Capítulo 3 O Oscilador Hamônico

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1 Capítulo 3 O Oscilador Hamônico Uma força unidimensional, que depende somente da posição x, tem uma expansão de Taylor em torno da sua posição de equilíbrio x=0 (onde F=0) Quando somente o termo linear em x é relevante, teremos a lei de Hooke que nada mais é do que a equação diferencial do oscilador harmônico simples (sistema massa-mola, pêndulo simples para pequenas oscilações,...). Dizemos que estamos com o oscilador num regime elástico Quando não podemos desprezar os termos quadráticos..., estaremos num regime plástico que pode chegar à ruptura da mola se a elongação for suficientemente grande. O oscilador harmônico simples, do ponto de vista matemático, nada mais é do que uma equação diferencial linear ordinária homogênea de segunda ordem no tempo. Ela é ordinária porque não tem derivada parcial, linear porque só comparecem x e suas derivadas (isto é, não há termos do tipo Observe que tem dimensão de (frequência). Podemos reescrever A força conservativa (1) tem energia potencial elástica associada uma dependência parabólica com x. Se fizermos o ansatz (baseado no mundo real, pois esperamos obter um movimento oscilatório cuja descrição matemática se faz via senos e cossenos) de que é solução, então 1

2 e da eq. (2) teremos por seguinte, uma solução é Se tivéssemos feito o ansatz teríamos e logo, e outra solução é É fácil verificar que qualquer combinação linear de com a e b constantes independentes do tempo, também é solução de (2). O fato de a superposição de 2 soluções também ser solução é uma propriedade de toda e qualquer equação diferencial ordinária linear...chamamos essa propriedade de Princípio de Superposição. A ordem da equação diferencial ordinária define a dimensão do espaço de soluções linearmente independentes: ordem N terá N soluções linearmente independentes. No caso da eq. (2), a solução geral é dada por Trocando as constantes a e b por A e ϕ 2

3 podemos reescrever (5) A constante A é chamada de amplitude, pois A constante ϕ é chamada de fase. Sobre as condições iniciais A existência de 2 soluções linearmente independentes é fundamental para podermos impor condições iniciais arbitrárias então donde Energia do Oscilador Harmônico A energia cinética E c é função do tempo A energia potencial U é função do tempo como 3

4 teremos a Conservação da Energia Mecânica E A energia cinética média num período vale mudando de variável: mas, logo. Nos limites de integração o termo em seno zera e, ou seja De maneira semelhante é fácil mostrar que Exemplos 1) O Pêndulo de Torção ; ; ; 4

5 2) O Pêndulo Simples Componentes radial: onde F é a tensão na corda tangencial: ou A equação (8b) acima é diferencial de 2ª. ordem mas não linear em θ! Sua solução é complicada e se expressa através das funções elípticas de Jacobi (que não pode ser escrita em termos de funçoes elementares). Uma vez obtida a solução de substituimos em (8 a ) e determinamos a tensão F. Para, pequenas amplitudes, vale a aproximação por exemplo, se Neste caso, (8b) fica uma equação diferencial linear donde ou 5

6 Se puxamos a corda do pêndulo até um ângulo repouso, a solução será então e o soltamos a partir do Nesta aproximação, vemos que o período de oscilação não depende da amplitude inicial. Isso deixa de ser verdade se correção é não é pequeno. Pode-se mostrar que a primeira 3) O Pêndulo Físico o torque será Na aproximação de ângulos iniciais pequenos, logo e O pêndulo físico se comporta como um pêndulo simples de comprimento O ponto C da reta OG tal que a distãncia OC é l é chamado centro de oscilação do pêndulo físico (o ponto O é o ponto de suspensão). Se concentrássemos toda a massa M no ponto C e ligássemos por um fio sem massa, o pêndulo físico se transformaria num pêndulo simples. 6

7 Se o ponto de suspensão é O teremos, pelo Teorema dos Eixos Paralelos Se trocarmos o ponto de suspensão O por C, e chamando o momento de inécia de, a distância ao novo centro de oscilação de, de (12) teremos. Pelo Teorema dos Eixos Paralelos ; Eliminando de (13a ) e substituindo em (13b) e (12) Logo O novo centro de oscilação, quando suspendemos o pêndulo por C, passa a ser o ponto O ( a eq do Moysés está errada). 4) Oscilações de um líquido em um tubo em U Considere um líquido de densidade, secção transversal constante e igual a, e comprimento total. A massa de liquido será então. Se em equlíbrio dos 2 ramos escolhemos o nível onde então ao erguer uma pequena quantidade do líquido de uma altura, teremos A coluna líquida entra em oscilação com velocidade instantânea cinética e energia e a energia mecânica será 7

8 Comparando com a energia do oscilador temos que Logo, ou seja o período de oscilação será 5) Oscilações de 2 partículas Considere 2 partículas de massas e ligadas por uma mola de cosntante e massa desprezível movendo-se na horizontal e sem atrito. A deformação da mola será A força o que fornece as equações de movimento A coordenada do cm: tem aceleração zero pois de (15). Ou seja o cm se move com velocidade constante. Multiplicando a 1ª. eq. de (15) por, a 2ª. eq. de (15) por e subtraindo a 2ª. da 1ª., temos onde é a massa reduzida do sistema. 8

9 O sistema translada com velocidade do cm e oscila como uma partícula única de massa igual à massa reduzida com período 6) Molécula diatômica A energia potencial de interação de uma molécula diatômica é dada por onde é a energia de dissociação da molécula e é distância interatômica de equilíbrio. Expandindo em série de Taylor em torno de onde a 1ª. derivada é zero pois Identificando A energia mecânica será onde é a massa reduzida do sistema. 9

10 Essa molécula vibra com frequência Tipicamente para a molécula CO:. Essa frequência, para a luz, corresponde a um comprimento É uma radiação na região do infravermelho (o visível está entre e Plano Complexo z Seja o número complexo, com e. Esse número corresponde a um único ponto do plano complexo y plano complexo z = x + iy z x A adição de 2 números complexos obedece à regra do paralelogramo y x 10

11 E o produto Se expandirmos em Taylor a exponencial, teremos juntando os termos reais puros e imaginários puros e reconhecemos as expansões de Taylor de seno e cosseno que é a famosa Fórmula de Euler. Definimos o complexo conjugado Por conseguinte o módulo ao quadrado de Podemos representar o número complexo será em coordenadas polares Logo, Voltemos agora à equação do oscilador harmônico Vamos transformá-la numa equação algébrica com α independente do tempo. Então, teremos uma equação algébrica para com duas soluções linearmente independentes 11

12 Donde obtemos a solução geral Como é real, Escrevendo, teremos ou Superposição de Movimentos Harmônicos 1) Mesma Direção e Frequência Podemos escrever Colocando em evidência Chamando Ou seja, Dados determinamos. E a solução superposta Oscila com mesma frequência, mas amplitude e fases diferentes. 12

13 2) Mesma Direção e Frequências Diferentes Como o oscilador 1 tem período e o oscilador 2 tem período (em geral diferente de ) a diferença de fase: tem dependência temporal. Em geral, portanto, o movimento resultante não é periódico. Para que o movimento seja periódico com período T é preciso que Ou Dizemos que os períodos e são comensuráveis. O período T corresponde aos menores valores inteiros de e que satisfazem (22). Batimentos Vamos supor o caso mais simples, e as frequências são muito próximas, definimos, Então Fica 13

14 Ou Como, então o pré-fator oscila lentamente em relação a e dizemos que este pré-fator modula a amplitude. Dessa forma a amplitude oscila no tempo As oscilações rápidas na figura acima correspondem à frequência curva envoltória correspondem aos zeros devido à frequência., os zeros da do termo No caso de onda sonora, como a intensidade é proporcional a, ouviremos um subir e descer da intensidade sonora, quanto mais próximas as frequências ( ) menor será o intervalo entre subidas e descidas. Na afinação do violão, pressionamos a corda La (afinada com o diapasão) e a corda subsequente...a afinação se dará quando o nosso ouvido não mais perceber a variação de intensidade que é conhecida como batimento. 3) Mesma frequência e direções perpendiculares Suponhamos a oscilação bidimensional Sem perda de generalidade podemos escolher e 14

15 A trajetória estará dentro de um retângulo. Eliminando o tempo t teremos Ou Casos Particulares 15

16 4) Frequências diferentes e direções perpendiculares Como num osciloscópio em que jogamos uma voltagem com frequência numa direção e numa direção perpendicular. Formam-se as figuras de Lissajous que podem ser órbitas fechadas (períodos comensuráveis) ou abertas 16