Laboratório de Física 2

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1 Prof. Dr. Sidney Alves Lourenço Curso: Engenharia de Materiais Laboratório de Física Grupo: PÊNDULO DE TORÇÃO Experimento - 7 I. Objetivos gerais Oscilações harmônicas de um sistema conservativo. Verificar a validade da lei de Hooke na torção de um fio. Relação física entre o período de oscilação e o módulo de torção. Verificar a dependência do módulo de torção de um fio com seu comprimento, diâmetro e material. Uso da balança de torção para medir momentos de inércia de qualquer objeto. II. Material Necessário Uma balança de torção básica para mecânica, composta por: - uma haste cilíndrica vertical acoplada, na parte de baixo, a uma mesa quadrada com quatro sapatas niveladores e amortecedoras, e na parte de cima, a um suporte horizontal; - duas pequenas hastes auxiliares, com furo transversal central passante e parafusos nos seus extremos, para prender o arame; - duas travas auxiliares de latão para corpos de provas; - duas hastes com corpo central e com rebaixos nos extremos. Dois jogos de pesos (aprox. 50 gramas cada); Fios de aço de 0,5 mm de diâmetro para torção com comprimentos de 50 mm, como corpo de prova; Um cronômetro digital; Uma régua; Um transferidor; Uma balança. III. Pré-requisito Parâmetros característicos de uma oscilação livre. A Lei de Hooke na restauração da posição de equilíbrio estável. Cálculo do momento de uma força em relação a um eixo. Obtenção do momento de inércia de um corpo rígido através da medida indireta do período de oscilação do pêndulo de torção. IV. Pêndulo de Torção Um tipo de movimento muito especial que se apresenta em diversos fenômenos é o correspondente a vibrações localizadas ou oscilações de corpos em torno de sua posição de

2 equilíbrio. Exemplos de sistemas mecânicos vibratórios incluem pêndulos, diapasões, cordas de instrumentos musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro. Em sólidos, as forças internas de ligação entre as moléculas são muito intensas, inibindo a ruptura do material sob aplicação de forças externas menos intensas, porém pode ocorrer a deformação temporária ou permanente do material. Quando a influência da força externa cessa, o corpo tende a voltar a sua forma original ou posição de equilíbrio através de uma força restauradora que se opõe à força deformadora. Consideremos uma barra horizontal suspensa, em equilíbrio, por um fio vertical, de comprimento L e diâmetro D. Se defletirmos a barra, no plano horizontal, de um pequeno ângulo em relação à posição de equilíbrio, a lei de Hooke para a torção diz que ele reage com um pequeno torque restaurador proporcional ao ângulo de torção: K () Onde, K é o módulo de torção do fio, que depende do seu comprimento, diâmetro e material, e o sinal negativo indica que o torque é no sentido de trazer o sistema de volta à posição de equilíbrio. Segundo a fórmula experimental coulombiana, D que vincula as características do fio, temos: D K C () L Onde, C é o parâmetro que caracteriza a substância da qual o fio é constituído, D é o L diâmetro do fio, e L é o comprimento do fio. Por outro lado, o movimento de rotação do fio cilíndrico em torno de seu eixo de simetria vai depender da inércia do sistema, quer dizer, do momento de inércia do cilindro. Isto é, para um torque levando o sistema para sua posição de equilíbrio, a resposta cinemática vai depender da inércia do sistema. Assim quanto maior for a inércia, o sistema vai girar mais lentamente. A segunda lei de Newton para as rotações é dada pela equação seguinte: I d I () dt Onde, I representa o momento de inércia do sistema sob rotação, em relação ao eixo de rotação do corpo. Ambas as equações () e () exprimem o mesmo resultado para o torque, porém, de ópticas diferentes. A primeira equação reflete a resposta elástica interna do corpo à torção e a segunda equação indica a aceleração transmitida ao mesmo corpo sob rotação. Então, igualando estas equações se obtém a equação que representa o movimento oscilatório do corpo elástico à torção. d I K dt d K 0 () dt I

3 O sistema dinâmico descrito pela equação () chama-se de oscilador harmônico (unidimensional). A variável que caracteriza o único grau de liberdade descreve os pequenos desvios da posição de equilíbrio estável do fio. A restrição a pequenos desvios limita o movimento oscilatório para regiões onde o sistema se comporta elasticamente. Se passarmos do limite elástico do fio, o sistema não retorna à posição de equilíbrio, produzindo-se deformações permanentes. A equação () é uma equação diferencial ordinária para t e de segunda ordem, cuja solução geral é da forma: t 0 cos t Onde, 0 representa a amplitude de oscilação. Como a função cos t é uma função periódica de t, de período, o parâmetro é a freqüência angular do movimento oscilatório. O tempo que o sistema demora em voltar a sua condição inicial ou a repetir o movimento oscilatório é chamado de período. Isto é, cos t cos ( t T ) cos t cos t T Vemos que o período da oscilação é função do inverso da freqüência angular do sistema: T Logo, a solução harmônica do sistema sob torção pode ser escrita como: t 0 cos t T Derivando duas vezes esta função harmônica, obtém-se que: d dt t T t d dt T Substituindo a equação (5) em (), encontra-se que: T 0 cos t T t (5) O fato de que o período T é independente da amplitude de oscilação (desde que esta não ultrapasse o limite de elasticidade do fio) constitui o isocronismo das pequenas oscilações do pêndulo, descoberto por Galileu. I K Momento de Inércia de uma barra em relação ao CM: ML I b

4 V Montagem e Procedimento Experimental Faremos uso da balança de torção para determinar o módulo de torção de um fio metálico. L M M r Meça as massas do jogo de discos e cestas. Nivele a balança de torção. Verifique se os extremos do fio estão bem presos nas suas travas auxiliares. Prenda-o bem usando os parafusos da própria trava. Meça o comprimento do fio entre as travas. Anote este valor. Execute a montagem básica do pêndulo de torção: coloque um dos extremos do fio travado no encaixe do suporte superior da balança, passando-o pela ranhura do mesmo; Na parte inferior, passe o fio pela ranhura do suporte da haste de latão e encaixe a trava no corpo do suporte. Insira a haste de latão (de 0 ou 0 cm) no orifício até o encaixe de seu corpo central. A haste de latão deve estar centrada. Verifique com a régua esta condição e faça o ajuste necessário. A haste de latão deve estar alinhada com a base do transferidor. Desaperte o parafuso do suporte superior de modo a girar livremente o fio até alinhá-lo e volte-o a apertar. Coloque, nos rebaixos da haste, duas cestas com discos de latão em equilíbrio. Aumentando gradativamente os contrapesos nas cestas bem como ampliando o comprimento da haste, o momento de inércia do sistema dependurado tende a crescer. I N i m i r i Equilibre o sistema dependurado e gire-o, com a mão, no plano horizontal, provocando uma pequena torção no fio de 0. Evite oscilações no plano vertical. Visto que o período de oscilação do pêndulo de torção depende com o momento de inércia do conjunto preso no extremo inferior do fio, determine o período do pêndulo em pelo menos

5 quatro possíveis momentos de inércia, variando para tanto as massas e comprimento da haste (configurações de inércia). Deixe o pêndulo fazer 0 oscilações completas e meça o tempo. Repita este procedimento 05 vezes. Determine a média e o desvio padrão do período do sistema dependurado. Refaça o procedimento anterior para o mesmo fio e outro momento de inércia, para tanto, aumente os contrapesos ou aumente o comprimento da haste. Anote na Tabela I, a posição dos contrapesos e massas bem como o correspondente tempo de 0 oscilações do pêndulo de torção. Tabela I Tempo de 0 oscilações do pêndulo para o fio de L 5 cm Configuração Braço da Momento Massas T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 de inércia haste de Inércia (m) (kg) (kg.m ) (s) (s) (s) (s) (s) Refaça o procedimento anterior para uma segunda haste com diâmetro maior Anote na Tabela II, a posição dos contrapesos e massas bem como o correspondente tempo de 0 oscilações do pêndulo de torção. Tabela II Tempo de 0 oscilações do pêndulo para a segunda haste. Configuração Braço da Momento Massas T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 de inércia haste de Inércia (m) (kg) (kg.m ) (s) (s) (s) (s) (s) Refaça o procedimento anterior para um terceiro comprimento de fio, para tanto, troque o fio para um de L 5 cm. Anote na Tabela III, a posição dos contrapesos e massas bem como o correspondente tempo de 0 oscilações do pêndulo de torção. 5

6 Tabela III Tempo de 0 oscilações do pêndulo para o fio de L 5 cm Configuração Braço da Momento Massas T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 De inércia haste de Inércia (m) (kg) (kg.m ) (s) (s) (s) (s) (s) VI Análise e discussão dos resultados Calcule o período do pêndulo de torção para cada configuração de inércia Coloque seus resultados nas Tabelas IV, V e VI. Tabela IV Período do pêndulo de torção e seu respectivo desvio padrão (DP), para o fio metálico de diâmetro D... mm, com a haste fina Comprimento Momento T DP do fio de Inércia (m) (kg.m ) (s) (s) Tabela V Período do pêndulo de torção e seu respectivo desvio padrão (DP), para o fio metálico de diâmetro D... mm, coma haste de diâmetro maior. Comprimento Momento T DP do fio de Inércia (m) (kg.m ) (s) (s) 6

7 Tabela VI Período do pêndulo de torção e seu respectivo desvio padrão (DP), para o fio metálico de diâmetro D... m Comprimento Momento T DP do fio de Inércia (m) (kg.m ) (s) (s) Faça o gráfico do quadrado do período do pêndulo de torção contra o momento de inércia. Do ajuste da curva, determine o módulo de torção para cada comprimento de fio. Apresente seus resultados na Tabela VII. T I K Tabela VII Módulo de torção do fio metálico de diâmetro? mm e sua respectiva incerteza Comprimento Módulo do fio de Torção Incerteza (m). Discuta cada um de seus resultados. VII Conclusão Baseados nos seus resultados e discussões dos mesmos, elabore uma concisa conclusão da presente prática: metodologia, tomada de dados, análise e redução dos mesmos. Referências Básicas: ) Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl. Fundamentos de Física. Vol. Gravitação, Ondas e Termodinâmica, 8 a Edição. Livros Técnicos e Científicos, 009. ) Sears, Francis; Young, Hugh D.; Freedman, Roger A.; Zemansky, Mark W.; Física II Termodinâmica e Ondas, a Edição, Addison Wesley, 008. ) Tipler, Paul A. Física: para Cientistas e Engenheiros Vol., 8 pp., 5 a Edição. Livros Técnicos e Científicos,