(Versão 2014/2) (b) (d)

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1 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (Versão 2014/2) 1. INTRODUÇÃO Um dos movimentos mais importantes que observamos na natureza é o movimento oscilatório. Chamado também movimento periódico ou vibracional. Em geral, uma partícula oscila quando se move periodicamente em relação a uma posição de equilíbrio (Figura 1a e 1b). Esse movimento oscilatório esta presente em nosso cotidiano em suas diversas formas, (veja exemplo da figura 1c e 1d). (a) (b) (c) (d) Figura 1. MHS ao redor do ponto de equilíbrio o de um pêndulo simples (a), e de um sistema mola-massa (b). Exemplos do MHS: (c) a deflexão dos elétrons dentro de um tubo de raios catódicos de um osciloscópio é defletida harmonicamente, (d) A molécula de água é polar e tem uma oscilação natural periódica. De todos os movimentos oscilatórios, o mais importante é o movimento harmônico simples, já que constitui uma aproximaçãoo a muitas oscilações encontradas na natureza, alem de ser um movimento muito simples de descrever matematicamente. Para uma compreensão e um domínio completo desta matéria, espero do leitor um conhecimento prévio de matérias tais como vetores, dinâmica de uma partícula, as leis de Newton, dinâmica de corpos sólidos, centro de massa de um solido, momento de inércia, e teorema de Steiner. 2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES Quando uma partícula realizaa movimento harmônico simples (MHS) ao redor do ponto O (figura 2), o deslocamento x da partícula em função do tempo t esta definida pela equação: Figura 2. Partícula realizando movimento harmônico simples

2 = + (1) Onde: +: fase, cuja unidade deve estar em rad. : fase inicial (t = 0) : Amplitude (deslocamento máximo a partir da origem) : freqüência angular, onde []=rad/m Observamos que x também pode se expressar de forma de cosseno e independente da função usada, o movimento repete depois de um período T, de modo que =2. Além disso, o período T também esta relacionado com a freqüência de oscilação: = ; onde = (2) A velocidade da partícula fica determinada derivando o deslocamento x em relação do tempo, veja equação 3. Observe, na equação, a velocidade máxima da partícula oscilante é. = = + (3) Similarmente, a aceleração da partícula é obtida calculando a derivada da velocidade em função do tempo. Isto é: = = + (4) Observe desta ultima equação que é a aceleração máxima da partícula. Alem disto, observe no MHS, a aceleração é sempre proporcional e oposta ao deslocamento. = (5) A figura 3 mostra as representações gráficas do deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo t. Problema resolvido Uma partícula realiza MHS sobre o eixo x, segundo a equação: xt=1,0cm.cos2π rad s t+ π 2 rad (a) Calcule o deslocamento desse movimento em t = 3 s. (b) Calcule a velocidade da partícula em t = 3 s. (c) Calcule a aceleração da partícula em t = 3 s. (d) Determine a fase do movimento em t = 3s. (e) Qual é a frequência desse movimento em t = 3s Solução: - 2 -

3 Observe da equação a descrição do MHS da partícula: a amplitude =1,0cm, a frequência angular =2π e a fase inicial =π rad. xs=1,0cm.cos2 s+ rad=1,0 = 1,0 =1,0 2 rad s cos2 + 2 =0 = = 2 1,0cm= A fase em 3s é obtida através do seguinte calculo: 2 rad s s+ 2 rad=1 2 Como =2=2, consequentemente: =1 Figura 3. Representação gráfica do movimento harmônico simples. (a) deslocamento versus tempo, (b) velocidade versus tempo, e (c) aceleração versus tempo. Repare que dado um tempo a velocidade esta fora de fase com o deslocamento em 90º, e a aceleração esta fora de fase em 180º em relação ao deslocamento

4 3. DINÂMICA DE SISTEMAS OSCILANTES Existem diferentes tipos de forças que dão origem a um MHS. Obviamente, essas forças obedecem à segunda lei de Newton (= ), e estão relacionadas com a posição, segundo a equação 5: = (6) Observa-se a proporcionalidade entre a força e o deslocamento (equação 6), porém os vetores estão dispostos em sentidos opostos. Definindo =, como constante elástica, a força no MHS será: = (7) Por tanto, a força sempre aponta na origem 0, veja figura 2, e é denotado como ponto de equilíbrio dado que =0 (para o deslocamento x = 0). Podemos concluir também que F é uma força atrativa, sendo o centro da atração o ponto 0. Considerando a constante elástica, o período e a freqüência de oscilação da partícula realizando MHS serão: = =2 (8) = (9) Por outra parte, fazendo uso da força elástica presente no MHS e desenvolvendo a segunda lei de Newton = = Nós temos a equação diferencial de segundo ordem: Ou seja: + =0 + =0 (10) Esta equação freqüentemente é chamada equação diferencial característica do MHS de segundo ordem, cujo coeficiente do deslocamento define. Em outras palavras, aplicando a segunda lei de Newton em qualquer sistema físico que realiza MHS, conseguimos a equação diferencial característica do MHS, e consequentemente a freqüência. A solução da equação 10 são funções de. A seguir, veja as diferentes formas de soluções dessa equação: = + (11) = + (12) - 4 -

5 = + (13) = + (14) Em cada uma das soluções equações 11-14, observamos um par de constantes de integração e são calculados a partir das condições iniciais do MHS. Por exemplo, da solução 11, a amplitude A e fase inicial são determinadas a partir das condições iniciais, tais como: =0= ; =0= ou; =0= ; =0= ou; =0= ; =0= Nesta disciplina de Oscilações e Ondas utilizaremos as três primeiras soluções (equações 11-13) de todas as diferentes formas de solução citadas acima. Problema resolvido: Calcule as constantes Amplitude A e fase inicial da solução do MHS conhecendo as condições iniciais. Solução: Partindo da solução da equação do MHS: = +, nós temos: =, e = Destas duas avaliações, calculamos a fase inicial e a amplitudes: tan= ; e = Se a partícula se encontra na posição de equilíbrio iniciais e logo depois recebe um impulso com velocidade inicial, a fase inicial será =0, e a amplitude =. Exercício: Calcule o par de constantes da solução 12, quando a condição inicial é: (a) =0= ; =0= (b) =0= ; =0= (c) =0= ; =0= Exercício Calcule o par de constantes da solução 13, quando a condição inicial é: (d) =0= ; =0= (e) =0= ; =0= (f) =0= ; =0= - 5 -

6 3.1.- Sistema Massa - mola Em equilíbrio a mola não exerce força no objeto de massa M. Quando objeto é deslocado de uma distancia x a partir de sua posição de equilíbrio, a mola exerce uma força Kδ, onde δ é a deformação e K é a constante elástica da mola. De acordo com a lei de Hooke: =. Figura 4. O deslocamento x do objeto a partir do ponto de equilíbrio é positivo se a mola for estendida e negativa se a mola for comprimida. Observe que a posição x da partícula coincide com a deformação da mola (=). Por outra parte, como estamos interessados em encontrar a equação característica de MHS para o sistema massa-mola, aplicaremos a lei de Hooke na segunda lei de Newton do sistema: Portanto: + =.=..=0 (15) Conseguida a equação característica de MHS, identificamos a freqüência natural de oscilação é = O pêndulo simples O pêndulo simples é um tipo de oscilador harmônico constituído de um corpo cuja massa m unido a um ponto fixo o, através de uma corda inextensível de comprimento l, veja figura 5. O MHS realizado pelo pendulo acontece em casos em que o ângulo é pequeno. Estudemos agora o movimento deste sistema. Ou seja, nosso objetivo primário é calcular a freqüência depois de encontrar a equação característica de MHS deste pêndulo. Método 1: Fazendo uso da Segunda lei de Newton para forças tangenciais A partícula se move segundo a trajetória de um arco de raio l. As forças que agem sobre a partícula são o peso mg e a tensão T, ao longo da corda. Observamos da figura, a componente tangencial da força F t, que esta dado por: = Onde o sinal menos se deve a que a força aponta em sentido contrario ao deslocamento. A equação do movimento tangencial será: = = Com a aceleração tangencial esta relacionada com a aceleração angular = =, a equação de movimento Figura 5. Pêndulo simples de comprimento l, oscilando ao redor do ponto fixo o

7 tangencial será: + =0 Considerando o ângulo pequeno, então a amplitude das oscilações também é pequena, em conseqüência. Com isso a equação de movimento será: + =0 (16) Método 2: Fazendo uso da Segunda lei de Newton para o movimento angular Considerando I o o momento de inércia do pendulo, e sabendo o torque devido à tensão da corda é 0 e devido ao peso da partícula é =, obtemos a equação de movimento a partir da segunda lei de Newton para um movimento angular: = = (17) = Onde é o vetor unitário paralelo ao eixo de giro perpendicular ao plano descrito pelo pendulo e que passa por o, cujo sentido é saindo desta folha. Considerando novamente ângulos pequenos de, então. Por tanto, temos o mesmo resultado de equação de movimento do pendulo simples (equação 16), com frequência angular =. O período de oscilação = =2 do pendulo não depende da massa m do corpo, depende somente do comprimento l da corda e da aceleração da gravidade g O pendulo físico No pendulo físico articulado em 0 e com centro de gravidade em G, figura 6. O torque devido ao peso mg é: = Enquanto ao momento angular, tem-se: = Novamente, sem perder o foco, nosso objetivo neste sistema é calcular a freqüência angular de oscilação. Diante disso, a partir da segunda lei de Newton do movimento angular (equação 13), e das duas relações anteriores nós temos: Figura 6. Pêndulo físico. = - 7 -

8 Para deslocamentos angulares pequenos, a equação anterior logra a forma seguinte: + =0 (18) Novamente, nós estamos obtendo uma equação diferencial de segundo ordem, onde a partir da freqüência angular ( = ), tem-se o período de oscilação: =2 (19) 4. ENERGIA NO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES Fazendo uso da equação 3, a energia cinética E c de uma partícula em MHS é: = 1 2 = = = (20) Observação: a energia cinética máxima na posição =0, e a energia cinética mínima na posição =±. Por outra parte, para obter a energia potencial lembremos a equação = e da força envolvida (= ) em partículas realizando MHS = Integrando: = Ou: = = (21) Observação: a energia potencial é máxima em =±, e mínima em =0 Somando os resultados das equações 20 e 21 relacionadas à energia cinética (E c ) e à energia potencial (E p ), tem-se: + = (22) - 8 -

9 Observação: a energia total do oscilador harmônico é constante. Isto era esperado, já que a força envolvida nesse tipo de movimento é conservativa. A energia total do oscilador é uma constante de movimento alem das outras já conhecidas como a aceleração da gravidade. Na figura 5, observa-se um intercambio freqüente entre a energia cinética e potencial, segundo a posição do deslocamento. Alem disso, observa-se no gráfico Ep versus x, a orientação da força elástica a partir da equação: =. Figura 7. Representação gráfica da energia potencial e cinética de um oscilador harmônico simples em função (a) do deslocamento, (b) e do tempo. Movimentos oscilatórios próximos ao MHS O movimento harmônico simples é um modelo para uma ampla variedade de fenômenos físicos. Por exemplo, na estrutura de um sólido cujos átomos estão arranjados simetricamente. Entre eles existe apresenta-se vibrações de um átomo em relação a outro. A energia potencial em relação à distancia entre os átomos é mostrado na figura 6. O interessante do estudo do movimento dos átomos que apresentam essas características é que elas podem se aproximar ao MHS, próximos à posição de equilíbrio r o

10 Figura 8. Gráfico da energia potencial entre dois átomos de um sólido. Os átomos movimentando-se próximos à posição de equilíbrio têm um comportamento quase de MHS. 5. Relação entre o MHS e o movimento circular Existe relação entre o movimento circular uniforme e o MHS, a qual pode ser observada fazendo uso do movimento circular uniforme de uma partícula, tal como é mostrado na figura 7. Si consideramos que a partícula inicia seu movimento em t=0s, então o vetor posição da partícula será: = + Considerando agora a projeção da partícula sobre o eixo x: = O aluno pode reparar que tal projeção esta realizando MHS. Alem disso, podemos ver o radio que descreve a partícula vem ser o valor da amplitude A da projeção de tal partícula

11 Figura 9. A projeção do vetor R sobre o diâmetro, que pousa no eixo x, descreve um movimento harmônico simples