PRÁTICA 11: LEI DE HOOKE E OSCILADOR MASSA-MOLA MOLA

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1 PRÁTICA 11: LEI DE HOOKE E OSCILADOR MASSA-MOLA MOLA O entendimento de determinados tipos de forças, como a força de uma mola sobre um corpo, é a chave para a compreensão do mundo quântico. Por exemplo, o comportamento vibracional das ligações químicas covalentes (em que ocorre a superposição de orbitais de cada átomo, originando funções de onda que descrevem a ligação química em termos de orbitais moleculares) pode ser aproximado a um sistema massa-mola formado por dois corpos unidos por uma mola. Neste caso, a posição dos dois átomos oscila a uma determinada frequência que, se ocasionar alteração no momento dipolar na molécula, pode ser facilmente detectada incidindo, sobre o material, energia eletromagnética na região do espectro infravermelho: determinadas frequências de vibração entre dois átomos ligados (que estão relacionadas com uma constante de mola ) são absorvidas pela ligação (ou seja, a energia eletromagnética interage com a matéria em quantidades definidas de energia, ou pacotes de intensidade h, sendo h a constante de Planck e a frequência), enquanto outras são transmitidas. Esse princípio é a base fundamental da detecção de moléculas orgânicas e na caracterização de compostos de coordenação, dentre outras aplicações. A abordagem matemática que descreve a força de uma mola é dada pela Lei de Hooke: = (1) sendo () a força que a mola exerce sobre o bloco a fim de restaurar o equilíbrio, a constante de mola (/) e o deslocamento () a partir do ponto de equilíbrio (Figura 1). O sinal negativo da equação indica que a força que a mola exerce tem como objetivo restaurar o sistema para a sua posição de equilíbrio (=0) e sempre estará com a mesma direção, mas sentido contrário ao movimento do corpo. Como pode ser observado, a força é proporcional ao deslocamento pelo termo. Convém ressaltar, entretanto, que apenas em sistemas ideais a constante de mola é constante, visto que em apenas pequenas elongações a equação (1) se aplica (o que ainda depende da mola sendo empregada nos experimentos). Para fins práticos, estaremos considerando a mola como sendo ideal quando realizarmos pequenas deformações a partir do ponto de equilíbrio.

2 Figura 1. Oscilador massa-mola mola em diferentes posições do bloco em (a-c). A força é proporcional ao deslocamento,, só que com o sinal invertido. Em =,, a mola está em seu estado de equilíbrio. Com base na lei de Hooke, podemos determinar a constante de mola utilizando variados corpos de massas diferentes. Basta acoplar a mola a um sistema vertical, medir a posição de equilíbrio (desprezando a elongação causada na mola pelo seu próprio peso), acoplar a massa na mola e medir novamente a deformação. A variação do tamanho da mola é o deslocamento. Realizando outros ensaios utilizando massas diferentes podemos construir um gráfico do tipo deslocamento massa e determinar. Neste caso, sabendo que no equilíbrio a força gravitacional será igualada à força da mola: = = = (2) ou seja, ao plotar um gráfico de deslocamento versus massa, o coeficiente angular da reta de regressão (=+) será =/. Conhecendo-se 9,8 /, pode-se determinar o valor de. Se retirarmos o sistema de sua estabilidade inicial (que consiste em fornecer energia externa), deslocando, por exemplo, a massa para baixo do ponto de equilíbrio, a força restauradora da mola tentará trazer a massa novamente ao ponto em =0. Se a elongação não for grande o suficiente para que a mola não saia da idealidade, o bloco começará a oscilar em movimento periódico em torno do ponto do equilíbrio, com variações na posição, velocidade e aceleração. Como o copo possui aceleração, pela segunda lei de Newton, deve existir uma força resultante atuante no corpo, que é a própria força da mola: = = (3) sendo = e a posição da massa (horizontal ou vertical) em função do tempo. do corpo: Por meio da relação (3) pode-se encontrar a equação diferencial que descreve a posição

3 +=0 (4) Cuja solução é uma função periódica do tipo senoidal, neste caso uma função cosseno: = cos +ɸ (5) Sendo ɸ a constante de fase que pode ser determinada nas condições iniciais do experimento, ou seja, em 0. Esta equação é exatamente a mesma que descreve o movimento harmônico simples (MHS), ou seja, um oscilador massa-mola obedece à descrição matemática de um MHS quando as condições da lei de Hooke forem mantidas. Realizando a primeira e segunda derivada da relação (5), chegamos às relações que descrevem a velocidade (6) e a aceleração (7): = = +ɸ (6) = = = cos+ɸ= (7) Reescrevendo a relação (3) com a aceleração (7), encontramos: = = (8) O que nos permite afirmar que o MHS é causado por uma força restaurada proporcional ao deslocamento. Comparando termo a termo a igualdade em (8), podemos encontrar a expressão para a frequência angular de um oscilador massa-mola: = = (9) ou seja, para uma mesma mola, a frequência angular depende da massa acoplada. Como =2, o período da oscilação de um sistema massa-mola é dado por: =2 (10)

4 Desta forma, a constante de mola também pode ser obtida por outro método. No primeiro caso, em que essa constante é encontrada pelo ponto de equilíbrio, o método é conhecido como método estático. Neste último, fazendo o sistema oscilar em torno de um ponto de equilíbrio (no caso, na posição vertical, desconsiderando a elongação causada pela massa da mola e pela massa do corpo acoplado), o método é conhecido como método dinâmico. No último método, podemos coletar os dados de período ao quadrado em função da massa acoplada: = (11) O coeficiente angular da relação linear (=+), será =4. Novamente, se conhecendo o valor de ( ), podemos encontrar. Nesta prática, estaremos determinando por ambos os métodos e comparando os resultados. Também estaremos estudando a combinação de duas molas e utilizando a lei de Hooke para compreender o comportamento vibracional de ligações covalentes. OBJETIVOS: Determinar a constante de mola pelos métodos estático e dinâmico. Estudar a combinação de duas molas em série e visualizar, macroscopicamente, o comportamento vibracional de ligações covalentes. MATERIAIS: Trilho de ar com dois carrinhos / massas acopláveis / suporte de madeira / corpos de diferentes massas / molas / régua / cronômetro. PROCEDIMENTO: Parte 1. Método estático a. Meça as massas (em kg), em separado, dos diferentes corpos. b. Acople a mola 1 no suporte de madeira na posição vertical. c. Meça, com uma régua, o tamanho da mola em sua posição de equilíbrio (1) e anote na Tabela 1. d. Acople a primeira massa na mola e meça novamente com o auxílio da régua o tamanho da mola (2). A diferença 2 1 será a deformação. e. Anote o valor de (em metros) na Tabela 1. f. Repita o procedimento de c-e mais três vezes para encontrar o desvio na medida. g. Refaça os procedimentos de c-f utilizando os outros quatro corpos de diferentes massas.

5 h. Monte o gráfico de (m) em função da massa (kg) do tipo dispersão. Qual o formato do gráfico? i. Calcule os erros totais de para cada medida utilizando as diferentes massas. Considere o erro da régua de 0,5 mm. j. Estime o valor de pelo MMQ com desvios diferentes para cada valor de. Propagando o desvio do coeficiente angular, encontre o desvio em 1 e represente o resultado como 1=1 ± 1 Tabela 1). 1 Modelo de tabela para registrar dados d do deslocamento (em metros) da mola 1 em função da massa (em kg) acoplada. Massa (kg) = = = = = Medida () ( x1 x2 x3 x Média padrão padrão da média total X5 k. Refaça todos os procedimentos de b-l para a mola 2. Anote os dados na Tabela 2, e determine a constante 2 na forma 2=2 ± 2. Tabela 2). Modelo de tabela para registrar dados do deslocamento (em metros) da mola 2 em função da massa (em kg) acoplada. Massa (kg) = = = = = Medida () ( x1 x2 x3 x Média padrão padrão da média total X5

6 Acoplamento de duas molas em série. Duas ou mais molas (de constantes 1, 2,, etc.) podem ser combinadas para formar uma mola equivalente com um valor de (Figura 2), diferente das originais, mas guardando uma relação matemática entre elas. Neste caso, quando elas são combinadas em série quando uma massa m é acoplada no sistema (Figura 2b), a mesma intensidade de força atua em ambas as molas. l. Combine as molas 1 e 2 em série e refaça os procedimentos de b-l para determinar a constante com os respectivos erros ±. Anote os dados na Tabela 3. m. Por meio dos resultados obtidos, verifique se existe uma relação entre 1, 2 e para a combinação em série. Figura 2. a) Combinação de duas molas em série. b) Quando uma massa é acoplada ao sistema, a mesma força atua em ambas as molas, destorcendo-as com diferentes valores de e,, dependendo das constantes e.. Essa combinação pode ser descrita coma uma mola equivalente de constante, com deslocamento =+. Tabela 3). Modelo de tabela para registrar dados do deslocamento (em metros) da combinação em série das molas 1 e 2, em função da massa (em kg) acoplada. Massa (kg) = = = = = Medida () ( x1 x2 x3 x Média padrão padrão da média total X5

7 Parte 2. Método Dinâmico n. Para uma das massas utilizadas no método estático, acople-a na mola 1 utilizada na parte 1 e forneça uma pequena amplitude (anote o valor em metros) para fazer o sistema oscilar. Meça o tempo (em segundos) de 20 oscilações para encontrar o período (=/20) correspondente àquela massa. o. Faça a medida novamente mais três vezes para obter a média e o desvio total. Utilize a Tabela 4 como modelo para anotar os seus dados. p. Refaça os procedimentos e para as outras quatro massas. Utilize o mesmo valor da amplitude obtida em. q. Propague os desvios no tempo para o período e, depois, para o período ao quadrado. Note que para cada valor de massa, existirá um desvio diferente. r. Plote os dados na forma de versus. s. Como para cada valor em ( ) existe um erro diferente, utilize o MMQ apropriado para determinar a constante com o respectivo desvio ±. t. Compare com o valor obtido no Método Estático (Parte 1). u. Considerando que em 0= no experimento, calcule o valor de ɸ. Lembre que = cos +ɸ. v. Utilizando o Excel e por meio dos resultados obtidos de e ɸ, faça os gráficos de, e, do tempo de 0 até 5. Discuta o formato de cada um deles. Tabela 4.. Modelo de tabela para registrar dados do tempo (em segundos) em função da massa (em kg) acoplada. = = = = = = Medida n Média -padrão -padrão da média Total

8 Nota 1. Para o cálculo da incerteza de, utilize o MMQ com os desvios das medidas de deslocamento. Neste caso, o conjunto de dados será na forma: 1,1± 1 2,2± 2 3,3± 3...,...,± Sendo que para cada medida haverá um erro total diferente ( ). Os coeficientes da regressão linear (=+ devem ser obtidos utilizando as relações: = 1 1 = 1 = 1 Os desvios nos coeficientes angular ( ) e linear ( ) são obtidos utilizando as seguintes equações: Fórmulas = 1 1 Cálculo da média = 1 = 1 Cálculo do desvio padrão = 1 1 padrão da média (erro estatístico) = Cálculo do desvio total ±Δ = + = Referências Halliday, Renick, Walker. Fundamentos de Física, v. 1 e 2. Editora LTC, 6 edição Robert M. Silverstein; Francis X. Webster; David J. Kiemle. Identificação espectroscópica de compostos orgânicos. Editora LTC, 7 edição