Aula IV. Representação gráfica e regressão linear. Prof. Paulo Vitor de Morais

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1 Aula IV Representação gráfica e regressão linear Prof. Paulo Vitor de Morais

2 Representação gráfica A representação gráfica é uma forma de representar um conjunto de dados de medidas que permite o estudo do comportamento das grandezas físicas envolvidas nessas medidas; A abordagem gráfica, além de fornecer rapidamente o comportamento do sistema de forma visual, permite obter maiores informações do objeto em estudo; A partir da representação gráfica de uma função é possível fazer a conexão entre duas ou mais grandezas físicas;

3 esse contexto, temos que levar em consideração duas grandezas físicas: Grandezas independentes; Grandezas dependentes; Velocidade Dependente Tempo Tempo é uma grandeza independente

4 A representação gráfica pode ser do tipo: pizza ;

5 Coordenadas cartesianas. esse caso é um gráfico de dispersão; Barras;

6 Coordenadas polares; Coordenadas esféricas; Entre outras; o caso do gráfico de dispersão, temos: Volume de efluente grandeza dependente; Hora grandeza independente; Logo, o volume de efluente foi coletado em função do tempo; A variável dependente é representada no eixo das ordenadas (y), e a variável independente no eixo das abcissas (x); É possível observar que temos o volume aumentando de forma linear em função do tempo; Dessa forma, podemos traçar uma reta de função do tipo f x = ax + b; a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear;

7 Traçando a reta, temos: O volume coletado em função do tempo fornece a vazão do líquido; V m3 volume m3 = t tempo h Essa informação pode ser extraída do conjunto de dados; Porém, ela pode ser obtida mais facilmente pela representação gráfica por meio do coeficiente angular; Logo, utilizando uma função linear é possível representar o conjunto de dados e estimar a vazão (considerando a vazão constante);

8 Para se chegar à melhor reta que representa conjunto de dados em um gráfico é necessário obter os valores dos coeficientes angular (a) e linear (b);

9 Coeficiente angular O coeficiente angular e linear podem ser obtidos da seguinte forma: a = y x Ou utilizando um sistema de duas equações e duas variáveis. y 1 = ax 1 + b y 2 = ax 2 + b A constante b pode ser calculada pela equação y = ax + b, sendo os outros valores conhecidos, e também pelo valor da reta que intercepta o eixo x. Isto ocorre quando o valor de x = 0.

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11 Método gráfico: papel milimetrado Um dos papéis mais utilizados para a construção de gráficos é o de escala milimetrada; Ele possui as escalas principais a cada 10 mm e escalas secundárias a cada 1 mm; As escalas principais dependem do conjunto de dados e da dimensão do papel; Para a construção de gráficos nesse tipo de papel é necessário conhecer a orientação em que se vai representar e os valores para as escalas principais;

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13 Por exemplo: Considere o conjunto de dados a seguir: Imagine que a dimensão do papel milimetrado é 180 mm x 280 mm; 1º - verificar a amplitude de valores das escalas para conhecer a orientação a ser utilizada; Considerando a construção a partir da origem, temos: Amplitude no eixo y = = 300 Amplitude no eixo x = 15 0 = 15 Vemos que a amplitude do eixo y é maior. Assim, vamos seguir as regras: Se a amplitude na escala x é maior, devemos trabalhar com o papel na orientação paisagem; Se a amplitude na escala y é maior, devemos trabalhar com o papel na orientação retrato;

14 2º - calculo dos valores para as escalas principais e secundárias; Utilizamos regra de três entre as dimensões do papel e as escalas do conjunto de dados; Para a dimensão de 280 mm x 180 mm, teremos para o eixo x os seguintes cálculos: Para a escala principal: 280 mm equivalem a 300 (unidades de grandeza) 10 mm equivalem a 10,71 (unidades de grandeza) = 11 (arredondando)* *O arredondamento deve ser feito sempre para um valor maior! Para a escala secundária: 10 mm equivalem a 11 (unidades de grandeza) 1 mm equivale a 1,1 (unidade de grandeza) É necessário marcar apenas os intervalos da escala principal;

15 Para o eixo y e para sua escala principal, temos: 180 mm equivalem a 15 (unidades de grandeza) 10 mm equivalem a 0,83 (unidades de grandeza) = 1 (arredondando). Para a sua escala secundária: 10 mm equivalem a 1 (unidades de grandeza) 1 mm equivale a 0,1 (unidade de grandeza) Agora é só construir o gráfico! Quando a função é linear é possível obter o coeficiente angular (a) e linear (b) de uma reta que se ajuste no conjunto de dados a partir da equação: a = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 Já o coeficiente b pode ser obtido usando o valor da interseção da curva com o eixo y;

16 Linearização de equação do tipo y = Ax 2 1) Seja o conjunto de dados que se refere à posição de um objeto, que parte do repouso e adquire aceleração ao longo do tempo (MRUV), os números na tabela abaixo: Tab.1. Posição de um objeto em função do tempo. S(m) t(s) a) Construa o gráfico de S(t) por t em papel milimetrado. Discuta o formato da curva obtida. b) Linearize a função e estime a posição inicial e a aceleração do objeto pelo método gráfico.

17 Observação: Quando se tem uma equação de potenciação da forma: y = Ax 2 sendo A constante, e se quer representar graficamente y versus x fazemos o seguinte: x 2 será chamado de X O gráfico do nosso problema pode ser representado por: S = Ct 2 Logo, para linearizá-lo faremos: T = t 2

18 E o gráfico ficará da forma: Calculando os coeficientes a e b, temos: a = = 4 y = ax + b 104 = b b = b = 4 Comparando com a equação física para a posição em função do tempo para um movimento MRUV: S = S 0 + v 0 t + at2 2 v 0 = 0 S 0 = 4 Temos que a aceleração é: a acel = a. 2 = 4.2 = 8 m/s 2

19 Método gráfico: papel em escala logarítmica Há dois papéis em escala log: mono-log e di-log; São utilizados para representar funções logarítmicas na forma de gráficos; Mono-log A aplicação se dá para funções do tipo: f x = AE x mono-log Aplicando o log em ambos os lados da função teremos: log f = log A + x log(e) (contém uma variável logarítmica) Considerando A e E constantes

20 Esta função: Se parece com essa: log f = log A + x log(e) Y = Ax + B Assim, pode-se plotar um gráfico de log f versus x em um papel milimetrado, com coeficiente angular e linear sendo loga e loge, respectivamente. Isso é a linearização a função log f = log A + x log(e) Para representá-la em um papel mono-log, não é necessário calcular o log(f) mas sim utilizar apenas o valor de f; O cálculo do coeficiente angular é da forma: a = y x = logy 2 logy 1 x 2 x 1 para log na base 10; a = y x = lny 2 lny 1 x 2 x 1 e: para log neperiano;

21 O uso do papel di-log é necessário para funções do tipo: f x = Ax n di-log log f(x) = log A + n log(x) (contém duas variáveis logarítmicas) log A é o coeficiente linear e n é o angular; O gráfico plotado fica da forma log f(x) versus log(x) Isso é a linearização a função log f(x) = log A + n log(x) O coeficiente angular é obtido pelas seguintes equações: a = y x = logy 2 logy 1 logx 2 logx 1 a = y x = lny 2 lny 1 lnx 2 lnx 1 O coeficiente linear pode ser obtido escolhendo uma coordenada da reta no plano do gráfico e substituindo os valores de f(x) e n na equação acima;

22 o papel mono-log e di-log, as escalas se iniciam em 10 e terminam em ;

23 Aula V Método dos mínimos quadrados (MMQ) Prof. Paulo Vitor de Morais

24 MMQ Este método permite obter os coeficientes angular e linear da melhor reta de regressão; Ele se baseia no fato de que a soma dos desvios ao quadrado se aproxima de zero (desvio = V exp V med ); Para a utilização deste método é necessário escrever a função de interesse na forma linear; f x = ax + b

25 Para o cálculo de MMQ, considere: 1ª Considere um conjunto de dados experimentais na forma: T = { x 1, y 1 ; x 2, y 2 ; ; (x n, y n )} 2ª Escrever a função na forma linear f x = ax + b 3ª A soma dos resíduos ao quadrado (SRQ) será: SRQ = n (y i f(x i )) 2 4ª Desenvolvendo a equação observa-se que é possível calcular as constantes a e b da função linear utilizando o sistema: a n n a x i y i + bn = 0 n n n x 2 i y i x i + b x i = 0 Em que n é a quantidade de medidas experimentais feitas;

26 Importante ressaltar que: MMQ só se aplica a sistemas que se comportam linearmente; Para uma função não linear o MMQ não se aplica; Mas basta linearizar a função para utilizar o MMQ;

27 Coeficiente de determinação (r 2 ) É uma medida do ajustamento de um modelo estatístico linear; Seu valor pode variar entre 0 e 1; Quanto mais próximo de 1, mais o modelo estará ajustado ao conjunto de dados observados (ou seja, melhor descrito estará por um modelo estatístico linear); A equação que descreve r 2 é dada por: r 2 = n y i y 2 n y i y 2

28 MMQ com incerteza em y Em um experimento feito repetidas vezes, existirá uma incerteza na variável dependente; Para esse problema, temos duas possibilidades: a) Incerteza em y igual para todas medidas (constante); - Para esse caso utilizamos as seguintes equações para o cálculo dos coeficientes: a = 1 β x i y i x i y i b = 1 β x i 2 y i x i x i y i 2 β = x i 2 x i

29 E para o cálculo das suas incertezas: ( a) 2 = β ( y)2 ( b) 2 = y 2 β x i 2

30 b) Incertezas de y diferentes para cada medida: - Para esse caso utilizamos as seguintes equações para o cálculo dos coeficientes: a = 1 β 1 y i 2 xi y i y i 2 xi y i 2 yi y i 2 b = 1 β 2 xi 2 y i yi y i 2 xi y i 2 xi y i y i 2 β = 1 y i 2 2 xi y i 2 xi y i 2 2

31 E para o cálculo das suas incertezas: ( a) 2 = 1 β 1 y i 2 ( b) 2 = 1 β xi 2 y i 2

32 Exemplos 1. Construa o gráfico completo baseado nos dados apresentados na tabela abaixo e obtenha: x 1 (m) t 1 (s) x 2 (m) t 2 (s) x 3 (m) t 3 (s) x 4 (m) t 4 (s) x med (m) 1 4 1,1 3,9 1,2 3,8 0,9 4,1 2,1 5,1 2,2 5,5 2 5,3 1,9 5 3,2 6,1 3,1 5,9 3,1 5,8 2,9 5,7 4,2 8,5 4,3 8,1 4,5 8,3 4,4 8,2 5 9,1 5,5 9,2 5,2 9,3 5,1 9,2 6,1 10,1 5,9 10,4 5,7 10,7 5,8 10,3 t med (s) a) O coeficiente linear e angular baseado nos valores médios calculados. Faça isso pelo método utilizando a equação f x = ax + b e pelo MMQ. b) Escreva a equação para x(t) ajustada pelos dois métodos.

33 Respostas a) 1ª calcular as médias de x e t; Medida s x 1 (m) t 1 (s) x 2 (m) t 2 (s) x 3 (m) t 3 (s) x 4 (m) t 4 (s) x med (m) t med (s) ,1 3,9 1,2 3,8 0,9 4,1 1,05 3,95 2 2,1 5,1 2,2 5,5 2 5,3 1,9 5 2,05 5,23 3 3,2 6,1 3,1 5,9 3,1 5,8 2,9 5,7 3,08 5,88 4 4,2 8,5 4,3 8,1 4,5 8,3 4,4 8,2 4,35 8, ,1 5,5 9,2 5,2 9,3 5,1 9,2 5,20 9,20 6 6,1 10,1 5,9 10,4 5,7 10,7 5,8 10,3 5,88 10,38

34 2ª construir o gráfico;

35 3ª pela função linear a = s t = 5,88 1,05 10,38 3,95 = 0,75 y = ax + b 5,88 = 0,75. 10,38 + b b = 1,90 4ª pelo MMQ a 6 6 a t i x i + b. 6 = t 2 i x i t i + b t i = 0

36 Medidas x i t i x i. t i 2 t i 1 1,05 3,95 4,15 15,60 2 2,05 5,23 10,72 27,35 3 3,08 5,88 18,11 34,57 4 4,35 8,28 36,02 68,56 5 5,20 9,20 47,84 84,64 6 5,88 10,38 61,03 107,74 21,61 42,92 177,87 338, a a 6 t i x i + b. 6 = t 2 i x i t i + b t i = 0 a. 42,92 21,61 + b. 6 = 0 a. 338,46 177,87 + b. 42,92 = 0 21,61 42,92a b = (1) 6 a. 338,46 177,87 + b. 42,92 = 0 (2)

37 Usando a equação (1) em (2): a. 338,46 177, ,61 42,92a 6. 42,92 = 0 338,46a 177, ,58 307,02a = 0 a = 0,74 b = 21,61 42,92. (0,74) 6 b = 1,69

38 Resposta b) Escreva a equação para x(t) ajustada pelos dois métodos. 1ª pelo método linear y = 0,75. x 1,90 2ª pelo MMQ y = 0,74. x 1,69

39 2. Para o exemplo anterior calcule o coeficiente angular e linear, considerando que há uma incerteza constante para todas as medidas de ±0,01 m para a posição (x). 2 β = t i 2 t i = , = 188,63 a = 1 β t i x i t i x i = 1 188, ,92. 21,61 = 0,74 b = 1 β ( t i 2 x i t i t i x i ) = 1 188,63 338,46. 21,61 42, ,87 = 1,69

40 E para calcular as incertezas dos coeficientes? ( a) 2 = β ( y)2 ( b) 2 = y 2 β x i 2 Teríamos que ter o valor de y.

41 2. Considere os valores da tabela abaixo que são de uma coluna de destilação, os quais podem ser descritos por uma função linear. Utilizando esses dados calcule a vazão de destilação dessa coluna e o volume inicial através do MMQ. Considere a incerteza de V = 125 cm 3. Para resolver, vamos seguir os seguintes passos: 1ª monte uma tabela calculando os valores dos somatórios necessários; 2ª calcular os coeficientes angular e linear; 3ª calcular a incerteza dos coeficientes; 4ª utilizar esses para escrever a equação que representa essa tabela; 5ª fazer a análise dessa equação e interpretar para responder; Tempo (h) Volume (cm 3 )

42 Medidas t i V i 2 t i V i t i a 6 6 a t i V i + b. 6 = t 2 i V i t i + b t i = 0

43 a b. 6 = 0 (1) a b. 63 = 0 (2) b = a 6 819a a = 0 a = 21,19 b = 40,00 V t = 21,19. t + 40,00

44 2 β = t i 2 t i = = 945 ( a) 2 = 1 β ( V i) 2 a = 9,96

45 ( b) 2 = y 2 β t i 2 b = 116,37

46 Assim: a = 21,19 ± 9,96 b = 40,00 ± 116,37 V t = 21,19 ± 9,96. t + 40,00 ± 116,37

47 3. Considere os dados da tabela abaixo que são referentes à equação y = 2Ae Bx. Calcule as constantes A e B pelo MMQ. x y ª Linearizar a equação. 2ª Montar uma tabela com os valores necessários para o uso no MMQ. 3ª Usar o MMQ.

48 1ª lny = ln(2. A) + Bx Y = b + ax x y Y (lny) X (x) Medidas Y i X i 2 x i Y i X i (com lny) , , , , , , ,66

49 5 5 a x i lny i + b. 6 = a x i 2 lny i x i + b x i = 0 a ,35 + b. 5 = 0 a ,66 + b. 15 = 0 b = a , ,35 15a 5 21,35 15a = 0

50 55a 37,5a = 73,66 64,05 a = 0,96 b = 21,35 15a 5 b = 1,38 b = ln2a e b = e ln2a e b = 2A A = eb A = e1,38 2 = 1,99 a = B = 0,96 2

51 4. Considere os dados da tabela abaixo que são referentes à equação y = Ax n. Calcule as constantes A e n pelo MMQ. x 1ª Linearizar a equação. 2ª Montar uma tabela com os valores necessários para o uso no MMQ. 3ª Usar o MMQ. y

52 y = Ax n log y = log A + n log x Y = b + ax Medidas x y Y (logy i ) X (logx i ) logx i. (logy i ) 2 logx i ,85 0,60 0,51 0, ,90 0,70 0,63 0, ,20 1,30 1,56 1, ,45 1,74 2,52 3, ,57 1,95 3,06 3,80 5,97 6,29 8,28 9,37

53 5 5 a logx i logy i + b. 6 = a logx i 2 logy i x i + b logx i = 0 a. 6,29 5,97 + b. 6 = 0 a. 9,37 8,28 + b. 6,29 = 0 b = a. 9,37 8,28 + 5,97 6,29a 6 5,97 6,29a 6. 6,29 = 0

54 9,37a 6,60a = 8,28 6,26 a = 0,73 b = 5,97 6,29a 6 b = 0,23 log y = log A + n log x Y = b + ax Y = log y b = log A log A = 0,23 a = n n = 0,73 X = log x

55 a = n n = 0,73 b = log A log A = 0,23 10 log A = 10 0,23 A = 1,70

56 Estudem este último exercício 5. um experimento sobre Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), um grupo de alunos obteve os seguintes dados: x (m) t (s) a) Divida uma folha de papel milimetrado em duas partes e faça o gráfico x(t) versus t em uma das partes e x(t) versus t 2 e observe as curvas. Explique a diferença. b) Determine os coeficientes angular e linear da reta obtida pelo MMQ e escreva a equação para x(t), ajustada aos coeficientes calculados.