Tópico 8. Aula Prática: Pêndulo Simples

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1 Tópico 8. Aula Prática: Pêndulo Simples 1. INTRODUÇÃO Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade. Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes o descrevem como um objeto de fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos, alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples. 2. OBJETIVOS DA EXPERIÊNCIA O objetivo deste experimento é obter a aceleração da gravidade fazendo-se uso de um pêndulo simples. Será visto que, basta realizar apenas as medidas do tempo de oscilação deste pêndulo para o cálculo da aceleração da gravidade. A seguir é apresentada a teoria correlata ao experimento do pêndulo simples. 3. TEORIA Qualquer movimento que se repete em intervalos de tempo iguais constitui um movimento periódico. Como veremos, o movimento periódico de uma partícula pode sempre ser expresso em função de senos e cossenos, motivo pelo qual ele é também denominado movimento harmônico. Se a partícula em movimento periódico se move para diante e para trás na mesma trajetória, seu movimento é chamado oscilatório ou vibratório. A forma mais simples de oscilação, o movimento harmônico simples (MHS), é o movimento que ocorre quando numa trajetória retilínea, uma partícula oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força restauradora, sempre orientada para a posição de equilíbrio e de intensidade proporcional à distância da partícula à posição de equilíbrio. Exemplos comuns deste tipo de movimento são o de um corpo preso a uma mola ou o de um pêndulo simples (quando os deslocamentos em relação ao ponto de equilíbrio são pequenos), como mostram as Figuras 1 e 2.

2 Figura 1 - A esfera suspensa à mola efetua um MHS (desprezando-se a ação do ar). São mostradas as 3 fases do movimento: em (a), (c) e (e) as máximas elongações, e em (b) e (d) o ponto de equilíbrio. Um exemplo de MHS é a oscilação de um corpo preso a uma mola quando o atrito no sistema é desprezível (Figura 1). Num MHS, a abscissa x que determina a posição do corpo oscilante, medida a partir do ponto de equilíbrio, denomina-se elongação. O valor máximo da elongação recebe o nome de amplitude (A). O MHS é um movimento periódico. Sendo f a frequência e T o período, temos: f = 1 T e ω = 2πf = 2π T (1)

3 onde a grandeza ω denomina-se pulsação. A aceleração no MHS é dada por: Logo, substituindo a eq. (1) em (2) tem-se: a = ω 2. x (2) a = 2π T 2. x (3) 3.2. PÊNDULO SIMPLES O pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma massa (m) puntiforme suspensa por um fio leve e inextensível de comprimento L. Quando afastado de sua posição de equilíbrio ( = 0 o, na Figura 2) e largado, o pêndulo oscilará em um plano vertical sob a ação da gravidade. O movimento é periódico e oscilatório. O tempo necessário para uma oscilação completa é chamado período (T). Figura 2 Análise das forças que atuam num pêndulo simples. Quando o ângulo que o fio do pêndulo faz com a vertical não é muito grande, o movimento do pêndulo é harmônico simples.

4 Como mostra a Figura 2, as forças que atuam no pêndulo são seu peso (P = m. g) e a tração no fio (T). Considerando um sistema de referência onde um dos eixos seja tangente a trajetória circular percorrida pela massa m, e o outro tenha a direção do fio, ou seja, do raio do círculo, veremos que a resultante das forças radiais origina a força centrípeta necessária para manter m na trajetória circular. A componente tangencial do peso, igual a m.g.sen constitui a força restauradora que atua em m e que faz o corpo tender a voltar à posição de equilíbrio. Logo a força restauradora será: F = m. g. senθ (4) Note que esta força não é proporcional ao deslocamento angular, e sim a sen ; o movimento resultante, portanto, não será harmônico simples. No entanto, se o ângulo for muito pequeno (até 15 o ) sen será aproximadamente igual a (medido em radianos), por exemplo: = 0 o = 0,0000 radiano, logo sen = 0,0000 = 2 o = 0,0349 radiano, logo sen = 0,0349 = 5 o = 0,0873 radiano, logo sen = 0,0873 = 10 o = 0,1745 radiano, logo sen = 0,1736 = 15 o = 0,2618 radiano, logo sen = 0,2588 O deslocamento ao longo do arco é x = L., e para pequenos ângulos, o movimento será praticamente retilíneo. Portanto, supondo sen = x/l, podemos escrever da equação (4) que: ou m. a = m. g. x L (5) a = g. x (6) L ou seja, a aceleração é proporcional ao deslocamento. Comparando a equação (6) com a equação (3) podemos escrever:

5 2π T 2 = g L T = 2π L g (7) Logo, observa-se que o período do pêndulo simples independe de sua massa e a aceleração da gravidade pode ser obtida da seguinte relação: g = 4π 2 L T 2 (8) 4. PARTE EXPERIMENTAL 4.1. MATERIAIS UTILIZADOS Para a realização deste experimento, serão utilizados os seguintes materiais: 1. Uma esfera de plástico ou metálica; 2. Uma haste com um barbante de comprimento a ser determinado, ligando a haste até a esfera; 3. Um transferidor, para realizar a medida do ângulo durante o tempo de oscilação do pêndulo; 4. Uma trena para medida do comprimento do barbante; 5. Um cronômetro, para medidas do tempo de oscilação do pêndulo PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Medições 1. Ajuste o comprimento L 1 do pêndulo para 40 cm (Lembre-se de que o comprimento do pêndulo deve ser medido desde o início do fio até o centro da bolinha. Posicione o pêndulo para um ângulo (valor menor que 15º) e solte-o. Meça o tempo, t, que o pêndulo leva para oscilar 10 vezes e anote-o na Tabela 1. Faça isso três vezes. 2. Repita o procedimento para L 2 = 60 cm e L 3 = 80 cm. Faça três vezes cada medida e anote na Tabela 1.

6 Tabela 1 - Medidas do período T com variação do comprimento L. Número Número da de Tempo medida oscilações t (s) Comprimento do pêndulo L (m) t (s) T (s) σ T (s) T 2 (s 2 ) Cálculos e gráficos Parte 1: 1. Calcule a média, t, e para cada comprimento do pêndulo. 2. Termine de completar a Tabela 1 calculando os valores de T = t /10, do desvio padrão da média do período, σ T, e de T Utilizando a equação (8), calcule a aceleração da gravidade local média, g, em metros por segundo ao quadrado (m/s 2 ) para cada comprimento do pêndulo. Determine o desvio padrão propagado do g experimental. Expresse o resultado final como g = (g ± σ g ) m/s 2. O comprimento do pêndulo influencia no valor da aceleração da gravidade? 4. Compare a medida da aceleração gravitacional obtida experimentalmente em sala de aula (aceleração determinada pela equação do período utilizando os dados experimentais) com o valor existente na literatura científica e determine o desvio percentual. 5. Discuta os desvios encontrados entre os valores de g (valor obtido em sala de aula com o da literatura). Parte 2: 1. Construa um gráfico de T 2 em função de L e determine o valor de g, através do coeficiente angular do mesmo.

7 Observação: Como foi visto anteriormente, da equação (8) tem-se: T 2 = 4π2 g. L que se pode identificar com uma equação da reta (y = a.x + b), onde y = T 2 (ordenadas - eixo vertical) b = 0 (coeficiente linear da reta) a = 4 2 /g (coeficiente angular da reta) x = L (elongação - abscissas, eixo horizontal) Assim, obtendo o coeficiente angular da reta, graficamente, como e sabendo-se que a = T2 L a = 4π2 g então, encontrado o valor de a pode-se encontrar g. Questões 1. O que aconteceria com o período de um pêndulo simples se o mesmo fosse levado à Lua e lá colocado a oscilar? 2. Por que ao cronometrar-se o período tomou-se o tempo de 10 oscilações? Responda as questões destacadas em vermelho ao longo do roteiro experimental no tópico conclusão do relatório.