3. Ondas estacionárias numa corda sob tensão fixa nas duas extremidades

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1 DEPARTAMENTO DE FÍSICA FCTUC ONDAS E ÓPTICA /2009 Trabalho Prático nº 1 Sonómetro: estudo de ondas estacionárias numa corda sob tensão 1. Objectivo Pretende-se estudar as ondas estacionárias numa corda sob tensão, fixa nas duas extremidades, e determinar as frequências de ressonância do sistema. O dispositivo experimental (sonómetro) permite excitar uma corda num certo ponto com um movimento harmónico simples de pequena amplitude e registar a evolução temporal das vibrações num outro ponto da corda. Variando a frequência de excitação, determina-se a frequência de ressonância do sistema correspondente ao modo fundamental bem com as correspondentes aos harmónicos superiores. O sistema permite ainda estudar a dependência da frequência de ressonância com: a tensão na corda, a densidade de massa linear da corda e a distância entre os pontos fixos da corda. 2. Equipamento Sonómetro PASCO Scientific mod. WA-9611, que inclui 5 cordas (cordas de guitarra) com os seguintes diâmetros (densidades lineares): 0,010" (0.39 gm/m) ; 0,014" (0.78 gm/m) ; 0,017" (1.12 gm/m) ; 0,020" (1.50 gm/m) ; 0,022" (1.84 gm/m) ; Amplificador de potência PASCO CI-6552 ou um gerador de sinais capaz de fornecer 0,5 A; interface PASCO; computador. 3. Ondas estacionárias numa corda sob tensão fixa nas duas extremidades A propagação de uma onda sinusoidal numa corda sob tensão pode ser descrita pela equação: x t y1 ( x,t) = y o sen ( kx-ω t) = y o sen2π (1) λ T em que y o é a amplitude da oscilação; λ é o comprimento de onda; k = 2π/λ é o número de onda; ω = 2πf é a frequência angular de oscilação (f é a frequência de oscilação); T = 1/f é o período da oscilação. Se a corda estiver fixa numa extremidade, ocorre uma reflexão nessa extremidade. A onda reflectida, cuja amplitude se admite ser igual à da onda incidente, é descrita por

2 ( ) ( ) y2 x,t = y o sen kx+ ω t. (2) As ondas incidente e reflectida sobrepõem-se sendo a sua soma dada por 1 y(x,t) = 2y o sen kx cos ω t. (3) Para um instante fixo t 0, a corda tem a forma de uma sinusóide com amplitude, y = 2y o cos ω t0. (4) Se examinarmos o movimento de um ponto fixo x 0 da corda, verificamos que ele executa um movimento harmónico simples, com uma amplitude 2 π x y = 2y 0 o sen λ. (5) Portanto, os pontos da corda com x 0 = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, oscilam com amplitude máxima, y m =2y 0, enquanto os pontos com x 0 = λ/2, λ, 3λ/2, 2λ, etc, permanecem em repouso (y = 0). A onda assim formada é designada por onda estacionária. Os pontos de amplitude máxima são designados pelos ventres ou antinós da onda estacionária e os pontos que não se movem são designados pelos nós da onda estacionária. Se fixarmos as duas extremidades de uma corda comprida, ocorrem reflexões nas duas extremidades e formam-se ondas que estão em movimento nas duas direcções. Estas ondas combinam-se de acordo com o princípio da sobreposição. Em geral, as reflexões múltiplas da onda não estarão todas em fase e a amplitude das vibrações na corda será pequena. No entanto, para certas frequências de oscilação, todas as ondas reflectidas estão em fase dando origem a uma onda estacionária com uma amplitude de oscilação máxima. Estas frequências são chamadas frequências de ressonância do sistema oscilante. Se a corda estiver fixa em x = 0 e x = L, temos as seguintes condições fronteira impostas à função y(x,t) (eq. 3): y(x=0,t) = 0 y(x=l,t) = 0 em todos os instantes t. A condição fronteira em x = 0 está automaticamente satisfeita pois sen kx = 0 em x = 0. A segunda condição fronteira será satisfeita para valores de k = k n tais que sen knl = 0 knl = n π, n = 1,2,3,... (6) λ ou seja, L = n n, com n = 1,2,3,... (7) 2 Para haver formação de uma onda estacionária numa corda fixa em dois pontos é necessário que o comprimento da corda seja um múltiplo inteiro de meios comprimentos de onda. Para n = 1, temos 1 sen θ 1 + sem θ 2 = 2 cos ½(θ 1 -θ 2 )sen½(θ 1 +θ 2 )

3 o primeiro harmónico ou modo fundamental da vibração, para n = 2 o segundo harmónico, etc, (Fig. 1). A frequência do n-ésimo harmónico é dada pela sua relação com o comprimento de onda λ n e a velocidade v de propagação da onda: v v fn = = n com n = 1,2,3,... λn 2L (8) A velocidade de propagação da onda numa corda é directamente proporcional à raíz quadrada da tensão T a que a corda está sujeita e inversamente proporcional à raiz quadrada da massa por unidade de comprimento da corda, µ (densidade linear), ou seja, T v = µ. (9) A equação da onda estacionária para a vibração do n-ésimo harmónico pode então ser escrita como nπ nπv y n(x,t) = 2y o sen x cos t. (10) L L

4 4. Procedimento experimental 4.1 Montagem: 1. Observe o dispositivo experimental e identifique cada parte do sistema (Fig. 2): O excitador é um electromagnete a cujos terminais se aplica uma tensão sinusoidal. Como o electromagnete atrai o fio metálico duas vezes em cada ciclo, a frequência de vibração é dupla da frequência de excitação. O detector é um segundo electromagnete que mede a amplitude de vibração do fio no ponto onde está colocado. Mantenha o detector a uma distância do excitador superior a 10 cm para evitar interferências. Verifique se o excitador está ligado ao amplificador e se este está ligado a uma das entradas analógicas do interface (que neste caso funciona como gerador de sinal). Ligue o detector ao interface. Parafuso de ajuste ponte de apoio excitador detector ponte de apoio alavanca massas Fig. 2 Sistema experimental. 2. Coloque as pontes de apoio a uma distância de 60 cm uma da outra. 3. Suspenda as massas na 4ª ranhura da alavanca. Verifique se a alavanca está perfeitamente nivelada. A tensão no fio está relacionada com as massas suspensas e com a ranhura em que as massas estão suspensas conforme se indica na figura Coloque o excitador a cerca de 5 cm de uma das pontes de apoio (levante-o antes de o deslocar).

5 5. Coloque o detector perto do centro do fio entre as duas pontes de apoio, sem o arrastar. Verifique se o fio passa no centro do excitador e do detector. 6. Ligue o interface e o computador e inicialize o programa de aquisição. 4.2 Registo de dados 1. Registe o comprimento, tensão e densidade linear da corda (ou fio). 2. Medida da frequência fundamental: 2.1 A frequência de ressonância do modo fundamental é a frequência natural de vibração quando se põe a corda a vibrar com o dedo. Com o dedo perto do centro do fio, ponha o fio a vibrar. Faça a análise das frequências de vibração usando a janela de FFT (Fast Fourier Transform) (Apêndice I). No gráfico amplitude vs. frequência deverá observar uma frequência com uma intensidade muito superior às outras: é a frequência fundamental. Registe esse valor ou o intervalo de valores que inclui a frequência do modo fundamental. 2.2 Active a janela Signal Generator e escolha um valor para a frequência de excitação aproximadamente metade da frequência fundamental 2. Coloque a amplitude a 5 V. 2.3 Inicie a aquisição de dados e ajuste a frequência de excitação até conseguir maximizar a amplitude de vibração do modo fundamental da corda. Vá observando o sinal do detector no osciloscópio. A frequência para a qual a amplitude de vibração é máxima (e que se traduz num máximo da tensão medida pelo detector, bem como do volume de som) é a frequência de ressonância. Pode ser necessário esperar alguns segundos para o sistema estabilizar de cada vez que muda a frequência 3. Registe o valor da frequência de excitação para a qual há ressonância. Faça uma estimativa da incerteza associada a esta determinação. 2.4 Analise o espectro de frequências (FFT) na situação de ressonância e fora de ressonância. Explique o que observa. 2.5 Observe a corda na condição de ressonância. Quantos nodos e ventres vê? 2.6 Determine o comprimento de onda e estabeleça a incerteza associada. 2 O excitador é um electromagnete que atrai o fio metálico duas vezes por ciclo do sinal sinusoidal. Daí que a frequência de excitação deva ser aproximadamente metade da frequência de vibração. 3 Há uma ligeira histerese na posição da frequência de ressonância quando se faz o varrimento ascendente ou descendente em frequência; para obter valores reprodutíveis, deve ser efectuado o varrimento sempre na direcção ascendente.

6 3. Harmónicos superiores: 3.1 Determine agora o segundo modo de ressonância. Desloque o detector de forma que este fique a cerca de ¾ da distância entre as pontes de apoio. 3.2 Seleccione um valor para a frequência de excitação ligeiramente inferior ao dobro do seu valor inicial (a frequência de excitação é metade da frequência de vibração). Ajuste a frequência até obter um valor de ressonância. Registe o valor obtido. Determine o valor da frequência de vibração do fio. Faça uma estimativa da incerteza associada a esta determinação 3.3 Observe a corda. Quantos nodos e ventres vê? 3.4 Desloque o detector ligeiramente em ambos os sentidos; observe a variação de amplitude no sinal do osciloscópio e localize o antinodo na corda; registe a posição correspondente do detector. Desloque o detector em direcção ao centro da corda e procure a posição de um nó. Continue a deslocar até o detector se encontrar por baixo de outro ventre. Registe novamente a posição do detector. 3.5 Determine o comprimento de onda e estime a incerteza associada. 3.6 Procure a ressonância da corda para valores de frequência de excitação em torno de outros múltiplos do valor obtido para o modo de ressonância fundamental (n = 3, 4). 3.7 Registe numa tabela os valores medidos para as frequências de ressonância e respectivas incertezas para os vários harmónicos. Registe ainda o número n de ventres que observa na onda estacionária formada. f n (Hz) δf n (Hz) n 4. Variação da tensão no fio Varie a tensão no fio e para cada valor repita o procedimento anterior e determine a frequência fundamental e o comprimento de onda. 5. Variação da densidade linear do fio Repita o procedimento anterior para diferentes fios. Para mudar o fio proceda do seguinte modo: i) Retire as massas suspensas na alavanca;

7 ii) Solte um pouco o parafuso de ajuste e substitua o fio; iii) Coloque as massas na segunda posição da alavanca; iv) Ajuste novamente o parafuso até a alavanca ficar nivelada; v) Suspenda as massas novamente na 4ª ranhura da alavanca. 6. Variação do comprimento da corda Com a última corda que instalou, aproxime as duas pontes de apoio a uma distância de aproximadamente 50 cm. Determine novamente a frequência de ressonância fundamental. Repita para outros comprimentos da corda. 5. Análise de dados Comente a relação que observa entre os valores das frequências do modo fundamental e dos diversos harmónicos para as mesmas condições de montagem. Velocidade de propagação vs. Tensão: para cada caso estudado, calcule a velocidade de propagação da onda a partir da frequência de ressonância do modo fundamental e do comprimento de onda. Calcule a incerteza associada a este valor. Compare a velocidade de propagação da onda assim obtida com o valor esperado (eq. 9). Reúna os resultados numa tabela. Determine graficamente a relação que existe entre a velocidade de propagação de uma onda numa corda sob tensão e a tensão a que a corda está sujeita. Comente os resultados obtidos. Velocidade de propagação vs. Densidade: para cada fio, calcule a velocidade de propagação da onda a partir da frequência de ressonância do modo fundamental e do comprimento de onda. Calcule a incerteza associada a este valor. Compare a velocidade de propagação da onda assim obtida com o valor esperado (eq. 9). Reúna os resultados numa tabela. Determine graficamente a relação que existe entre a velocidade de propagação de uma onda numa corda sob tensão e a densidade linear da corda. Comente os resultados obtidos. Variação com o comprimento da corda: comente os resultados obtidos. Bibliografia: A. French, "Vibrations and Waves", Chapman & Hall, 1992 Young and Freedman, University Physics, Pearson Int. Ed.; P. Tipler, Física: para cientistas e engenheiros (Ondas); C. Abreu et al., Física experimental: uma introdução, Editorial Presença, 1994.

8 Apêndice I Análise de Fourier e FFT A análise de Fourier é uma técnica matemática baseada na decomposição dos sinais em sinais sinusoidais. Pode-se aplicar a sinais contínuos ou discretos, e a sinais periódicos ou não periódicos. A designação da técnica depende do tipo de sinal a analisar 4 : Transformada de Fourier: sinais contínuos não periódicos; Série de Fourier: sinais contínuos periódicos; Transformada Discreta de Fourier (DFT): sinais periódicos discretos; DTFT ( Discrete Time Fourier Transform ): sinais discretos não periódicos. Um dado sinal pode então ser representado, usando as transformadas de Fourier, como a soma de N funções sinusoidais (seno ou cosseno) cada uma com uma dada frequência e uma dada fase. A aplicação desta técnica de análise às ondas estacionárias numa corda sob tensão, permite extrair informação sobre as frequências dos harmónicos que as compõem bem como das suas intensidades relativas. Um algoritmo muito utilizado no cálculo de transformadas discretas de Fourier é o Fast Fourier Transform. A janela FFT (Fast Fourier Transform) do Science Workshop (ou Data Studio) é, assim, um gráfico de intensidade versus frequência de vibração. 4 S. W. Smith, The Scientist and Engineer s Guide to Digital Signal Processing, cap. 8,