A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função

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1 A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada f () é também uma função de. Portanto, a derivada de y = f(), f (), também pode ser derivada em relação a. Essa derivada é chamada de derivada segunda da função y = f(). Ela costuma ser designada pelos símbolos: d f ( ) ) d ( y (); f (); ; f ( ); ou f ( ). & Por eemplo, se y = 3, temos: y '( ) = 3. y ''( ) = 6.

2 Pode-se também definir derivadas de ordens superiores de y = f(), derivada terceira, derivada quarta etc, indicadas por y, y,..., y (n), mas essas são muito pouco usadas. A derivada segunda de uma função tem várias utilidades em matemática, física e demais ciências. Por eemplo, em física, se a função y = (t) representar a posição de uma partícula movimentando-se no eio- ao longo do tempo, a derivada primeira de y em relação a t, velocidade v da partícula, e a derivada segunda, nos dá a aceleração da partícula. d dt, nos dá a d dt, Mas a aplicação mais básica da derivada segunda está em que ela permite que se faça uma análise da variação de uma função. Seja y = f() uma função diferenciável em um segmento [a, b] do eio-. O gráfico dessa função é, portanto, uma curva de um certo tipo. Em algumas regiões, a curva é crescente, em outros ela é decrescente e, ainda em outros, a curva nem cresce e nem decresce.

3 A figura abaio mostra um eemplo: y=sen+cos3 y Nos pontos em que a curva cresce, a derivada é positiva (a tangente à curva tem inclinação positiva, isto é, forma um ângulo entre 0 e 90 o com a horizontal ângulo agudo), f '( ) > 0 função crescente. Nos pontos em que a curva decresce, a derivada é negativa (a tangente à curva tem inclinação negativa, isto é, forma um ângulo entre 90 o e 80 o com a horizontal ângulo obtuso), f '( ) < 0 função decrescente. Veja alguns eemplos nas figuras abaio.

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5 Note que há alguns pontos em que derivada não é, nem positiva, nem negativa. Ela é nula (isto é, a reta tangente é horizontal). No desenho, alguns desses pontos são chamados de pontos de máimo e outros são chamados de pontos de mínimo. Coletivamente, os pontos de máimo e de mínimo são chamados de valores etremos da função. Alguns pontos de máimo são mais máimos que os outros e alguns pontos de mínimo são mais mínimos que os outros.

6 O(s) maior(es) ponto(s) de máimo de uma função é(são) chamado(s) de máimo(s) absoluto(s) e os outros são chamados de máimos relativos ou máimos locais. Igualmente, temos pontos de mínimo absolutos e pontos de mínimo relativos ou mínimos locais. Os pontos etremos de uma função (os pontos de máimo e mínimo) são pontos em que a derivada da função se anula: f () = 0. No entanto, esta é apenas uma condição necessária para que um ponto seja um ponto etremo, mas não suficiente.

7 Isto quer dizer que se uma função y = f() tiver um máimo ou um mínimo (valor etremo) em um dado ponto, a sua derivada nesse ponto é nula, f () = 0. Mas pode acontecer que uma função y = f() tenha derivada nula em um dado ponto e este ponto não seja nem de máimo e nem de mínimo. Veja o eemplo abaio, da função y = 3. y=^3 y No ponto = 0, a função tem derivada nula, ( 3 ) = 0. y '( = 0) = = 0 Porém, o ponto = 0 claramente não é um ponto nem de máimo e nem de mínimo. Ele é chamado de um ponto de infleão da função.

8 O ponto é chamado de infleão por que a concavidade da função se altera nesse ponto a curva passa de côncava para baio para côncava para cima, sem que o sinal da derivada se altere (a curva permanece sempre crescente ou estacionária). Os pontos de uma função que são, ou pontos etremos, ou pontos de infleão, são chamados coletivamente de pontos críticos da função. Portanto, os pontos críticos de uma função são os pontos em que sua derivada se anula: f () = 0. Se quisermos achar os pontos de máimo e de mínimo de uma função, a condição suficiente é: Seja uma função y = f() diferenciável num intervalo [a,b]. Um dado ponto é um ponto de máimo se, e somente se, f () > 0 para < e f () < 0 para >.

9 E um dado ponto é um ponto de mínimo se, e somente se, f () < 0 para < e f () > 0 para >. Isto nos permite escrever as seguintes regras para se encontrar os pontos de máimo e mínimo de uma função y = f() diferenciável num intervalo [a,b]:. Calcule a derivada primeira da função, f ().. Ache os valores críticos da função: iguale a derivada primeira a zero, f () = 0, e ache as raízes reais dessa equação. 3. Analise o sinal da derivada f () a esquerda e a direita de cada ponto crítico. Se a derivada mudar de sinal, teremos um valor etremo (máimo ou mínimo); se a derivada não mudar de sinal, teremos um ponto de infleão. Vamos ver um eemplo. Seja a seguinte função cúbica, 3 y ( ) = O gráfico dessa função está dado abaio.

10 y=(^3)/3-^+3+ y Vamos aplicar as regras definidas acima:. A primeira derivada da função é: y '( ) = Igualando essa derivada a zero, obtemos a equação = 0, cujas raízes são: b ± b = a 4ac 4 ± 4 4 ± = = =, = Vamos analisar primeiro o ponto crítico =. Para um ponto a esquerda dele, por eemplo, = 0, a derivada primeira vale y () = 3 > 0. Já para um ponto a direita dele (mas não maior que 3, que é o outro

11 ponto crítico), por eemplo, =, temos y () = < 0. Portanto, a derivada muda de sinal ao passarmos por =. Então, este é um ponto etremo da função. E ele é um ponto de máimo, pois a derivada era positiva e torna-se negativa. Vamos analisar agora o ponto crítico = 3. Para um ponto a esquerda dele, por eemplo, =, a derivada primeira vale y () = < 0. E para um ponto a direita dele, por eemplo, = 4, temos y () = 3 > 0. Novamente, a derivada muda de sinal ao passarmos por = 3. Logo, ele é um ponto etremo da função. E é um ponto de mínimo, pois a derivada era negativa e torna-se positiva. Eiste um método alternativo de se encontrar os valores etremos de uma função, baseado no cálculo da sua derivada segunda (quando ela eiste). A regra para aplicação desse método é a seguinte:

12 Seja uma função y = f() diferenciável num intervalo [a,b]. Vamos admitir também que a segunda derivada da função eista no intervalo [a,b]. Suponhamos que, no ponto = a derivada primeira da função seja nula, isto é, y ( ) = 0. Então, se f ( ) < 0, será um ponto de máimo; se f ( ) > 0, será um ponto de mínimo; se f ( ) = 0, pode ser um ponto de máimo ou de mínimo, mas pode ser que ele não seja nenhum nem outro. Neste caso, deve-se usar o método anterior (baseado na derivada primeira) para se determinar se é um ponto de máimo, mínimo ou de infleão. Este resultado pode ser posto na seguinte tabela: f ( ) '( ) ' f Tipo do ponto crítico ' 0 Ponto de máimo 0 + Ponto de mínimo 0 0 Desconhecido

13 Para entender essa regra, vamos olhar novamente para o problema da função cúbica estudado anteriormente. Os gráficos abaio mostram, lado a lado, a função e a sua derivada primeira. Os gráficos abaio são iguais aos de cima, mas as retas tangentes (derivadas) estão indicadas também. A inclinação da reta tangente à função y() dá a sua derivada primeira, y (). Já a inclinação da reta tangente à derivada, y (), dá a derivada segunda de y(). Note que, para os dois pontos etremos da função y(), o valor de y () é zero. Mas as derivadas de y () não são nulas nesses pontos. Para o ponto de máimo, =, a derivada de y () é negativa. E para o ponto de mínimo, = 3, a derivada de y () é positiva.

14 Como eemplo, vamos aplicar o método da derivada segunda à função cúbica estudada anteriormente, 3 y ( ) = A derivada primeira dessa função é, y '( ) = Sabemos que os seus pontos críticos são = e = 3. A derivada segunda da função é, y ''( ) = Calculando essa derivada no ponto = temos: 4. y ''() = 4 = < Portanto, o ponto = é um ponto de máimo. 0.

15 Já o cálculo da derivada no ponto = 3 nos dá, y ''(3) = 6 4 = > 0. Portanto, o ponto = 3 é um ponto de mínimo. Eemplo. Achar os pontos de máimo e mínimo da função, y ( ) = sen + cos. O gráfico desta função está dado abaio. y y=sen+cos Esta é uma função periódica, de período π. Portanto, é suficiente estudarmos a função no segmento [0, π].. Vamos determinar a derivada da função: ( cos sen cos ) = cos ( sen. y' ( ) = cos sen = ). Vamos determinar os valores críticos da função:

16 ( sen ) 0. f '( ) = 0 cos = A igualdade acima é satisfeita se, Ou se, sen cos = 0 = 0 sen = π = ou 3π. π = ou 6 Portanto, os pontos críticos da função são: π π 5π =, =, 3 = e π =. 5π = Vamos determinar a derivada segunda da função: y' '( ) = sen 4cos. 4. Vamos agora calcular a derivada segunda em cada um dos quatro pontos críticos: π 6 a. y '' =. 4. = 3 < 0. Ponto de máimo. π b. y '' =. 4. = > 0. Ponto de mínimo. 5π 6 c. y '' =. 4. = 3 < 0. Ponto de máimo. 3π d. y '' =.( ) 4.( ) = 6 > 0. Ponto de mínimo.

17 Eemplo. Achar os pontos de máimo e mínimo da função, y( ) = 4.. Vamos determinar a derivada da função: y'( ) = 4. Vamos determinar os valores críticos da função: 3. f '( ) 3 = 0 4 = 0 = Vamos determinar a derivada segunda da função: y' '( ) =. 4. Vamos agora calcular a derivada segunda no ponto crítico = 0: y ''(0) = Neste caso, a derivada segunda é zero. Portanto, não é possível, pelo método da derivada segunda, determinar se o ponto crítico é de máimo, mínimo ou se é um ponto de infleão. 0. Para determinar a natureza da função no ponto crítico = 0, devemos neste caso usar o primeiro método apresentado, baseado na deriva primeira.

18 Para um valor de a esquerda de = 0, por eemplo =, temos, f '( ) = 4( ) 3 = 4 > 0. E para um valor de a direita de = 0, por eemplo =, temos, f '() = 4() 3 = 4 < 0. Portanto, à esquerda de = 0, f () > 0, e, à direita, f () < 0. Logo, o ponto = 0 é um ponto de máimo. Os gráficos abaio mostram a função derivadas primeira e segunda. y( ) = 4 e suas y=-^4 y

19 y'()=-4^3 0,5 y 0-0,5-0,3-0, 0, 0,3 0,5-0,5 - y''()=-^ y 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0-0,5-0,3-0, -0, 0, 0,3 0,5-0, -0,3-0,4-0,5

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