Instituto de Física - USP FGE Laboratório de Física III - LabFlex

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1 Instituto de Física - USP FGE013 - Laboratório de Física III - LabFlex Aula 14 - (Exp 3.3) - Oscilador magnético forçado amortecido Manfredo H. Tabacniks Alexandre Suaide novembro 007 M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

2 Oscilações magnéticas amortecidas Aula passada - 3.: Oscilador Harmônico (amortecido) Determinamos B local usando uma bobina de Helmholtz perpendicular ao B local, graficando (tg x i). Determinamos µ/i de uma bússola através de oscilações livres em campo Β uniforme. Calculamos I e determinamos µ, o momento de dipolo de uma bússola. Com a bússola calibrada medimos o campo magnético externo. Aula 3.3 Oscilador Magnético Harmônico Amortecido > Sintonizar a freqüência de oscilação (amortecida) da bússola num campo Β 1 uniforme, com um segundo campo externo B = B o cos ωt. > Estudar a dependência da freqüência de ressonância ω com B 1. > Estudar o fator de qualidade Q, do oscilador. M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

3 Oscilações magnéticas amortecidas Uma bússola num campo magnético oscila com freqüência constante. M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

4 B B cosωt = 0 perturbativo B1 constante e uniforme M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

5 Oscilações magnéticas amortecidas B1 constante e uniforme Cuidado com o B local B = B 0 cosωt M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

6 Oscilações magnéticas livres r τ τ 1 = = r τ r F = τ= iab B sen b ia B sen τ Ni ab B sen N = ( ) B F r 4 F r 1 F r 3 a i Definindo o momento magnético: r = µ Niab n r B r F r b b F r 1 i F r 3 n r B r r τ = N i ab r n r podemos escrever r τ r = µ B r cuja energia potencial magnética vale r r U ( ) = µ B M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

7 Oscilações magnéticas livres Definindo o momento magnético: r = µ r τ r = µ Niab n r B r F r 4 F r 1 F r 3 a i B r F r b b F r 1 i F r 3 n r B r Energia potencial magnética r r U ( ) = µ B µ r U ( π ) = µ B cos π = + µ B Deslocar um momento magnético de sua posição de equilíbrio cria torque restaurador µ r U (0) = µ B cos 0 = µ B M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

8 Oscilações magnéticas livres Um imã (uma bússola) pode ser modelado como um momento magnético (com momento de inércia) num campo magnético r τ r = µ B r Energia potencial magnética r r U ( ) = µ B τ r µ r B r Deslocar um momento magnético de sua posição de equilíbrio cria torque restaurador A bússola oscila em torno da posição de equilíbrio sen τ µ.b. M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

9 Oscilações magnéticas livres µ B = I d dt momento de inércia da agulha da bússola ( ω ϕ) = cos 0 0t+ τ r µ r B r Deslocar um momento magnético de sua posição de equilíbrio cria torque restaurador τ µ.b. ω 0 = µ B I...mas existe atrito, a oscilação é amortecida! M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

10 Oscilações magnéticas amortecidas Existe atrito na bussola que faz com que o movimento seja amortecido Atrito com o ar Atrito da agulha com o pino de suporte Se o coeficiente de atrito for pequeno podemos escrever que o torque é proporcional à velocidade angular d τ atrito = γ dt NORTE S N µ SUL M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

11 Oscilações magnéticas amortecidas I d dt d + γ + µ B dt = 0 momento de inércia da agulha da bússola atrito viscoso torque restaurador Solução genérica ( t) = 0 e ( a+ ωi) t M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

12 Oscilações magnéticas amortecidas d calculando dt Solução genérica ( t) = 0 e ( a+ ωi ) t d dt = d dt 0 e ( a+ ωi) t ( a+ ωi) t = ( a+ ωi) 0e ( a i) = +ω calculando d dt d ( ) dt = a+ ωi M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

13 Oscilações magnéticas amortecidas I d dt d + γ + µ B dt = 0 d = ( a+ ωi) dt d ( ) dt = a+ ωi I a i a i B ( + ω ) + γ ( + ω ) + µ = 0 I a i a i B ( + ω ) + γ ( + ω ) + µ = 0 Solução genérica ( t) = 0 e ( a+ ω i) t a = γ µ γ ω = B I I 4I = ω 0 a M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

14 Oscilações da bússola amortecida Assim, o movimento oscilatório da bússola é ( t) = at i t 0e e ω Tomando a parte real da solução acima Solução genérica ( t ) = 0 e NORTE S ( a+ ω i ) t γ t I ( ) = 0 cos t e ωt ( ) µ N SUL M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

15 Movimento de uma bússola b em um campo, considerando dissipaçã ção O movimento é oscilatório modulado por uma exponencial 0 e γ t I γ t I 0e cos = ωt ( ) M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

16 Movimento de uma bússola b em um campo, considerando dissipaçã ção Qual a freqüência de oscilação? γ ω = ω0 4I A freqüência é menor do que a obtida se nós não considerarmos dissipação. Incerteza teórica no modelo da aula passada O nosso experimento tem sensibilidade para perceber esta discrepância? 0 e γ t I M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

17 Movimento forçado e ressonância ncia A bússola oscila com freqüência natural dada por: ω γ 4I = ω0 O que acontece se perturbarmos a bússola com um campo transversal dado por: ( ω ) B ( t) = B cos t T T 0 ext NORTE S N µ SUL B T M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

18 Movimento forçado e ressonância ncia Apareceria um novo torque dado por τ = µ B ( t)sin 90 T T ( ) τ ( t) = F( t) = µ B ( t) A equação de movimento seria agora T NORTE µ S N BT ( t) I d dt d + γ + µ B+ F cos( ωextt) = 0 dt SUL M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

19 Movimento forçado e ressonância ncia Devemos resolver a seguinte equação diferencial I d dt d + γ + µ B+ F cos( ωextt) = 0 dt A solução pode ser obtida utilizando notação complexa i extt Assim F cos( ωextt) = Re Fe ω ext ( t) Re i t = 0e ω M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

20 Movimento forçado e ressonância ncia Resolvendo a equação (ver, por exemplo, Mecânica, K. R. Symon, Oscilador Harmônico Forçado) Com: K 1 ( t) = sin ω 1/ extt + φ I ( ) γ ω0 ωext + ω ext I ω = µ I µb 0 B 0 ( ) M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

21 Movimento forçado e ressonância ncia A amplitude de oscilação depende da freqüência do campo externo µb K 1 0 = 1/ I γ ( ω0 ωext ) + ω ext I E possui um valor máximo Ressonância M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

22 Movimento forçado e ressonância ncia A freqüência de máximo de amplitude é dada por d dω E vale: ω ext 0= 0 γ = ω 1 0 I note que a freqüência de ressonância depende de γ M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

23 Fator de qualidade (fator- Q) da ressonância Quanto maior a dissipação (γ), menor a amplitude de oscilação Maior a dispersão (largura) do pico de ressonância M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

24 Movimento forçado e ressonância ncia O fator-q é definido como: fator 1 Q ~ ω ω Onde ω 1 é a largura do pico de ressonância para ~ MAX ω Nós vamos ver isto em detalhes em Lab IV M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

25 O que nós n s sabemos? A freqüência de ressonância é dada por µ γ I I 1 B ω = Ou seja, um gráfico da freqüência ao quadrado em função do campo magnético dá uma reta ω B γ I M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

26 O que nós n s sabemos? A largura do pico de ressonância depende do coeficiente de dissipação Fator de qualidade fator 1 Q ~ ω ω ω Com ω medido quando ~ MAX M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

27 Oscilações magnéticas amortecidas Um exemplo f Amplitude (divisão) frequência (Hz) Bússola com agulha brilhante Bobina com 1000 espiras, I 1 = 3A B em bobina de Helmholtz, V M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

28 Objetivos da semana Estudar o efeito de ressonância magnética em uma bússola Estudar como a freqüência de ressonância depende do campo magnético aplicado Gráfico de ω x B. Verificar a forma da curva de amplitude em função da freqüência e determinar o fator de qualidade da ressonância Gráfico de Amplitude x ω. Como? M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

29 Arranjo experimental Requerimentos para o arranjo Precisamos criar o campo principal B Campo constante e intenso Usar corrente contínua nas bobinas Usar bobinas de muitas espiras Utilizar bobinas de 1000 espiras APENAS! Precisamos criar o campo perturbador Campo oscilante no tempo de freqüência bem definida Usar corrente alternada. Não precisa ser intenso Usar bobina de Helmholtz por questões de acesso ao experimento M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

30 Arranjo experimental DC Alinhar bússola com campo local Montar as bobinas de 1000 espiras em série para formar campo uniforme na mesma direção de B local. Posicionar as bobinas o mais próximo possível uma da outra para que o campo gerado seja o mais intenso Ligar as bobinas na fonte DC B Local Posicionar a Bonina de Helmholtz 90º em relação às bobinas Ligar a bonina no gerador de áudio (fonte AC) Selecionar sinal senoidal com amplitude máxima AC M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

31 Procedimento experimental DC Ajuste a corrente DC nas boninas Meça o campo magnético com o sensor Hall Detalhe importante sobre o campo B Local Variar lentamente a freqüência da bobina de Helmholtz até obter a ressonância Detalhe importante sobre a medida de freqüência Para a medida de Q, meça a amplitude em função da freqüência em torno da freqüência de ressonância. AC M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

32 Sobre a medida do campo O campo entre as bobinas não é constante Lembre-se da experiência anterior O campo B é o valor médio ao longo da agulha da bússola E a incerteza em B pode ser estimada como metade da variação Para cada medida de campo com o sensor Hall, verificar o máximo e mínimo de campo sobre a agulha, estimar a média e incerteza M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

33 Sobre a medida de freqüê üência Em geral, procuramos a freqüência de ressonância aumentando lentamente a freqüência no gerador de áudio. Este procedimento introduz erros sistemáticos pois sempre temos a tendência de medir valores menores que a freqüência de ressonância de fato Para eliminar estas incertezas sistemáticas, faça o seguinte procedimento Determinar a freqüência de ressonância pelo lado de baixas freqüências e altas freqüências, SEM OLHAR PARA O GERADOR. OLHE APENAS PARA A BÚSSOLA A freqüência de ressonância é a média dos valores obtidos e a incerteza pode ser estimada como o desvio entre os valores. M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)

34 Atividades Fazer o gráfico de ω em função de B Medir uns 5-7 pontos, variando a corrente nas bobinas entre 0,1 e 1,0 A. Isto faz com que as freqüências de ressonância fiquem entre e 5 Hz. Ajustar o modelo apropriado e determinar as constantes da bússola Medir a curva de amplitude para uma dada ressonância Ajustar o campo para uma freqüência de ressonância entre 8-10 Hz Medir a amplitude de oscilação da bússola em função da freqüência em torno da ressonância Fazer o gráfico de amplitude em função da freqüência Ajustar o modelo adequado com os parâmetros obtidos no item anterior Determinar o valor do fator-q. M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (007)