Cálculos para Reticação de Onda

Transcrição

1 Cálculos para Reticação de Onda Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa 1 de agosto de 11 Resumo Este documento objetiva fornecer um material documentado das equações envolvidas na determinação de tensões DC, RMS, fator de ondulação de ripple usadas ao longo da disciplinas de Eletrônica. 1 Cálculo de valor DC de sinais O nível DC, ou nível CC, corresponde ao valor médio do sinal - f(t) - em um intervalo de tempo innito (T ). Como nossos sinais geralmente serão periódicos, T é nito e corresponde ao inverso da freqüência do sinal. Desta forma, temos: = 1 T f(t) (1) Como sabemos, qualquer sinal pode ser decomposto em uma parcela constante (nível DC) e outra parcela que oscila (nível AC). Nesta decomposição, oriunda da Teoria e Séries de Fourier, notaremos que a média obtida por pela Eq. 1 gera o nível constante do sinal. 1.1 Exemplos Sinal senoidal Considere o sinal f(t) = V m sen(ωt) onde ω = π/t é a freqüência - em radianos - do sinal f(t) e V m é o valor máximo do sinal f(t). Naturalmente sua média, intuitivamente, é zero. Usando a Eq. 1, temos: = 1 f(t) T { } = ω π/ω V m sen(ωt) π = V { } m cos(ωt)] π/ω π = 1

2 1.1. Reticação de sinal senoidal em meia onda O sinal a ser reticado em meia onda é f(t) = V m sen(ωt), com ω = π/t, T é o período fundamental do sinal e V m é o valor máximo do sinal f(t). Aplicando a Eq. 1, temos: = 1 f(t) T { } = ω π/ω V m sen(ωt) π = ω { } cos(ωt)] π/ω π = 1 π V m =,318V m Reticação de sinal senoidal em onda completa O sinal a ser reticado em onda completa é f(t) = V m sen(ωt), com ω = π/t, T é o período fundamental do sinal e V m é o valor máximo do sinal f(t). Aplicando a Eq. 1, temos: = 1 T 1.1. Onda quadrada = ω π = ω π = π V m =,636V m f(t) { π/ω π/ω } V m sen(ωt) V m sen(ωt) { π/ω } cos(ωt)] π/ω cos(ωt)] π/ω π/ω Este sinal é denido por: f(t) = { 1, t T, T t T Aplicando a Eq. 1, temos: = 1 T = 1 T / f(t) V m = 1 V m Cálculo de valor RMS de sinais O valor ecaz, ou valor RMS, corresponde ao valor médio quadrático do sinal - f(t) - em um intervalo de tempo innito (T ). Como esses sinais geralmente são periódicos, T é nito e corresponde ao inverso da freqüência do sinal. Desta forma, temos:

3 V rms = 1 T f (t) () O valor ecaz pode ser visto como a energia do sinal. Note que f(t) pode conter nível DC e AC. Geralmente aplicamos a Eq. em sinais sem nível DC, ou seja, estamos interessados em quanticar em um único número um sinal contendo apenas componentes oscilatórias..1 Exemplos Considere os sinais já denidos na seção anterior.1.1 Sinal senoidal Usando a Eq., temos: V rms = 1 T f (t) { } = ω π/ω Vm sen (ωt) π { = 1 ω π/ω π V m = 1 ω π V m t] π/ω 1 ω sen(ωt) π V m ω = V m V ac = Vm } π/ω cos(ωt) onde sen (α) = 1 1 cos(α)] (das relações trigonométricas)..1. Reticação de sinal senoidal em meia onda Usando a Eq., temos: ] π/ω V rms = 1 f (t) T { } = ω π/ω Vm sen (ωt) π { = 1 ω π/ω } π/ω π V m cos(ωt) = 1 ω π V m t] π/ω 1 ] ω sen(ωt) π/ω π V m ω = V m V ac = V m.1.3 Reticação de sinal senoidal em onda completa Usando a Eq., temos: 3

4 V rms = 1 T f (t) { = ω π/ω π { } = ω π/ω Vm sen (ωt) π = V m V ac = Vm π/ω Vm sen (ωt) + V m sen (ωt) ]} Note que o valor RMS do sinal reticado é exatamente igual ao valor RMS do sinal não reticado (sinal senoidal). É fácil vericar isso visualmente, o que simplica os cálculos..1. Onda quadrada Usando a Eq., temos: V rms = 1 T = 1 T / f (t) V m = V m V ac = Vm 3 Cálculo de valor RMS na parcela AC de sinais O valor RMS na parcela AC de sinais consiste em eliminar o nível DC do sinal e determinar o valor ecaz deste. Para facilitar esse cálculo, considere que: f(t) = f ac (t) + (3) Isso signica que: f ac (t) = f(t) () Calculando o valor ecaz de f ac (t) através da Eq. e considerando a denição de nível DC (Eq. 1), temos: Logo, V ac = 1 T = 1 T = 1 T = 1 T f ac(t) f(t) ] f (t) f(t) + V f (t) 1 T = V rms + V = V rms V ] f(t) + 1 T V

5 V rms = V ac + V (5) 3.1 Exemplos Considere os sinais já denidos na seção anterior Sinal senoidal Usando a Eq. 5, temos: V ac = V rms V = V m V ac = Vm 3.1. Reticação de sinal senoidal em meia onda Usando a Eq. 5, temos: V ac = V rms = V m V m π = V m 1 1 ] π V ac,385v m Reticação de sinal senoidal em onda completa Usando a Eq. 5, temos: 3.1. Onda quadrada Usando a Eq. 5, temos: V ac = V rms Fator de ondulação = V m π V m = V m V ac = V rms 1 ] π V ac,38v m = V m V m V ac = V m No processo de reticação CA-CC, temos interesse de vericar quando reticado é o sinal resultando do processo. Isso permite comparar métodos de reticação. Tal medida é chamada fator de ondulação e é denida por:.1 Exemplos Considere os sinais já denidos na seção anterior 1% (6) 5

6 .1.1 Sinal senoidal Usando a Eq. 6, temos: 1% =.1. Reticação de sinal senoidal em meia onda Usando a Eq. 6, temos: V m 1% = 1% =,385V m,318v m 1% = 11%.1.3 Reticação de sinal senoidal em onda completa Usando a Eq. 6, temos:.1. Onda quadrada Usando a Eq. 6, temos: 1% =,38V m,636v m 1% = 8% 1% = Vm V m 1% = 11% 5 Reticação com ltro capacitivo Considere a Fig. 1, na qual um trecho do sinal reticado em onda completa sem e com ltro capacitivo é apresentado. Queremos determinar V rms-ac desse sinal, construído a partir de uma aproximação por sinal triangular. Naturalmente temos: Figura 1: Sinal reticado em onda completa, sem e com ltro capacitivo = V m V (7) Note que V corresponde à tensão pico-a-pico do sinal reticado, enquanto que V m é o valor máximo desse sinal. Considerando o intervalo T, que é o trecho onde há descarga do capacitor, temos: I c = Q T = V C T 6 I = V C T (8)

7 Sabemos que (vide demonstração Seção 5.1) V ac = V 3 Note V ac depende de V, que foi calculado em função da corrente de descarga do capacitor (ou uma aproximação da corrente DC). Mas tal corrente depende de T, que precisamos determinar. Por relação de triângulos e considerando a rampa de carga do capacitor (na Fig. 1), temos que: V = V m T/ Isso permite que determinemos em função de parâmetros conhecidos do sinal, ou seja: (9) e naturalmente = V T/ V m Reescrevendo a Eq. 7, temos que: T = T = T T/ V V m = T V m ( V )T V ( m Vm V = V m ) T E assim, = V m V Retornando T na Eq. 8, produzindo: Assim, usando a Eq. 9, temos: T = V m T V = I C V T V m = I fc V m ] (1) V ac = I (11) 3fC V m Se considerarmos a reticação em meia-onda com ltragem por capacitor, as expressões cam um pouco mais complexas com a aproximação por onda triangular adotada, ou seja: V = I V m + (1) fc 7

8 pois T = T para meia onda. O valor ecaz da parcela AC da reticação em meia-onda é: V ac = I ( ) Vm + 3fC V m Posteriormente verique os cálculos de valor ecaz da parcela AC usando a aproximação (com onda também triangular) da onda reticada e ltrada usando capacitor da Fig.. (13) Figura : Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reticado ltrado por capacitor 5.1 Demonstração de V ac = V/( 3) Considere a Fig. 3, que é um período da aproximação do sinal reticado em onda completa após a aplicação do ltro capacitivo. A partir do mesmo, determinamos dois segmentos de reta que forma f(t). Figura 3: Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reticado ltrado por capacitor f 1 (t) = V t V f(t) =, t f (t) = V (t ) + V T, t T Aplicando a Eq. (pois da Eq. 5 e da Fig. 3 notamos que o nível DC de f(t) é zero), temos: Calculando a primeira integral, temos: V ac = 1 f (t) T = 1 1 ] f1 (t) + f (t) T 8

9 1 f 1 (t) = = 1 1 V t V ] ( V ) t T 1 = 1 ( V ) 3 T 1 t 3 ] 1 1 ( V ) ( V ) 1 t + t ] T 1 + ( V ) ( V ) t] = 1 3 ( V ) 1 ( V ) + 1 ( V ) = 1 1 ( V ) Calculando a segunda integral, temos: 1 f (t) = = V (t ) V ] T ( V ) (T ) (t ) ( V ) (t ) (T ) Para facilitar a integração, efetuamos a seguinte troca de variáveis: t = T a = T, a = t t = a =, = da + ( V ) 1 f (t) = ( V ) (T ) a da ( V ) ( V ) (T ) a da + = 1 ( V ) 3 (T ) (T ) 3 1 (T ) (T ) = 1 1 ( V ) (T ) Com as duas integrais resolvidas, temos: Ou seja: V ac = 1 1 ( V ) ( V ) (T ) T = 1 ( V ) 1 V ac = V 3 ( V ) da ( V ) (T ) Posteriormente verique se esse resultado é vericado para a onda triangular mostrada na Fig.. 9

10 Figura : Trecho de onda triangular usada para aproximar sinal reticado ltrado por capacitor 5. Estimativa do fator de ondulação A partir do cálculo do nível RMS de uma onda triangular qualquer (Eq. 9) e da expressão do fator de ondulação (Eq. 6), temos: Mas, da Eq. 7, temos: E, portanto: 1% = V 1 1% 3 = V m V V = (V m ) Isso signica que: r = 1 3 V m 1% (1) V m = 1 + 3r Note que estas expressões são válidas para reticação tanto em meia-onda quanto em onda completa, já que podemos representar a onda de ripple de ambas as reticações por uma onda triangular. Além disso, a expressão resultante (Eq. 1) independe de T. 5.3 Estimativa do nível DC Podemos agora estimar o valor a partir do valor máximo de tensão da onda a ser reticada (V m ) e outras informações do circuito, facilitando a comparação com medidas obtidas a partir do multímetro. Considere uma resistência de carga R L drenando uma corrente I do circuito reticador ca-cc. Desta forma temos uma tensão sobre o resistor de carga. A partir da Eq. 1 temos: Considerando a Eq. 7, temos: V = I fc V m V = fr L CV m (V m ) = V fr L CV m 1

11 V + fr LCV m fr L CV m = Resolvendo dessa equação de segundo grau, temos: = V m fr L C ± ] fr L C(fR L C + 1) Note que a a(a + 1) é negativo, resultando em uma tensão também negativa, o que é incompatível com o processo de reticação, e também com a Eq. 7 para valores positivos de V m e V m V/. Assim: = V m fr L C + ] fr L C(fR L C + 1) (15) Assim, a partir da resistência de carga, do capacitor de reticação e da freqüência e amplitude do sinal CA podemos estimar a tensão CC produzida. Para a reticação em meia-onda com ltragem usando capacitor temos: = V m (1 + fr L C) + ] (1 + fr L C) + fr L C que é obtida relacionando a Eq. 7 e a Eq. 1. Posteriormente calcule para a aproximação mostrada na Fig.. (16) 11