Experimento 7 Circuitos RC em corrente alternada

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1 1. OBJETIVO Experimento 7 Circuitos RC em corrente alternada O objetivo desta aula é estudar o comportamento de circuitos RC em presença de uma fonte de alimentação de corrente alternada.. 2. MATERIAL UTILIZADO osciloscópio; multímetro; gerador de sinais; resistor: R = 10Ω; capacitor: C =2,2µF 3. INTRODUÇÃO Como vimos na Aula 3 a equação característica do capacitor ideal é dada por: i(t) = C d dt V C (t). (1) Se aplicarmos uma voltagem alternada, V g (t) = V 0 sin(ωt), a esse capacitor, teremos uma corrente carregando o capacitor que pode ser escrita como: [ ] = "CV cos("t) = "CV sin "t + # 0 0 % 2 i(t) = C d dt V 0 sin("t) ' ). ( (2) Portanto, podemos escrever para a corrente: i(t) = "CV 0 sin "t + # ' % 2 ( ) = i sin "t + # ' 0 % 2 ). ( (3) Nessa equação, podemos observar que a amplitude da corrente, i 0, é dada por: i 0 = "CV 0, (4) ou seja, 66

2 V 0 = 1 "C i 0 = X C i 0. (5) A Equação 5 é o equivalente da lei de Ohm para capacitores em correntes alternadas. O termo X C =1/("C), tem dimensão de ohm (Ω), é chamado de reatância capacitiva, e é inversamente proporcional à freqüência. Para freqüências muito altas, o capacitor se comporta como um curtocircuito (resistência nula) em relação à passagem da corrente alternada. Isto significa que os sinais de freqüência alta passam sem serem muito atenuados. Se a freqüência for muito baixa, a reatância cresce muito e os sinais de baixa freqüência são bastante atenuados. Essa propriedade dos capacitores é utilizada na confecção de filtros eletrônicos de freqüência. A Equação 3 mostra que em um capacitor ideal, a corrente e a voltagem estão defasadas de π/2 radianos, ou seja, para uma voltagem do gerador de sinais: V g (t) = V 0 sin("t) (6) temos: i(t) = i 0 sin "t + # ' ), % 2 ( (7) e a corrente está adiantada de π/2 radianos em relação à voltagem da fonte. Quando a voltagem está em zero volt (fase igual a zero ou π radianos), a corrente está em seu valor máximo (positivo ou negativo) e vice-versa. 3.1 Circuitos RC Em circuitos RC do tipo mostrado na Figura 1 abaixo, a lei das malhas diz que: Figura 1: Circuito RC alimentado com uma fonte de corrente alternada. V g = V C + V R " V 0 sin(#t) = q(t) C + Ri(t), (8) sendo V g a voltagem do gerador. 67

3 Como esse circuito é composto por elementos lineares, é de se esperar que a corrente também varie senoidalmente com o tempo, ou seja, tenha a forma geral: i(t) = i 0 sin("t +# ), (9) onde ϕ representa a diferença de fase entre a voltagem do gerador e a corrente no circuito. Derivando a Equação 8 em relação ao tempo e usando a Equação 9, encontramos: "V 0 cos("t) = i 0 C sin("t + #) + "Ri 0 cos("t + #). (10) A Equação 10 pode ser trabalhada expandindo-se as funções sin(ωt + ϕ) e cos(ωt + ϕ) e reagrupando os termos em cos(ωt) e sin(ωt). Após alguns cálculos encontramos: % cos("t) "V 0 # ("Ri 0 )cos # i 0 ' C sin ( ) * + sin("t) % ( "Ri 0)sin # i 0 ' C cos ( ) * = 0. (11) Como a Equação11 deve valer para qualquer valor do tempo, os coeficientes desses termos devem ser individualmente nulos. Teremos, pois, que duas equações devem ser satisfeitas: e ( ) cos" + i 0 Ri 0 ' ) sin" = V 0, %#C ( (12) ( ) sin" # i 0 ' Da Equação 13 obtemos diretamente o ângulo de fase ϕ: Ri 0 % ( * cos" = 0. C ) (13) tan" = 1 #CR = 1 ' ) %#C ( R = X C R. (14) A Equação 12 pode ser resolvida escrevendo-se sinϕ e cosϕ em função de tgϕ na forma: sin" = tan" 1+ tan 2 ", (15) 68

4 e: cos" = 1 1+ tan 2 ". (16) Após substituirmos as relações descritas nas Equações 15 e 16 na Equação 12 e usarmos a Equação 14 obtemos a seguinte relação: V 0 = R 2 + X 2 C = Z, i 0 onde Z é denominado de impedância do circuito e tem dimensão de ohm (Ω). Num circuito de corrente alternada, como mostrado na Equação 17, é a impedância Z o análogo da resistência em corrente contínua. Observe que impedância do circuito agora não é simplesmente a soma da resistência e da reatância capacitiva, mas tem uma nova forma de ser calculada. As Equações 14 e 17 nos permitem imaginar uma representação gráfica para o que, num circuito de corrente alternada, seria equivalente à resistência num circuito de corrente contínua. A impedância do circuito RC é representado por dois eixos ortogonais no plano, o eixo horizontal representando a resistência e o vertical a reatância, que se compõem de forma análoga a um número complexo (ou um vetor), veja Figura 2 abaixo. (17) Figura 2: Representação da impedância Z de um circuito RC como um número complexo. Nessa figura, representamos a reatância capacitiva como um número complexo com a parte imaginária negativa. A explicação para isso vem da definição da impedância complexa que veremos a seguir. Circuitos com correntes alternadas podem ser também tratados pelo formalismo de números complexos. Consideremos um circuito envolvendo apenas um gerador e um capacitor, a voltagem na fonte pode ser escrita como: V g (t) = V 0 sin("t). (18) 69

5 Usando números complexos, e a fórmula de Euler e j" = cos(") + j sin("), podemos escrever para a voltagem no gerador: V g (t) = Im[ V g (t)], (19) com: V g (t) = V 0 e j"t. (20) Para um circuito contendo apenas o gerador e o capacitor, vimos que nesse caso, a corrente é dada por: i(t) = i 0 sin "t + # ' ), % 2 ( (21) com i 0 = ωcv 0. Podemos representar também a corrente em termos de uma função complexa: i(t) = Im[ i (t)], (22) com: i (t) =i 0 e j % "t+ # ' ) 2 (. (23) A equação análoga à lei de Ohm pode então ser escrita para correntes alternadas em termos de números complexos: V i (t) = g (t), Z (24) onde, Z é a impedância complexa do circuito que para este caso é dada por: Z V = g (t) i (t) = V 0 e j"t V 0 "Ce j % "t + # ' ) 2 ( 1 = "Ce j # 2 = 1 j"c = * jx C. Assim, usando o formalismo de números complexos, se soubermos a impedância complexa Z do circuito, podemos obter a corrente no mesmo, usando o análogo da lei de Ohm para correntes alternadas e tomando a parte imaginário de i (t) como a solução procurada. (25) 70

6 A voltagem de pico no capacitor é dada por V 0 C = X C i 0 e a voltagem de pico no resistor por V 0 R = Ri 0. Assim podemos reescrever as Equações 12 e 13 na forma: V 0 R cos" + V 0 C sin" = V 0, (26) V 0 R sin" #V 0 C cos" = 0. (27) Elevando as Equações 26 e 27 ao quadrado e somando-as membro a membro, obtemos: R ( V 0 ) 2 C + ( V 0 ) 2 = V 2 0. Para a diferença de fase ϕ, teremos uma forma alternativa dada por: (28) tan" = V C 0 V. R 0 Da Equação 14 temos que a dependência da diferença de fase ϕ entre a corrente e a voltagem do gerador para um circuito RC pode ser escrita como: (29) tan" = 1 #RC. (30) Na Figura 3 mostramos um gráfico de ϕ em radianos, como função da freqüência angular ω para R=10Ω e C=2,2µF. Observe que para uma melhor visualização da dependência de ϕ com ω o gráfico foi apresentado em escala semi-logarítmica. Para valores de ω tendendo a zero a diferença de fase tende a π/2 e para ω tendendo a infinito ela tende a zero. Figura 3: Dependência, em um circuito RC, da diferença de fase entre a corrente e a voltagem do gerador de sinais. 71

7 4. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS Procedimento I Vamos novamente verificar a Lei de Ohm, desta vez para capacitores. Queremos verificar como se comporta a reatância capacitiva com a freqüência. Para isso vamos montar o circuito da Figura 4 abaixo, usando C = 2.2µF e R = 10Ω. Como fizemos na Aula 6, vamos medir a voltagem no resistor de 10Ω e determinar a corrente através deste resultado fazendo i 0 = V 0 R R. 1) Monte o circuito da Figura 4, ligue os equipamentos e ajuste o gerador (CH1) para um sinal senoidal, com freqüência f 1 =1kHz. Com o osciloscópio, meça o período T 1 com sua respectiva incerteza e determine a freqüência f 1, também com sua respectiva incerteza. Figura 4: Circuito a ser utilizado para a verificação da lei de Ohm em capacitores sujeitos a correntes alternadas. 2) Ajuste a amplitude no gerador para que o valor pico (V 0 B ) da diferença de potencial entre o ponto B e a TERRA no circuito (CH2) seja de 0.3V. Lembre-se de utilizar uma escala apropriada no osciloscópio. Anote esse valor na Tabela 1. Usando um multímetro meça o valor de R e determine a amplitude da corrente que passa pelo circuito, i 0 = V 0 R R. Observação: Para obter melhor resolução e facilitar a tomada de dados, é conveniente que a referência de ambos os canais (GND) seja colocada na linha mais inferior da tela do osciloscópio. Com isso, os valores de V B e V A podem ser medidos simultaneamente. 3) Meça o valor de pico (V 0 A ) da diferença de potencial entre o ponto A e a TERRA (CH1) com sua respectiva incerteza, e anote também o valor na Tabela 1. A partir desses resultados, determine a voltagem de pico no capacitor, V 0 C pela relação V 0 C = A ( V 0 ) 2 B " V 0 ( ) 2. 4) Observe que existe uma diferença de fase ϕ entre os sinais dos dois canais. Meça essa diferença de fase medindo a diferença temporal entre os dois sinais (diferença de tempo entre duas passagens pelo zero nas mesmas condições, por exemplo) e determine o ângulo de fase e sua respectiva incerteza, sabendo que a diferença de fase ϕ é dada por ϕ = ω Δt = 2πfΔt = 2πΔt/T. Na Figura 5 72

8 mostramos um esquema de como a medida da diferença de fase é feita. Nessa figura a diferença de fase é positiva. Figura 5: Formas da voltagem no circuito RC da nossa montagem experimental. A linha contínua representa a voltagem da fonte (V g ), e a linha tracejada a voltagem no resistor (V R ). Como já foi visto, em um resistor a corrente e a voltagem estão em fase. A diferença de fase que está ocorrendo se deve à presença do capacitor. Para este caso ϕ < 0 e tem módulo igual a 0,46π. R= 10Ω, C=2,2µF, V 0 =5V, T=1ms. 5) Repita os itens anteriores ajustando amplitude do gerador para que a voltagem no ponto B vá aumentando em intervalos de 0.1V até completar a Tabela 1. V B 0 (V) i 0 (A) V A 0 (V) V C 0 (V ) " C V0 (V ) 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Tabela 1: Resultados experimentais obtidos com a freqüência f 1 = 1kHz. V 0 C = A ( V 0 ) 2 B " ( V 0 ) 2. 6) Repita todos os itens anteriores para a freqüência de f 2 =5kHz, e complete a Tabela 2. 73

9 V B 0 (V) i 0 (A) V A 0 (V) V C 0 (V ) " C V0 (V ) 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Tabela 1: Resultados experimentais obtidos com a freqüência f 2 = 5kHz. V 0 C = A ( V 0 ) 2 B " ( V 0 ) 2. 74