Eletromagnetismo - Instituto de Pesquisas Científicas

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1 ELETROMAGNETISMO

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3 Preciso avisar que muitas imagens dessa lição são tortas e nada profissionais. O fato é que foi eu quem as desenhei e por motivos de tempo (e preguiça) resolvi coloca-las aqui. Esse não é um curso de desenho, portanto, o que nos interessa é o conceito. Comecemos imaginando um fio condutor, o qual será inserido em uma região com campo magnético. Pela lei de Lenz, surgirá um campo oposto devido à corrente presente no fio. O fluxo do campo magnético é dado por: φ B = න B d ԦA = xybcosθ O termo xy é a área do fio, como está mostrado a seguir: O que faremos agora é girar o fio em torno de um eixo paralelo ao y:

4 Como o fio está girando, ele adquire uma frequência angular dada por: ω = 2π T Vamos representar o termo θ como θ = θ 0 + ωt, de modo a assumir que θ 0 = 0. Com isso: φ B = ABcosωt Derivando o fluxo em função do tempo: dφ B dt = ABωsenωt Pela lei de Faraday, fazemos: Lembrando da lei de Ohm: dφ B dt = +ABωsenωt = E(t) I t = E t R Quando giramos o fio, a corrente vai alternar de acordo com a função seno. Essa função se parece muito com uma onda, de modo a variar entre pontos de máximo e de mínimo. Chamamos essa corrente de corrente alternada (AC ou CA).

5 É importante ressaltar que a variação do fluxo depende da direção ao qual o fio é girado. Por exemplo: O campo elétrico vem da direita para a esquerda. Logo, a variação do fluxo só existirá se o giro for no sentido perpendicular ao campo. Em uma usina elétrica, nós podemos utilizar da energia eólica, nuclear ou mecânica para movimentar espiras, de modo a gerar um fluxo magnético. Em uma hidrelétrica, a queda d agua faz isso. Vamos tomar um fio que possui uma barra na lateral. O fio está imerso em um campo magnético. Podemos move-lo puxando ou empurrando a barra (o puxão ou empurrão fornece uma velocidade v ao sistema). Nesse caso, o fluxo é dado por: φ B = lxb De modo que: dφ B dt = lbv = E

6 Quando puxamos o fio, o única variável é a coordenada x, que pode ser vista como uma coordenada de posição do fio. Logo, dx/dt nos fornece a velocidade v. Note que a força de Lorentz é sempre no sentido dado por I B. Nesse caso: F L = lib Para que eu puxe o fio, devo fazer uma força igual à de Lorentz: F J = lib Com isso, a potência será obtida da seguinte maneira: P J = ԦF J Ԧv P = libv = EI O que fornece: E = lvb Se um material condutor, como um disco, por exemplo, adentra em uma região com campo magnético, então uma corrente será criada no disco. Será produzido calor. Chamamos essa corrente de corrente de Eddy ou corrente de Foucault. Agora estamos prontos para analisar um novo dispositivo que será acoplado ao circuito elétrico.

7 Vimos que podemos armazenar energia elétrica dentro de um capacitor, o que permite produzir um campo elétrico desejado. O mesmo pode ser feito com a energia magnética, mas o dispositivo recebe o nome de indutor. A representação básica de um indutor é um fio enrolado. O solenoide é o tipo mais simples de indutor. Temos uma corrente I conduzida pelas espiras do solenoide. Definimos como indutância a seguinte grandeza: L = Nφ B I De modo que N seja o número de espiras. A indutância é medida em Tm²/A, ou então henry [H]. O termo φ B será denominado, agora, enlaçamento de fluxo. Vamos supor que queremos determinar a indutância por unidade de comprimento perto do centro de um solenoide bem longo, com secção reta A. Precisamos conhecer seu enlaçamento de fluxo criado pela corrente. Vamos analisar um segmento com comprimento l próximo ao centro do solenoide: Nφ B = nl BA Onde n é o número de espiras por unidade de comprimento.

8 Sabemos que para um solenoide: E sendo n = N/l: Dessa forma: L = Nφ B I B = μ 0IN l B = μ 0 In nl BA = = nl μ 0InA I I L = μ 0 n 2 la A indutância perto do centro é: L l = μ 0n 2 A Da mesma maneira que a capacitância, a indutância depende apenas da forma geométrica do dispositivo. Se uma corrente varia ao atravessar um indutor, surge uma força eletromotriz induzida dada por E L. Temos que Nφ B = LI. De acordo com a lei de Faraday: Logo: E L = d Nφ B dt E L = L di dt

9 O resultado anterior representa a força eletromotriz auto-induzida. Agora, vamos olhar para o indutor acoplado em um circuito. Pela regra das malhas (iniciando do canto superior esquerdo no sentido horário): ir L di dt + E = 0 L di dt + ir = E Precisamos resolver essa equação diferencial. Fazemos então: L di dt = E ir Usando a substituição: di dt = ir E L di ir E = 1 L dt u = ir E du = Rdi di = du R

10 Integrando ambos lados: Tomando i 0 = 0 e t 0 = 0: du Ru = dt L du = Rdt L ln u u 0 = Rt L ln ir E = Rt E L ir E = Ee Rt/L ir = E(1 e Rt/L ) i = E R (1 e Rt/L ) Essa é a solução que procurávamos. Chamando τ = L/R: i = E R (1 e t/τ )

11 A solução encontrada representa o aumento da corrente. Vamos supor, agora, que E = 0, de modo que o sistema deixe de receber corrente elétrica. Com isso, a regra das malhas fornece: L di dt + ir = 0 A solução para essa equação diferencial é: i = E R e t/τ = i 0 e t/τ Essa solução nos fornece a redução da corrente. Um campo magnético criado por uma corrente armazena energia. Podemos determinar essa energia multiplicando a equação do nosso circuito por i: Li di dt + i2 R = 0 O termo i 2 R é a taxa de dissipação de energia. De acordo com a conservação de energia, a energia que é fornecida ao circuito e não é dissipada no resistor deve ser armazenada no campo magnético do indutor. Vamos representar isso a seguir.

12 Li di dt = du B dt du B = Lidi Integrando ambos lados, e assumindo B 0 = 0 e i o = 0: U B = 1 2 Li2 Isso nos fornece a energia magnética. Vamos olhar para o seguinte circuito: No instante t = 0 não há corrente alguma, pois a chave encontra-se aberta. Isso implica que a tensão no indutor é igual à tensão E 0 : V L = E 0 Quando a chave é fechada, a tensão no indutor se torna: E L = Ee tr/l

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