AULA 45 O OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO

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1 AULA 45 O OSCILADOR HARMÔNICO FORÇADO OBJETIVOS: ESTUDAR O MOVIMENTO HARMÔNICO FORÇADO 45.1 MOVIMENTO HARMÔNICO FORÇADO Este oscilador está na base de um grande número de fenômenos da Natureza e aplicações práticas na vida diária. Ele consiste em um oscilador harmônico (simples ou amortecido) sujeito a uma força externa ( ); Sua equação geral é, portanto: (45.1) em que e. A solução dessa equação depende da função que descreve a força. Nessa aula, discutiremos o caso mais importante que é o de uma força que varia periodicamente com o tempo. Seja então: em que (diferente de!) é a frequência angular de oscilação do módulo da força e é o maior valor que a força pode ter. Com essa expressão, a equação (45.1) fica: (45.2) A solução dessa equação é obtida com a teoria das equações diferenciais e não a discutiremos aqui. Basta sabermos que a solução é constituída pela soma duas funções: a primeira, que corresponde a qualquer um dos casos discutidos do movimento harmônico amortecido, decai exponencialmente com o tempo, de modo que ela só existe no início do movimento. Por isso, ela é chamada de solução transiente. A segunda função permanece durante todo o movimento, sendo conhecida como solução estacionária. Daqui em diante, discutiremos apenas a solução estacionária. A solução estacionária da equação (45.2) é: (45.3) em que: 593

2 (45.4) A equação (45.3) mostra que (a) o oscilador oscila com a frequência da força aplicada ( ) e não com a sua frequência natural ; (b) para uma força de amplitude pelo fator ; dada, a amplitude de oscilação é controlada (c) o deslocamento do oscilador é defasado de um ângulo de fase em relação à força; isto é, quando ela é máxima ou mínima, o deslocamento do oscilador não é nem máximo nem mínimo. O ângulo de fase está compreendido entre e. Para, e ; para, e.; quando, o deslocamento está atrasado em relação à força de Ressonância Quando, e a amplitude tem seu valor máximo: (45.5) onde usamos a igualdade na última expressão. Vemos, com essa expressão, que o oscilador se comporta como se a força de restauração da mola não existisse (não há o fator na expressão) e seu movimento fosse influenciado apenas pela força de atrito. Quanto menor, menor é o atrito e maior é a amplitude de oscilação. A condição é a condição de ressonância do oscilador e o valor de em que isso ocorre, frequência de ressonância. A Figura 45.1 mostra a amplitude do oscilador na ressonância em função da constante de amortecimento. No caso de (não há atrito), a amplitude torna se infinita. Na prática, entretanto, isso não ocorre, pois sempre existe atrito nos processos reais. 594

3 Figura 45.1: A Amplitude na ressonância para vários amortecimentos ( ) A Energia do Oscilador Forçado Quando a força externa atua sobre o oscilador, ela realiza trabalho sobre ele e, portanto, cede energia para ele. A potência instantânea exercida pela força é: ou: A potência varia durante o ciclo. O seu valor médio por ciclo é determinado com a média temporal de em um ciclo. Com, temos: Desenvolvendo o integrando, temos: 595

4 Levando este resultado na integral, obtemos: Fazendo temos: e, para, ; para,. Então: A segunda integral é nula; então: Finalmente: (45.6) Com dado por (4) e dado por (6), obtemos: (45.7) Na ressonância ( ), é máxima e vale, com : que volta a mostrar que, na ressonância, o oscilador se comporta como se não houvesse força restauradora. Para atrito muito pequeno ( ), o gráfico da potência em função de tem um máximo simétrico perto de quando a frequência tem o valor gráfico é uma curva mais fina e maior é o máximo. ; a intensidade cai para a metade do máximo Quanto menor o atrito (menor ), o Para especificar a intensidade e a largura da curva de potência, define se o chamado fator de qualidade do oscilador como: (45.8) 596

5 Figura 45.2: Potência em função de para vários A Figura 45.2 mostra as curvas de potência (em unidades proporcionais à potência) em função de para os valores 2, 5 e 10 do fator de qualidade. Note que o pico é maior e mais estreito para maiores. A ressonância tem um papel fundamental na Natureza e nas aplicações tecnológicas. Por exemplo, um receptor de rádio ou televisão é um circuito elétrico que funciona como um oscilador. Para sintonizar uma emissora, variamos a frequência natural de oscilação do circuito ( ) de modo que ele fique em ressonância com a frequência do sinal enviado pela emissora (cada uma delas opera emitindo ondas de rádio ou de televisão com uma dada frequência. Um outro exemplo consiste em evitar que construções como torres pontes e até mesmo edifícios (que possuem uma frequência natural de oscilação) não tenham problemas por entrar em ressonância com vibrações causadas por forças externas, tais como marés, ventos etc. (A torre Eiffel oscila com amplitude de cerca de 9cm com ventos fortes). Como não podemos mudar a frequência natural de vibração dessas estruturas, procuramos evitar a ressonância aumentando o atrito ( ), o que diminui o fator de qualidade e a amplitude da oscilação. 597