Movimento Harmônico Simples e Amortecido

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1 Movimento Harmônico Simples e Amortecido INTRODUÇÃO Ana Arruda, Caio Monteiro, Lineu Parra, Vitor Rocha Professor: Marcelo Reyes, CMCC Campus Santo André Resumo O estudo dos Movimentos Harmônicos permite o entendimento de fenômenos que se repetem a intervalos regulares de tempo, como o pêndulo de um relógio antigo. Os cálculos do período e freqüência da oscilação são obtidos através de experimentos com os sistemas pêndulo simples e massa-mola, considerando os efeitos causados pela resistência do ar, da água, da constante k da mola, entre outros. As oscilações podem ser observadas através dos movimentos que se repetem como em um pêndulo de relógio antigo ou em barcos ancorados movimentando-se constantemente com as ondas. O estudo do Movimento Harmônico Simples possibilita o melhor entendimento das oscilações. Algumas propriedades são importantes para descrever tais movimentos: a freqüência f (número de oscilações completadas a cada segundo) e o período T, que está diretamente relacionado com a freqüência e é o tempo necessário para uma oscilação completa. A equação que descreve o período é: Qualquer movimento que se repete a intervalos regulares de tempo é denominado Movimento Harmônico. O pêndulo simples é um sistema formado por uma partícula de massa m, pendurada em uma extremidade por um fio inextensível e de massa desprezível que está preso a um suporte na outra extremidade. O sistema massa-mola, que consiste em um bloco de massa m, oscilando verticalmente, preso a uma mola com constante k. Mas com que tudo isso se relaciona no nosso dia a dia?

2 1 Figura 1. O Astronauta Alan L. Bean, durante 2ª uma Missão do Skylab, mede sua massa corporal através de um dispositivo composto por um assento preso a uma mola, oscilando para frente e para trás. O astronauta mede seu período de oscilação na cadeira; A massa é obtida a partir da equação para o período de um sistema massa-mola oscilante: Figura 2. O Edifício Citicorp em Nova York teve uma grande redução de oscilação com o sistema de amortecimento formado por um bloco conectado ao edifício por mola OBJETIVO Medir experimentalmente as oscilações do pêndulo simples e do sistema massa-mola em diferentes situações, para determinar coeficientes de amortecimento e os fatores que influenciam em seus períodos. Onde: T é o período de oscilação; K a constante da mola; m, a massa efetiva do sistema e M a massa do astronauta. Devido à presença de ventos fortes, a oscilação do Edifício Citicorp, em Nova York, é reduzida por um amortecedor bloco móvel conectado ao edifício por molas montado sobre o pavimento superior do edifício. A constante da mola é escolhida de modo que a freqüência natural do sistema bloco mola tenha o mesmo valor que a freqüência natural do edifício. METODOLOGIA Materiais Suporte para colocar o pêndulo Cronômetro Balança semi-analítica 2 pesos com massas diferente com gancho 1 mola de tamanho compatível Fio (nylon ou barbante) Transferidor em escala 1 Recipiente com água Métodos PARTE A Pêndulo Simples Durante a ação do vento, o edifício e o amortecedor oscilam 180 fora de fase um com o outro, resultando em uma significativa redução da oscilação do prédio.

3 b) Obtenção do coeficiente de amortecimento devido à resistência do ar em um pêndulo simples. A constante de amortecimento está relacionada com a amplitude A pela seguinte fórmula: F Figura 3. Montagem experimental do pêndulo simples. a) Fatores que influenciam o período de um pêndulo simples. Um objeto de massa m será suspenso por um fio de massa desprezível e comprimento L, com uma extremidade fixada em um suporte., onde 1/b é chamada de constante de amortecimento e representa, matematicamente, o tempo necessário para que a amplitude seja reduzida de um fator igual a 1/e em relação ao seu valor inicial. A amplitude será medida com o auxilio de um transferidor. Serão considerados intervalos regulares de tempo proporcionais ao período do pêndulo. Será analisada a constante de amortecimento para duas massas diferentes. PARTE B Sistema massa-mola Nessa parte do experimento será medido o período de oscilação em diferentes situações: 1. Diferentes comprimentos de L (L 1 = 20 cm, L 2 = 40 cm e L 3 = 80 cm). 2. Diferentes amplitudes θ (θ 1 = 5, θ 2 = 15 e θ 3 = 45 ). Para minimizar os erros que estariam presentes na medição de um único período, como tempo de reação para acionar o cronômetro, será medido o intervalo de tempo equivalente a 10 T, onde T é um único período. A medição de cada situação diferente será realizada 5 vezes para a determinação do desvio padrão de cada medida. Figura 4. Montagem experimental do sistema massa mola. a) Obtenção da Constante Elástica k de uma mola. A constante elástica k da mola será obtida pelo método estático onde um peso é colocado na extremidade da mola e é medida a variação x no comprimento da mola no estado de equilíbrio. Se a

4 deformação obedece a lei de Hooke então temos que. b) Obtenção do coeficiente de amortecimento devido à resistência da água Teremos, nesse caso, um suporte rígido. Nele uma mola será presa em uma de suas extremidades, e um objeto de massa m 1 será acoplada à outra extremidade. A essa massa m 1 oscilará e seu movimento será amortecido devido a resistência do ar e posteriormente da água. O objetivo será analisar a como a freqüência de oscilação do sistema varia considerando-o amortecido pelo meio, fazendo uso da seguinte fórmula: Onde b é a constante de amortecimento que depende das características, tanto da massa como do líquido onde a mesma estará imersa. A freqüência angular é obtida a partir do período de oscilação. Os dados serão submetidos aos cálculos necessários, a fim de trazer resultados passíveis de interpretação e comparação entre os dois sistemas. RESULTADOS E DISCUSSÃO A. Fatores que influenciam o período do pêndulo simples. A única aceleração que atua em sentido do movimento no caso de um pêndulo simples é, onde θ é o ângulo inicial. Pela segunda lei de Newton,. Como a equação que representa o movimento harmônico é obtemos que o período para pequenas amplitudes em função do comprimento L do fio de massa desprezível é (considerando a aceleração da gravidade constante e igual a ). Para amplitudes maiores que 15 observamos o aparecimento de um fator que multiplica o período. Os dados obtidos são mostrados nas tabelas a seguir: Tabela I. Período de um pêndulo simples medido para diferentes comprimentos de L corrigidos com o centro de massa do peso utilizado (Amplitude de 15 ). Comprimento L 10 T (Média) Desvio Padrão L 1 =22,1 cm 9,60 s 0,10 L 2 =42,1 cm 13,49 s 0,13 L 3 =82,1 cm 18,68 s 0,23 Tabela II. Período de um pêndulo simples medido para diferentes amplitudes θ (Comprimento L = 82,1 cm). Período 10 T Amplitude θ (média) Desvio Padrão Θ 1 =5 18,54 0,17 Θ 2 =15 18,68 0,23 Θ 3 =45 19,04 0,09 Com os dados da tabela 1 fizemos um ajuste não linear e obtivemos a equação com um coeficiente de determinação confirmando que. Para os dados da segunda tabela observamos que os valores esperados eram da ordem de 0,46 s menores do que todos os valores obtidos experimentalmente (Os valores esperados eram 18,03 s, 18,10 s e 18,74 s, respectivamente). Para comparar esses dados teríamos que levar

5 em conta os erros envolvidos e a propagação de incertezas. B. Amortecimento de um pêndulo simples devido à resistência do ar. Apesar de pequena, a resistência do ar faz com que a quantidade de movimento de um pêndulo diminua. Para objetos com massa elevadas é esperado que demore mais para que suas oscilações reduzam até um patamar imperceptível. A amplitude de um oscilador amortecido decai exponencialmente, assim podemos escrever onde 1/b é o coeficiente de amortecimento que depende da resistência do meio, do formato e da massa do objeto. Medindo a amplitude de um pêndulo simples para duas massas diferentes obtivemos os dados que estão representados na forma de gráfico. O coeficiente de amortecimento foi calculado pelo ajuste do gráfico e vale 0,005 para a massa 1 e 0,002 para massa 2. Esses dados comprovam que o amortecimento é inversamente proporcional a massa utilizada, ou seja, quanto maior a massa menor será o amortecimento. Gráfico 2. Amplitude versus período para massa 2. C. Amortecimento de um sistema massamola devido à resistência do ar e da água. A amplitude de oscilação diminui devido à resistência do ar. O mesmo ocorre com a resistência da água, porém devido à diferença de viscosidade entre esses dois meios a amplitude diminui mais rapidamente se a massa estiver oscilando imersa em água. As equações do movimento harmônico amortecido podem ser escritas da seguinte forma: e é a freqüência natural de oscilação do sistema e vale. Duas massas foram utilizadas no experimento, m 1 = 0,056 Kg e m 2 = 0,112 Kg. A constante elástica da mola foi obtida a partir da deformação produzida por essas duas massas, x 1 = 0,255 m e x 2 = 0,325 m. Deste modo, k = 7,99 N/m. Os dados são mostrados na tabela abaixo. Também foi feita uma simulação para o movimento das duas massas. Gráfico 1. Amplitude versus período para massa 1. Tabela III. Período, freqüência e coeficiente de amortecimento obtidos experimentalmente para um sistema massa-mola.

6 Período (s) Frequência angular w Coeficient e 1/b m1 m2 m1 m2 m1 m2 Ar 1,19 1,52 5,29 4,14 0,83 0,61 Água 0,55 0,70 11,51 9,03 2,80 1,40 possível ao aumento da resistência se encontra na diferença de estados físicos (líquido e gasoso) e consequentemente na diferença entre as forças de interação entre as moléculas CONCLUSÕES Através dos cálculos dos amortecimentos do pêndulo simples e do sistema massamola foi possível compreender melhor a aplicação prática desses sistema no nosso cotidiano, como dos exemplos do edifício Citicorp e no cálculo da massa do astronauta em gravidade zero. Figura 5. Simulação do amortecimento esperado para a massa 1. Em azul a oscilação ocorre dentro da água e em verde no ar. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1]RESNICK, Robert; HALLIDAY, David; KRANE, Kenneth S. Física: 2. 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC [2] d6_atividade3_c59479f5.pdf. [3] d3_atividade9_6eeef57c.pdf. AGRADECIMENTOS Agradecemos à Universidade Federal do ABC e ao professor Marcelo Reyes. FIGURA 6. Simulação do amortecimento esperado para a massa 2. Em azul (água) e em verde (ar). É possível observar que as oscilações reduzem mais rapidamente se ocorrerem em um meio que impõe mais resistência. Entretanto a freqüência angular aumenta significativamente. Uma explicação