 é a impedância REAL do elemento X φé a diferença de fase entre a tensão e corrente causada pelo elemento X

16 Resistência e Reatância Da definição de impedância complexa: ˆ Z Z 0 e jφ Podemos escrever também que: ˆ Z Z 0 cos φ ( )+ jz 0 sin φ ( ) Define-se resistência (R) de um bipolo como sendo: R Z 0 cos φ ( ) E reatância deste bipolo(x) X Z 0 sin φ ( )

17 Porque usar este formalismo? As grandes vantagens deste formalismo são: Operações envolvendo tensão e corrente são simples Multiplicações e divisões de exponenciais Associações de bipolos tornam-se simples Como resistores comuns, mas realizadas com grandezas complexas ^ Z 1 ^ Z 2 Z ^ Z ˆ Z ˆ 1 + Z ˆ 2 ^ Z 1 1 ^ Z^ ˆ Z 2 Z 1ˆ + Z 1 1ˆ Z 2

18 Aplicação para o Resistor Seja uma tensão e corrente complexas, temos: V(t) Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) i(t) Mas sabemos que R V/i, ou seja, a corrente e tensão estão sempre em fase. Assim: R ˆ Z Z 0 e jφ R Z 0 R φ 0 Por conta disto que resistores Ôhmicos são muito utilizados em laboratório para medir correntes

19 Aplicação para o Capacitor Sabemos que (do começo da aula) V (t) 1 C i(t)dt Se a corrente complexa for dada por: ˆ i (t) i 0 e jωt Fica fácil demonstrar que Vˆ ( t) j i C ω 0 e jωt A impedância de um capacitor vale: Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) j ωc i 0e jωt i 0 e jωt j ωc V(t) C i(t)

20 Aplicação para o Capacitor Ou seja Z ˆ j ωc Mas lembrando que: ˆ Z Z 0 cos φ ( )+ jz 0 sin φ ( ) Comparando as duas expressões temos que: Z 0 1 ωc φ π 2 Conclui-se naturalmente que a tensão elétrica está defasada de /2 em relação à corrente

21 Esta Aula: Filtros e Circuitos Especiais Seja um quadripolo qualquer: Sinal de entrada V e Sinal de saída V s Como um se relaciona ao outro?

22 Esta Aula: Filtros e Circuitos Especiais Impedância de entrada, saída e ganho Zˆ e Vˆ i ˆe Zˆ Gˆ s Vˆ iˆs s Vˆ V ˆs e vamos ver como, com uma única tomada de dados, podemos explorar vários aspectos diferentes deste circuito.

23 Filtro RC Seja o filtro RC ao lado: Supondo que a corrente de saída seja praticamente nula (i s ~ 0) ˆ V Z C ˆ C V ˆ S i ˆ ˆ V ˆ C i S Z ˆ C i ˆ Da mesma forma, podemos obter que: V ˆ e Z ˆ total i ˆ ( Z ˆ R + Z ˆ C ) i ˆ E o ganho no circuito é dado por: Z ˆ C i ˆ G ˆ V ˆ S V ˆ e ( Z ˆ R + Z ˆ C ) i ˆ ˆ Z C ( ˆ Z R + ˆ Z C ) j ωc (R j ωc )

24 Filtro RC O Ganho Como calcular o ganho, através da expressão? Dividindo por j/ωc: ˆ G 1 1+ jωrc ˆ G j ωc (R j ωc ) Definimos a freqüência de corte (ω C ) como sendo: ω C 1 RC O ganho fica: ˆ G 1 1+ j ω ω C

25 Filtro RC O Ganho Usando a notação complexa: G ˆ G e jφ G 0 O ganho real e a defasagem ficam: Para obter G*, simplesmente troque todos os ( j ) por ( -j ) φ G arctan Im G ˆ Re G ˆ [ ] [ ] G 0 G ˆ * G ˆ Fazendo a conta: G ω ω C 2 φ G arctan ω ω C

26 O que estamos filtrando? G 0 GG ˆ ˆ ω 1+ 2 ωc 1 2 ω R 2 C 2 Portanto, o ganho real do filtro RC, depende da freqüência da tensão alternada a que ele está submetido. No caso em que essa freqüência é baixa: ω<<ω C, o termo (ω 2 /ω C2 ) fica muito pequeno se comparado à unidade e o ganho é praticamente igual a 1, i.e., tensão de saída é praticamente igual à tensão de entrada. No caso em que ω>>ω C, o termo (ω 2 /ω C2 )fica muito grandeeo ganhovaiazero,i.e.,parafreqüênciasaltasatensãodesaídaé muitomenorqueatensãodeentrada.

27 Resumo do Filtro O Ganho é: G ˆ V ˆ S G V ˆ 0 e jφ G e O circuito Sendo: 1 R e C podem ser ω C medidos e há RC G 0 V 0 S V 1 0 e 1+ ω ω C Tensões são medidas com osciloscópio valores nominais 2 A freqüência também φ G ω T S e arctan ω ω C Intervalo de tempo entre duas tensões também é mensurável

28 Circuito Integrador Sabemos que: G ˆ V ˆ S G V ˆ 0 e jφ G e Com: G 0 1 φ G arctan ω 1+ ω / ω ω C ( ) 2 C Circuito especial Se ω>> ω c, então: G 0 1 ( ω / ω ) 2 C ω C ω φ G tan 1 ( ) π 2 Ou seja: G ˆ 1 π j ωrc e 2 1 jωrc

29 Circuito Integrador Então: G ˆ V ˆ S V ˆ e 1 jωrc Ou ainda: ˆ V S 1 jωrc Lembrando que: V ˆ e V e e jωt V ˆ e E que: V ˆ e dt 1 jω V ee jωt 1 ˆ jω V e Temos que: V ˆ S 1 RC ˆ V e dt No limite que ω >> ω c, G 0 0 e o circuito acima funciona como integrador da tensão de entrada

30 Para esta aula Vamos estudar o filtro RC: Objetivos: Obter experimentalmente o ganho (G 0 e Φ G ) em função da freqüência (ω) e comparar com a previsão teórica Para isto é preciso conhecer R e C. Não confiar nos valores nominais

31 Osciloscópio gatilho (trigger) acoplamento AC, DC ou terra menu interativo 300V A ponta de prova tem atenuador que pode ser alterado (muda também a impedância) referência 5V terra canal 1 canal 2 varredura (horizontal)

32 Gerador de audio IMPORTANTE! RESISTOR CAPACITOR Duty cycle ADJust 50% 25% Frequency ADJust Amplitude ADJust intervalo de frequências Executa parâmetro atenuador

33 Cuidados Experimentais Instrumentos de medida: Osciloscópio Canal 1: -i R -V R /R é a corrente no circuito Canal 2: V X Cuidado com ruídos Estimar incertezas na tensão e corrente a partir do nível de ruído CH1 CH2 Terra Ligação do osciloscópio com centro em terra. Para correta medida de fase é necessário inverter uma das medidas (ou subtrair π, da diferença de fase medida).

34 Cuidados Experimentais Montagem experimental: Cuidado, ao montar o circuito para as medidas do integrador, vocês terão que ler a tensão de entrada e de saída, i.e., no gerador de áudio e no capacitor... Portanto o terra fica posicionado de maneira diferente! CH1 CH2 Terra

35 Capacitor: objetivos para esta semana Montar o circuito ao lado: Medir a tensão e a corrente sobre o capacitor A tensão de pico e a corrente de pico Com esses dados fazer o gráfico de Z 0 (reatância capacitiva) em função da freqüência e extrair o valor experimental da capacitância CH1CH2 Medir a defasagem entre tensão e corrente no capacitor em função da freqüência e comparar com a previsão teórica. V c

36 Filtro RC: objetivos para esta semana Vamos estudar o filtro RC: Objetivos: Obter experimentalmente o ganho (G 0 e Φ G ) em função da freqüência (ω) e comparar com previsão teórica Para isto preciso conhecer R e C. Não confiar nos valores nominais

37 Circuito Integrador: objetivos Para freqüências tais que ω>>ω c, mostrar que: V ˆ S 1 RC ˆ V e dt Utilizando o gerador de tensões com ONDA QUADRADA Medir V S e V e Tirar foto do osciloscópio e entregar como atividade E também: Mostrar que V S corresponde à integral de V e : Mostar que V S é um triângulo Mostrar que a inclinação deste triângulo é compatível com a integral acima.

38 Circuito Integrador: objetivos Determine também para qual intervalo de freqüências o seu circuito é um bom integrador. Justifique. Procure comparar os seus resultados com os do resto da sala.

39 Circuito RC: resumo dos objetivos da semana Após montar o circuito, para estimar ω c a partir dos valores nominais, Medir freqüências em um intervalo pelo menos 1 ordem de grandeza menor que ω c até 1-2 ordens de grandeza maior que ω c. USAR ONDAS SENOIDAIS Para cada valor de freqüência medir: Ve (tensão de pico na entrada) V R (tensão de pico no resistor) V C V s (tensão de pico no capacitor) Intervalo de tempo entre Ve e V C Intervalo de tempo entre V R e V C

40 circuito RC: resumo dos objetivos da semana Com base nos dados anteriores entregar: Gráfico de Z C experimental em função de ω lembre-se que ZTensão/corrente Z 1/ωC Obter o valor da capacitância deste gráfico Gráfico de φ C (fase do capacitor) em função de ω Comparar com o esperado teoricamente para o capacitor Gráfico de G 0 em função de ω Comparar com o esperado teoricamente Gráfico de φ G (fase entre V s e V e ) em função de ω Comparar com o esperado teoricamente

41 Circuito Integrador: resumo dos objetivos Para freqüências tais que ω>>ω c, mostrar que: V ˆ S 1 RC ˆ V e dt Ve: ONDA QUADRADA Medir V S e V e Tirar foto do osciloscópio e entregar como atividade Mostrar que V S corresponde à integral de V e : Mostar que V S é um triângulo Mostrar que a inclinação deste triângulo é compatível com a expressão acima. Determine também para qual intervalo de freqüências o seu circuito é um bom integrador.

42 FIM