MODELAGEM MATEMÁTICA DAS OSCILAÇÕES DE UM PÊNDULO

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA DAS OSCILAÇÕES DE UM PÊNDULO ROSSATO, Jéssica Helisa Hautrive; BISOGNIN, Eleni. Trabalho de Iniciação Científica, BIC- FAPERGS Curso de Engenharia de Materiais do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria, RS, Brasil Curso de Matemática do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria, RS, Brasil RESUMO Nesse trabalho são apresentados resultados de uma pesquisa em nível de Iniciação Científica desenvolvida utilizando-se a metodologia da Modelagem Matemática. Foi construído o modelo matemático que descreve as oscilações de um pêndulo. De modo geral a construção de modelos matemáticos nos conduz ao estudo das equações diferenciais ordinárias que são as ferramentas mais útieis para descrevê-los. Para elaboração do modelo foram utilizadas as equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e conceitos relacionados ao Movimento Harmônico Simples. Foram seguidos também os passos da Modelagem Matemática para sua constução. Palavras-chave: Modelagem matemática; Pêndulo; Oscilações; MHS; 1. INTRODUÇÃO A Modelagem Matemática é uma metodologia utilizada para construir e estudar modelos representativos de fenônemos naturais, físicos ou sociais. Por meio deles e da análise da solução podemos fazer previsões, otimizar resultados. e observar a validade e funcionalidade. Segundo Bassanezi (2002, p. 16), Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolve-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. De acordo com o autor, para a construção de um modelo matemático devem ser seguidas as seguintes etapas: escolha do tema, levantamento de dados, formulação matemática do problema, resolução do problema e análise da solução. Para o desenvolvimento deste trabalho foi selecionado o estudo das oscilações de um pêndulo. De acordo com Bassanezi e Ferreira (1988), iniciou-se, preliminarmente, com o estudo do movimento harmônico simples, pois, esse conhecimento é essencial na 1

2 compreensão de uma variedade de fenômenos físicos. Ele serve de base para o estudo de um grande número de movimentos como as oscilações de uma mola, de um pêndulo ou o estudo de ondas magnéticas. Em seguida foi modelado o movimento do pêndulo com pequenas oscilações, que tem relação com o movimento harmônico simples, utilizando-se a teoria das equações diferenciais. Para determinação do modelo matemático seguiu-se as as ideias de Figueiredo e Neves (1997), e as etapas descritas por Bassanezi (2002) para obtenção do modelo, quais sejam: levantamento de dados; problematização e construção do modelo matemático; solução do modelo e análise da solução. 2. A CONSTRUÇÃO DO MODELO O moviemnto harmônico simples é descrito por uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, da seguinte forma: (1) Nesse estudo, partimos de um corpo rígido representados pelos seus centros de massa. Os corpos são representados por uma função que nos dá o vetor posição x(t) para cada instante t. A representação da posição é dada por (2) Temos que a velocidade do corpo é dada pela derivada da posição (1), ou seja, (3) Partindo da equação (3), obtemos a aceleração do corpo rígido. (4) Utilizando a segunda Lei de Newton, que estabelece a relação da massa do corpo com sua aceleração obtemos a força aplicada sobre o corpo. 2

3 (5) A força F é a resultante das forças aplicadas no corpo rígido no mesmo instante t. Como podemos prever as forças atuantes no corpo, temos que a equação (5) é uma equação diferencial para o movimento. (6) Seguindo as idéias de Figueiredo e Neves (1997), analisamos o comportamento do corpo rígido de massa m (constante), restrito a certo movimento (horizontal ou vertical) e sob a ação de três forças: I. Uma força que tende a restaurar o equilíbrio em x=0 que é uma função do deslocamento. II. Forças de atrito, ou seja, forças constantes que atuam contrário ao movimento ou uma força de resistência. III. Força externa conhecida como (t) que é exercida sobre o corpo e depende apenas do tempo. A segunda Lei de Newton nos da a relação entre o movimento e a força resultante descrita pela equação diferencial linear: (7) Esta é a equação geral para movimento harmônico simples que pode ser utilizada para o estudo de diversos fenômenos físicos AS PEQUENAS OSCILAÇÕES DE UM PÊNDULO SIMPLES Um pêndulo simples é um corpo ideal com massa m constante suspenso por um fio inextensível de comprimento l e com massa desprezível. Quando afastado da sua posição 3

4 de equilíbrio e solto, ele oscila com a ação da gravidade. A partícula de massa m está restrita a se movimentar sobre um círculo. Ele se comporta igual ao movimento harmônico simples e o modelo é descrito por uma equação diferencial linear. Tanto o pêndulo simples com pequenas oscilações como o movimento harmônico simples estão relacionados com a Lei de Hooke. Na Figura 1, a seguir, é mostrado um pêndulo simples de massa m presa num fio de comprimento l. Figura 1: Pêndulo simples. As forças atuantes no corpo são a força peso e a força de tração do fio conforme representadas na Figura2. T x P Figura 2: Forças atuantes no pêndulo simples. Para determinarmos o modelo matemático que descreve o movimento do pêndulo consideramos que o deslocamento do pêndulo é dado por x = l sen, onde é o ângulo que o fio faz com o eixo vertical e l é a distância do ponto de suspensão do fio. Quando o pêndulo é afastado de um ângulo da sua posição de equilíbrio, a força que tende a levá-lo 4

5 à sua posição inicial,também denominada de força restauradora, é a componente tangencial do peso, ou seja, em que m é a massa e g indica a gravidade Para pequenas oscilações, isto é, quando o ângulo é pequeno, a diferença entre e sen também é muito pequena, portanto, podemos escrever Como x = l considerando que sen próximo do ponto de equilíbrio, devido às oscilações do pêndulo serem pequenas, decompondo as forças atuantes no sistema obtemos: (8) Portanto (9) Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, resulta substituindo (10) em (9) temos uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma. (10) (11) Indicando a freqüência angular do movimento do pêndulo por substituindo em (11) resulta a seguinte equação: g w e l (12) Que é o modelo matemático que descreve o movimento de um pêndulo simples para pequenas oscilações. 5

6 Resolvendo esta equação diferencial e chegarmos que as funções que satisfazem (12) são cos(wt ) e sen (wt), portanto a solução geral é dada por: (13) Como para t = 0, = 0 sendo 0 o ângulo inicial, resulta que as constantes A e B assumem os seguintes valores, A= 0 e B=0, portanto a equação do movimento do pêndulo é da forma E o período das oscilações é dado por Isto significa que as pequenas oscilações demoram sempre o mesmo tempo isto é, são isócronas, e o período de oscilação do pêndulo não depende da massa, mas depende somente do comprimento do pêndulo. 3. CONCLUSÃO Nesse trabalho foi utilizada a Modelagem Matemática para o estudo das oscilações de um pêndulo simples. O processo de obtenção do modelo foi desenvolvido seguindo as etapas da metodologia da Modelagem. Utilizou-se as equações diferenciais ordinárias lineares, de segunda ordem, para representar o modelo matemático e foram utilizados seus métodos específicos de solução. A análise dos resultados obtidos e validação do modelo deu-se de modo teórico de acordo com resultados constantes na literatura. 6. REFERÊNCIAS BASSANEZI, R. C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. 2ª Ed. Contexto: São Paulo, BASSANEZI,R. C., FERREIRA, W. C. Equações Diferenciais com Aplicações. Harbra: São Paulo, FIGUEIREDO, D. G. de; NEVES, A. F. Equações diferenciais aplicadas. IMPA: Rio de Janeiro,

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