EXPERIMENTO V DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA E DO PERÍODO PARA O OSCILADOR MASSA MOLA NA HORIZONTAL

Transcrição

1 EXPERIMENTO V DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE ELÁSTICA E DO PERÍODO PARA O OSCILADOR MASSA MOLA NA HORIZONTAL Introdução Oscilações Estamos cercados por fenômenos que se repetem. Existem lustres que se balançam, barcos ancorados que oscilam e os pistões que executam um movimento alternado no motor de um carro. Existem oscilações na corda de um violino, na membrana de um tambor, nos sinos, no diafragma de um telefone ou de um microfone e no cristal de quartzo de um relógio de pulso eletrônico. Menos evidentes são as oscilações das moléculas de ar que transmitem o som, as vibrações dos átomos de um sólido que transportam o calor e as vibrações dos elétrons nas antenas dos transmissores de rádios e TV. As oscilações não se restringem apenas a objetos materiais, tais como cordas de violino ou elétrons. A luz, bem como todas as demais ondas eletromagnéticas, desde ondas longas de rádio até os raios gama, são vibrações elétricas e magnéticas. As oscilações existentes no mundo real são normalmente amortecidas, ou seja, desaparecem gradualmente, transformando a energia mecânica em energia térmica, em virtude do atrito. Embora não seja possível eliminar completamente o atrito em sistemas oscilantes, podemos alimentar o sistema com uma fonte de energia externa para compensar a energia que é perdida pelo atrito. Movimento harmônico simples A figura 2 indica uma sequência de instantâneos de um sistema oscilante típico: uma partícula que se move periodicamente para frente e para trás em torno da origem, ao longo do eixo x.

2 A letra grega indica a frequência da oscilação e é dada em Hertz (Hz). 1 Hertz = 1 oscilação por segundo = 1 s -1 (1). O período T do movimento é o tempo necessário para completar uma oscilação, ou seja, = (2) Qualquer movimento que se repete em intervalos regulares denomina-se movimento harmônico. Estamos interessados aqui em movimentos que se repetem de forma particular, ou seja, descreveremos os movimentos em que deslocamentos das partículas variam em função do tempo de acordo com a seguinte relação = cos + (deslocamento), (3) onde, e são constantes. Este movimento harmônico particular denomina-se movimento harmônico simples (MHS). A figura 3a mostra um MHS descrito matematicamente pela equação (3).

3 A quantidade é uma constante positiva denominada amplitude do movimento, sendo que o índice m utilizado significa valor máximo. O valor de depende das condições iniciais do movimento. A função co-seno, indicada na eq. 3, varia entre os limites ±1, de modo que o deslocamento x(t) varia entre os limites ±, conforme é indicado na figura 2 e na figura 3a. A quantidade dependente do tempo + ), na eq. 3, fornece a fase total do movimento e a constante denomina-se constante de fase ou ângulo de fase. O valor de depende também das condições iniciais do movimento. Em particular, o valor de e o valor são determinados pelo deslocamento e pela velocidade da partícula para t=o. No gráfico de x(t) indicado na fig. 3a, o ângulo na fase é igual a zero. Falta interpretar a constante. O deslocamento x(t) retorna a um valor inicial depois de um período T, ou seja, x(t) é sempre igual a x(t + T). para simplificar nossa análise, vamos considerar =0 na eq. 3. Desta equação obtemos cos = cos +. A função co-seno repete-se pela primeira vez quando o ângulo aumenta de 2 radianos, logo, +2 = + ou 2 = Logo (veja eq. 2),

4 = =2 (4) A grandeza denomina-se frequência angular do movimento e é dada em radiano por segundo (rad/s). A fig. 4 compara o deslocamento x(t) de dois movimentos harmônicos simples em três situações diferentes, mostrando como as amplitudes, os períodos e os ângulos de fase diferem em cada caso. MHS Cálculo da Velocidade Derivando a eq. (3) em relação ao tempo, podemos obter a velocidade de uma partícula que executa um movimento harmônico simples. Assim, ou = = cos + = sin + (velocidade), (5) A figura 3b é um gráfico da eq. (5) que mostra para o caso =0. A quantidade positiva da eq. (5) é a amplitude da velocidade, ou seja, a velocidade da partícula oscilante varia entre os limites ±, como a fig. 3b indica. Note nesta figura que as fases da velocidade e do deslocamento diferem de Quando o módulo do deslocamento é máximo, o que ocorre nos extremos do movimento, a velocidade é

5 mínima, sendo nula. Por outro lado, quando o deslocamento se anula, no ponto central do movimento, a velocidade atinge seu módulo máximo. MHS Cálculo da Aceleração Conhecida a velocidade v(t) de um movimento harmônico simples, podemos achar a aceleração da partícula oscilante através de uma derivação. Assim, derivando a equação da velocidade em relação ao tempo, eq. 5, temos: = cos + (aceleração), (6) A fig. 3c é um gráfico da eq. (6) para o caso =0. A quantidade positiva da eq. (6) fornece a amplitude da aceleração, ou seja, a aceleração as partícula varia entre os limites ±, conforme indicado na fig. 3c. Combinando a eq. (3) com a eq. (6), resulta =, 7 que nos mostra que, num movimento harmônico simples, a aceleração é proporcional ao deslocamento mas possui sinal contrário. Ou seja, quando o deslocamento alcança seu maior valor positivo, a aceleração assume seu maior valor negativo e vice-versa. Quando o deslocamento se anula, a aceleração também se anula. Movimento harmônico simples: A Lei da Força Conhecida a aceleração de uma partícula, podemos aplicar a Segunda Lei de Newton com a eq. (7), obtemos, para o movimento harmônico simples: = = (8) Este resultado, uma força proporcional ao deslocamento mas com sinal contrário, trata-se da Lei de Hooke, = (Lei de Hooke), (9) para uma mola. Designando por k a constante efetiva da mola, temos, = (10) Na realidade podemos considerar a eq. (9) como uma definição alternativa de movimento harmônico simples, afirmando que: o movimento harmônico simples é um movimento executado por uma partícula de massa m submetida a uma força que é proporcional ao deslocamento da partícula, porém de sentido contrário.

6 O sistema massa-mola indicado na fig. (5) constitui um oscilador harmônico simples linear (ou oscilador linear), sendo que sua frequência angular está relacionada com a constante da mola, k, e com a massa m do bloco pela eq (10), ou seja, = (frequência angular). (11) Combinando a eq. 4 com a eq. 11, podemos escrever a seguinte expressão para o período do oscilador linear da fig. 5: =2 (período). (12) As eq. 11 e 12 informam que, como era de se esperar por razões físicas, uma frequência angular grande e, portanto, um período pequeno, correspondem a uma mola dura (elevado valor de k) e a um bloco leve (massa m pequena). Todo o sistema oscilante, que seja o oscilador linear da fig. 5, um trampolim ou uma corda de violino, possui em elemento de inércia e um elemento de restituição. No oscilador linear, estes elementos estão localizados em partes separadas do sistema, sendo a restituição totalmente concentrada na mola (suposta massa) e a inércia totalmente concentrada no bloco (suposto rígido). Contudo, numa corda de violino, estas duas propriedades coexistem ao longo de toda a corda. Exemplo de exercício: Um bloco de massa m = 680 g está preso a uma certa mola cuja constante elástica é k = 65 N/m. O bloco é deslocado até uma distância x = 11 cm a partir da sua posição de equilíbrio e a seguir largado do repouso. (a) Calcule a força exercida pela mola sobre o bloco imediatamente antes de ele ser largado. Pela Lei de Hooke, = = 65 0,11 = 7,2. (b) Determine a frequência angular, a frequência e os períodos de oscilações.

7 Pela eq. 11 temos, = / =, =9,78. A frequência decorre da eq. 4, ou seja, = =, E o período é dado por = =, =0,64 =640. (c) Qual é a amplitude das oscilações? =1,56, O bloco partiu do repouso. Quando ele oscila, não pode ir mais longe de sua posição de equilíbrio do que no seu deslocamento inicial sem violar o princípio da conservação de energia. Portanto: x m = 11 cm. (d) Qual é a velocidade máxima do bloco que oscila? Pela eq. 5, vemos que a amplitude da velocidade é dada por = = 9,78 0,11 =1,1. Esta velocidade máxima ocorre quando o bloco oscilante está passando pela origem. (e) Qual é o módulo da aceleração máxima do bloco? Pela eq. 6, vemos que a amplitude da aceleração é = = 9,78 0,11 =11 / Esta aceleração máxima ocorre quando o bloco está numa das extremidades de sua trajetória; nestes pontos, a força que atua sobre o bloco atinge seu valor máximo. (veja figura 3c). (f) Calcule o angula de fase desse movimento. Para t=0, o momento em que o bloco é largado, =, e a velocidade do bloco é nula. Usando estas condições iniciais, como são chamadas, nas eqs. 5 e 3, obtemos 1=cos e 0=sin, respectivamente. O menor ângulo que satisfaz a estas duas exigências é =0. Pré-relatório 1) Faça uma revisão sobre o movimento harmônico simples e a vibração de um sistema massa-mola utilizando o texto de apoio sobre Oscilações, e responda os seguintes itens: Defina movimento harmônico simples (MHS), e mostre sua expressão matemática. Calcule a velocidade do MHS. Calcule a aceleração do MHS.

8 Apresente a relação entre período e frequência no MHS. Demonstre a relação entre frequência angular e período e frequência no MHS. Comente a Lei de Hooke e defina a constante elástica da mola. Apresente a frequência angular do sistema massa-mola. Mostre a relação entre período e frequência angular do sistema massa-mola. 2) Resolva o seguinte problema: Um bloco de massa m = 400g está preso a uma certa mola cuja constante elástica é k = 100N/m o bloco é deslocado até uma distância de 0,10m a partir de sua posição inicial. Calcule a força exercida sobre o bloco antes de este ser solto. Determine a frequência angular, o período e a frequência das oscilações. Qual é a amplitude das oscilações? Calcule a velocidade máxima do sistema. Calcule o módulo da aceleração máxima do sistema. ROTEIRO PARA A REALIZAÇÃO DO EXPERIMENTO Determinação da constante elástica para oscilador massa-mola na horizontal Material necessário 01 trilho 120 cm; 01 cronômetro digital multifunções com fonte DC 12 V; 01 sensor fotoelétrico com suporte fixador (S 1 ); 01 fixador de eletroímã com manípulo; 01 Y de final de curso com roldana raiada; 01 suporte para massas aferidas 9 g; 01 massa aferida 10 g com furo central de 2,5 mm; 02 massas aferidas 20 g com furo central de 2,5 mm; 01 massa aferida 10 g com furo central de 5 mm; 02 massas aferidas 20 g com furo central de 5 mm; 01 unidade de fluxo de ar; 01 cabo de força tripolar 1,5 m; 01 mangueira aspirador 1,5 ; 01 carrinho para trilho cor azul; 01 pino para carrinho para interrupção de sensor; 03 porcas borboletas;

9 07 arruelas lisas; 04 manípulos de latão 13 mm; 01 pino para carrinho com gancho; 01 pino para carrinho com pitão; 01 mola para MHS; Procedimentos 1. Montar o equipamento conforme a foto. 2. Ligar o fluxo de ar para que o carrinho fique suspenso. 3. Pendurar na ponta da linha uma massa de 59 g, massa utilizada para provocar na mola uma pequena deformação. 4. Medir o comprimento da mola e anotar na tabela L 0 (m). Utilizamos o pino central o carrinho como referência. 5. Acrescentar um peso de 0,200 N na extremidade do barbante e medir o novo comprimento da mola L f (m) e anotar o valor na tabela abaixo. Força (N) L 0 (m) L f (m) L (m) K (N/m) 0,200 0,400 0,600 0,800 1, Acrescentar novos pesos e repetir os procedimentos acima para completar a tabela abaixo. Força (N) L 0 (m) L f (m) L (m) K (N/m) 0,200 0,400 0,600

10 0,800 1, Calcular a deformação da mola L (m). 8. Calcular a constante elástica da mola K (N/m). = 9. Construir o gráfico F = f( ) (força em função da deformação). Qual a sua forma? X (m) t 2 m (s 2 ) 10. Determinar o coeficiente angular A. A = 11. Qual é o significado físico do coeficiente angular? 12. Encontrar a relação de proporcionalidade entre as grandezas força (F) e massa (m) 13. Enuncie a Lei de Hooke. Determinação do período para oscilador massa-mola na horizontal Material necessário 01 trilho 120 cm; 01 cronômetro digital multifunções com fonte DC 12 V; 02 sensores fotoelétricos com suporte fixador (S 1 e S 2 ); 01 fixador de eletroímã com manípulo;

11 01 Y de final de curso com roldana raiada; 01 suporte para massas aferidas 9 g; 01 massa aferida 10 g com furo central de 2,5 mm; 02 massas aferidas 20 g com furo central de 2,5 mm; 01 unidade de fluxo de ar; 01 cabo de força tripolar 1,5 m; 01 mangueira aspirador 1,5 ; 01 pino para carrinho com fixador para eletroímã; 01 carrinho para trilho cor azul; 01 pino para carrinho para interrupção de sensor; 03 porcas borboletas; 07 arruelas lisas; 04 manípulos de latão 13 mm; 01 pino para carrinho com gancho; 01 pino para carrinho com pitão; 01 mola para MHS; Procedimentos 1. Montar o equipamento conforme a foto. 2. Ligar o fluxo de ar para que o carrinho fique suspenso. 3. Pendurar na ponta da linha um peso de 0,680 N (massa suspensa). 4. Determinar a massa do conjunto oscilador (carrinho completo e massa suspensa). M = Kg 5. Colocar o Sensor na posição de equilíbrio, ligar o cronômetro e selecionar a medida F5. 6. Afastar o carrinho da posição de equilíbrio no máximo 10 cm (amplitude A).

12 7. Liberar o sistema e medir o intervalo e tempo para uma oscilação completa (período T). 8. Repetir o passo anterior três vezes e anotar na tabela o valor médio do período (T exp ). 9. Acrescentar 40 g de carga no carrinho (20 g de cada lado) e repetir os procedimentos anteriores. 10. Acrescentar, sucessivamente, massas no carrinho e completar a tabela. Constante da mola K = 4,20 N/m Massa oscilante m (kg) Período Experimental Quadrado do Período T exp (S) Experimental T 2 exp (S 2 ) 11. Construir o gráfico T exp = f(m) (período em função da massa). Qual é a sua forma? X (m) t m 2 (s 2 ) 12. Construir o gráfico T exp 2 = f(m) (período experimental ao quadrado em função da massa). Qual é a sua forma?

13 X (m) t m 2 (s 2 ) 13. Calcular o coeficiente angular do gráfico acima. A = 14. Calcular o valor numérico indicado abaixo. = onde K = 4,20 N/m e = 3, Considerando a tolerância de erro de 5%, pode-se comparar A com? 16. Encontrar a relação de proporcionalidade entre o período (T) e a massa (m). 17. Escrever a fórmula que permite calcular o período de oscilação. T cal = 18. Calcular o período de oscilação T cal. Massa oscilante m (kg) Constante de elasticidade K (N/m) Período calculado T cal (S) 19. Considerando a tolerância de erro de 5%, pode-se afirmar que o período de oscilação medido é igual ao período de oscilação calculado?